B，则映射f：A→B既是从A到B的满射，又是从A到B的单射，从而构成了从A到B上的一一映射。
综上所述，可以得到以下关系：
｛单射｝｛映射｝，｛满射｝｛映射｝，｛单射｝∩｛满射｝=｛一一映射｝。
构成互为逆映射的两个法则，恰好构成“互为逆运算”，并且具有“还原性”，即f—1［f（x）］=x。
【反函数】
如果确定函数的映射f：A→B是由A到B上的一一映射，那么它的逆映射f—1：B→A确定的函数就是函数y=f（x）的反函数，记作y=f—1（x）（其中x∈B，y∈A）。可见函数的定义域和值域，恰好分别是它的反函数的值域和定义域。
（1）不是所有的函数都有反函数，当且仅当函数y=f（x）是从定义域到值域上的一一映射时，才有反函数，并且反函数是唯一的。
（2）求一个函数的反函数的方法是由函数y=f（x），解出x（用y表示），然后将字母x换成y，y换成x即得到。
（3）函数与反函数的图象，关于直线y=x成轴对称图形。
【增函数和减函数】
对于给定区间上的函数f（x），如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数；如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数。
【单调函数】
如果函数y=f（x）在某个区间（a，b）上是增函数或减函数，就称该函数是区间（a，b）上的（严格）单调函数，或称该函数在此区间（a、b）上具有（严格的）单调性。
【函数的单调区间】
函数y=f（x）在某区间上是增（或减）函数，则称该区间为函数的单调增（或减）区间。
（1）函数的单调性是对某个区间而言，对于单独一点不存在单调性问题，我们研究的初等函数的图象在定义区间上是连续的（图象无间断点），因此只要函数在该区间的端点处有定义，那么在开区间上的单调函数，在相应的闭区间上也必是单调函数。所以单调区间包括不包括区间的端点都可以。
（2）不能把一个单调区间分成为两个单调区间，例如：函数y=x（x≤0）2x（x＞0），
其单调区间为（—∞，+∞），不应分成（—∞，0）和（0，+∞）
（3）也不能把本来不是一个单调区间，合写成一个单调区间。例如函数y=12，其单调减区间只能分别是（－∞，0）及（0，+∞），而不能写成（－∞，+∞）（x=0不在定义域内），也不能写成（－∞，0）∪（0，+∞）。
【奇函数和偶函数】
如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x值，都有f（－x）=－f（x）。那么就称f（x）为奇函数。
如果对于函数f（x）的定义域内的任意一个x值，都有f（－x）=f（x），那么就称f（x）为偶函数。
说明：（1）由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f（x）的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇函数或偶函数，否则一定是非奇非偶函数，例如函数y=x、y=1x—1，显然不是奇函数，也不是偶函数。
（2）判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事，例如判断f（x）=12x—1+12的奇偶性，推算f（—x）=12—x—1+12=2x1—2x+122x+1—2x2（1—2x）=2x+12（1—2x）=—2x+12（2x—1）=—（12x—1+12）=—f（x）
是不易的。为了便于判断有时可采取如下办法：计算f（x）+f（－x），视其结果而说明是否是奇函数。用这个方法判断此函数较为方便：
f（x）+f（—x）=12x—1+12+12—x—1+12=1+2—x—1+2x—1（2x—1）（2—x—1）
=1—2x—