【平面直角坐标系】
在平面上取定一点O，过O作两条互相垂直的直线，以O为公共原点，分别在两直线上建立有相同长度单位的坐标系，通常将放在水平位置的坐标轴叫做横轴或x轴，从左到右是它的正向；将放在竖直位置的坐标轴叫做纵轴或y轴，从下到上是它的正向。对于平面上任意一点P，由点P分别向x轴和y轴作垂线，得到P点在两坐标轴上的射影M和N，点M在x轴上的坐标x叫做点P的横坐标；点N在y轴上的坐标y叫做点P的纵坐标。有序实数对（x，y）叫做点P的平面直角坐标，简称坐标，记作P（x，y）。
平面直角坐标系所在的平面叫做直角坐标平面，简称坐标平面。两坐标轴将坐标平面分成四个部分，每一部分叫做一个象限。它们的顺序按照点的坐标的符号规定为：
第I象限：｛P（x，y）｜x＞0，y＞0｝；
第II象限：｛P（x，y）｜x＜0，y＞0｝；
第III象限：｛P（x，y）｜x＜0，y＜0｝；
第IV象限；｛P（x，y）｜x＞0，y＜0｝。
两坐标轴上的点不属于任何象限。
说明：（1）点P（x，y）在x轴上的充要条件是y=0；点P（x，y）在y轴上的充要条件是x=0。
（2）点P（x，y）与Q（x’，y’）关于x轴对称的充要条件是x=x’且y=y’；点P（x，y）与Q（x’，y’）关于y轴对称的充要条件是x=－x’且y＝y’；点p（x，y）与Q（x’，y’）关于原点对称的充要条件是x=－x’且—y=－y’。
注意：x轴上的点纵坐标为零，y轴上的点横坐标为零。原点的坐标为（0，0）。
【平面内两点间的距离】
若P1（x1，y1），P2（x2，y2），两点P1P2间的距离。
P1P2=（x2—x1）2+（y2—y1）2。
说明：（1）公式中（x2－x1）2=（x1－x2）2，（y2－y1）2=（y1－y2）2。
（2）在x轴上的两点P1（x1，0），P2（x2，0）。
｜P1P2｜=｜x2－x1｜
在y轴上的两点M1（0，y1），M2（0，y2），
｜M1M2｜=j｜y2－y1｜。
（3）如果两点所在直线平行x轴或y轴时，它们的纵坐标相等，或横坐标相等。即公式可变成：｜P1P2｜=｜x2－x1｜，｜M1M2｜=｜y2－y1｜。
【变量】
在某一过程中，可以取不同数值的量叫做变量。
【常量】
在某一过程中，保持同一数值的量或数，叫做常量或常数。
【函数】
在某一变化过程中，有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么y是x的函数，记作y=f（x）。x叫自变量，y叫x的函数，f是对应法则。上述定义被称为传统定义，也叫哥西定义。现代的定义被称为维布伦定义：集合A，B是非空集合，且B的每一个元素都有原象时，这样的映射f：A→B就是定义域A到值域B上的函数。
自变量的取值范围，即原象的集合叫函数的定义域。
【值域】
自变量在其定义域内的一个确定的值，函数有唯一确定的值与之对应，这个对应值叫这个函数的函数值。
函数值的集合，即象的集合叫函数的值域。
说明：（1）求函数定义域时注意分母≠0；偶次方根的被开方数不负（大于、等于零）；真数＞0；（2）复合函数求它们各部分定义域，取公共部分。
【函数的表示法】
（1）解析法：用等式表示的函数关系。
（1）显函数：写成y=f（x）的函数。
（2）隐函数：写成方程形式来表示的函数。
（2）列表法：用表格表示自变量与函数对应值。
（3）图象法：用所有的自变量和它的函数对应值做为点的坐标，描出它的图形（这个符合函数关系的图形叫函数的图象）。
注意：要把自变量的值做为点的横坐标，对应的函数值做为点的纵坐标。
【正比例函数】
函数y=kx（k≠0为常数）叫做正比例函数。y与x成正比例，k为比例系数。y=kx的图象是过原点O（0，0）和（1，k）的一条直线，性质如下：
（1）当k＞0时，图象过第一、第三象限，它是增函数；
（2）当k＜0时，图象过第二、第四象限，它是减函数。
【反比例函数】
y=kx（k≠0常数）叫反比例函数，y与x成反比例。反比例函数图象由两条逐渐趋近于坐标轴的双曲线组成，性质如下：
（1）当k＞0时，函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限内，在每个象限内都是减函数；
（2）当k＜0时，函数图象的两个分支分别在第二、第四象限内，在每一个象限内都是增函数；
（3）两个分支以x轴，y轴为渐近线，但永远不能与坐标轴相交。
【一次函数】
y=kx+b（k≠0，k、b都是常数）叫做x的一次函数。
说明：函数解析式中自变量所组成的代数式为整式时，以自变量的指数来定义函数的次数，一次函数就是自变量是一次的整式函数。
一次函数的图象是过（0，b）且平行于y=kx的一条直线。b叫直线y=kx+b在y轴上的截矩。b＞0截在y轴的正半轴上；b=0时，直线过原点，成为y=kx（正比例函数）；b＜0时，截在y轴的负半轴上。y=kx是y=kx+b的特例。
y=kx+b的性质：当k＞0时是增函数；当k＜0时为减函数。
【二次函数】
y=ax2+bx+c（a≠0且a、b、c都是常数）叫x的二次函数。y=ax2+bx+c的图象是顶点在（—b2a，4ac—b24a）开口由a决定抛物线。抛物线是以过顶点与坐标轴（一般是y轴）平行的直线为对称轴的对称图形。二次函数的性质如下：
（1）y=ax2+bx+c的顶点是（—b2a，4ac—b24a），对称轴是直线y=—b2a。
（2）a＞0时抛物线开口向上，并且向上无限伸展；a＜0时，抛物线开口向下，并且向下无限伸展。
（3）当a＞0时，x＞—b2a时，函数递增，x＜—b2a时，函数递减，当x=—b2a时，y有最小值4ac—b24a；当a＜0时，x＞—b2a时，函数递减；x＜—b2a时，函数递增；当x=—b2a时，y有最大值4ac—b24a。
说明：y=ax2+bx+c（a≠0）还有以下两种表达式：（1）y=a（x+b2a）2+4ac—b24a。这是用顶点坐标表示的函数式。（2）y=a（x—x1）（x—x2）。其中x1，x2是ax2+bx+c=0的两个根。这是用根表达的函数式。而x1=—b+b2—4ac2a，x2=—b—b2—4ac2ay=ax2+bx+c叫二次函数的一般式。
【集合和元素】
集合是一个原始概念，只能做描述性的说明——“任意一组对象的全体形成一个集合”。构成集合的每一个对象叫做集合的一个元素。集合里的元素应具备下列三个特性：
（1）元素的确定性：构成集合的对象必须明确，任何一个元素x与集合A，x属于A与x不属于A，二者必居其一且仅居其一。例如“比较厚的书”、“年长的人”等都不能构成集合，因此它们所描述的对象不准确。又如“小于5的自然数”则能构成一个集合，因为它有确定的元素1、2、3、4。
（2）元素的互异性：一个集合里不允许有相同的元素重复出现。例如｛a，a，b，c｝不是集合的正确表示法，这个集合只能表示为｛a，b，c｝。
（3）元素的无序性：集合里元素的构成，与其元素的顺序是无关的，如｛a、b、c｝与｛c，a、b｝表示相同的集合。然而为了更清楚地表示集合里元素的结构，往往把集合里的元素按一定的顺序列举出来，以免将某些元素遗漏。例如表示出20以内的质数，往往写成｛2，3，5，7，11，13，17，19｝，而不是杂乱无章地把它们列出来。
【集合的表示法】
（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，并写在大括号“｛｝”内，如｛1，2，3，4，5｝等。
（2）描述法：把集合中元素的共同属性描述出来，写在大括号“｛｝”内，例如，｛小于10的自然数｝。用描述法表示集合也常常在大括号内先写上这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线“｜”（或冒号“：”，或分号“；”）并在它的右边写上这个集合的元素的公共属性，如｛x｜－3≤x＜1｝（或｛x：－3≤x＜1｝，或｛x；－3≤x＜1｝），表示在－3和1之间（包括－3在内）的所有实数组成的集合。
（3）用区间表示集合：如（a，b）表示a，b之间的所有实数。
（4）用文氏图（一个圆或一条封闭曲线）表示集合（只是一种示意），用它表示集合间的关系时很直观，便于理解。
【空集】
不含任何元素的集合。记作。
【子集】
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就称集合A是集合B的子集（可写成命题形式：“若x∈A，则x∈B”），记作AB（读作A包含于B）或BA（B包含A）。
【真子集】
如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB（或BA），读作A真包含于B（或B真包含A）。
（1）若AB且BA，则A=B。
（2）“AB”与“AB且A≠B”是等价的。
（3）“AB”是指“AB”与“A=B”二者间有且只有一种情况成立。由此，符号“”与“≤”之间，既有本质的区别（分别表示两个集合与两实数之间的关系），又有相似之处（AB是AB与A=B二者有且只有一种情况成立；a≤b是指a＜b或a=b二者有且只有一种情况成立）。
（4）空集是任何集合的子集：A。空集是任何非空集合的真子集B（B为非空集合）。（5）子集与真子集均具有传递性：
（1）若AB且BC，则AC；
（2）若AB且BC则AC。
（2）的证明如下：
AB，任意x∈A都有x∈B，又BC，x∈C。
即AC，又AB，存在y∈B且y∈A，又BCy∈C。
即y∈C且y?瘙綋A，AC。
【交集】
由所有属于集合A且属于集合B的元素（即A，B的公共元素）组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B=｛x｜x∈A且x∈B｝。
【并集】
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B=｛x｜x∈A或x∈B｝。
两个集合A与B的交集和并集有以下的性质：
A∩BAA∪B，A∩BBA∪B。
【全集和补集】
研究某个集合与它的若干个子集的关系时，常把这个集合叫做全集，并记作I。如果有A∈I，由I中所有不属于A的元素组成的集合叫做集合A在集合I中的补集，（也称余集），记作A={xx∈I且x?瘙綎A}
【集合的运算】
交集、并集、补集都是集合的简单运算。集合的交、并、补集运算满足以下运算律：
（1）等幂律A∩A=A，A∪A=A；
（2）同一律A∩I=A，A∪I=I；
A∩Φ=Φ，A∪Φ=A；
（3）互补律A∩A=Φ，A∪A=I，
A=A，I=Φ，Φ=I；
（4）交换律A∩B=B∩A，A∪B=B∪A；
（5）结合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C），
（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；
（6）分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），
A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；
（7）吸收律A∩（A∪B）=A，A∪（A∩B）=A；
（8）反演律（摩根律）A∩B=A∪B，A∪B=A∩B。
【区间】
两个实数a与b（a＜b）之间的所有实数组成的集合，常常用区间来表示，不包含a、b时称为开区间，记作（a，b），若包含a和b时，称闭区间，记作［a，b］；若只包含a而不包含b，或只包含b而不包含a，则称为半开半闭区间，分别记作［a，b）或（a，b］。
【命题】
可以判断真假的语句叫做命题。
【逻辑联结词】
“或”、“且”、“非”
简单命题：不含有逻辑联结词的命题。
由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题构成复合命题的形式：p或q（记作“p∨q”）；p且q（记作“p∧q”）；非p（记作“┑q”）。
【“或”、“且”、“非”的真值判断】
（1）“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
（2）“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况时为假；
（3）“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真。
【四种命题的形式】
原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑p则┑q；逆否命题：若p则┑p若┑q则┑p。
【四种命题的转换】
（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题。
【四种命题之间的相互关系】
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：（原命题逆否命题）（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真；（2）原命题为真，它的否命题不一定为真；（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。
【反证法】
从命题结论的反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理……）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
【充分条件与必要条件】
如果已知pq，那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
【充要条件】
如果已知pq，那么我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。
【映射】
设两个集合A、B，如果按某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应（包括集合A、B及从A到B的对应法则）叫做从A到B的映射，记作f：A→B。与A中元素a对应的B中元素b叫做a的象，记作b=f（a），a∈A，b∈B；a叫做b的原象。
映射的两个要素：a∈A，a的任意性，b=f（a）∈B，b的唯一性，但并不要求集合B中每一个元素都有原象，B中的元素有原象时，也不要求原象唯一。
【满射】
如果f：A→B是集合A到集合B的映射，并且集合B中每一个元素在A中都有原象，即任意b∈B，都存在a∈A，使得b=f（a）。那么就称此映射为从A到B上的映射，简称满射。
【单射】
如果f：A→B是从A到B的映射，并且A中两个不同元素a1，a2（a1≠a2）在B中的象f（a1）和f（a2）也不同（或说B中元素有原象时，原象是唯一的），即若b1，b2∈B，b2=f（a1），b2=f（a2），且a1≠a2，则b1≠b2。称为单射。
【一一映射】
如果从A到B的映射f：A→B，既是单射，又是满射，就称此映射为从A到B上的一一映射。即如果从A到B的对应法则f，同时满足以下三个条件时，构成从A到B上的一一映射：（1）任意a∈A都存在唯一的b∈B，使得f（a）=b；（2）任意b1∈B，都存在a1∈A，使得f（a1）=b1；（3）若a1，a2∈A，且a1≠a2，一定有b1=f（a1），b2=f（a2）∈B，且b1∈b2。
【逆映射】
如果f：A→B是从集合A到集合B上的一一映射，并且对于B中每一元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样所得的映射叫做f：A→B的逆映射，记作f—1：B→A。
应该明确，f—1：B→A是从B到A上的一一映射，并且f—1［f（a）］=a（其中a∈A，f（a）∈B。），即如果b∈B，且b是在f：A→B的作用下a（a∈A）的象，那么a（a∈A）一定是b在f—1：B→A的作用下b（b∈B）的象。
例如（1）设A=R（实数集）。B=R+（正实数集），法则f：y=x2－2，其中x∈A，y∈B。（即A中的元素的平方减2）。A，B，f不能构成从A到B的映射，这是因为1∈A，但1－2=－1∈B，即在法则f的作用下，A中元素1，在B中不存在元素与之对应。
（2）设A=R，B=R，法则f：y=x2－2，其中x∈A、y∈B，A，B，f构成从A到B的映射，但不是从A到B上的映射，这是因为任何实数x，x2－2仍为确定的实数，即B中存在唯一的元素x2－2与A中元素相对应。但是对于B中元素－3，则在A中找不到任何元素使得－3与之对应，因为A中任何元素x的平方x2≥0，x2－2≥－2，不可能等于－3，即B中有些元素在A中没有原象，即此映射不是满射。
（3）若A=R，B=［－2，+∞），法则f：y=x2－2，x∈A，y∈B，则构成从A到B上的映射，f：A→B，即满射。但是对于A中元素3和－3，在法则f的作用下。其象都是7，因此这个映射f：A→B不是从A到B的单射，即“满而不单”。
（4）若A=R（非负实数集），B=R，法则f：y=x2—2，其中x∈y，y∈B，则A，B，f构成从A到B的映射。且在法则f的作用下，A中不同的元素x1，x2，其象x21—2与x22—2与x22—2也是不同的，故而此映射是从A到B的单射，但－3∈B，－3在A中却没有原象，所以不是满射。即此映射“单而不满”。
（5）若A=R，B=—2，+∞）。法则f：y=x2—2，x∈A，y∈
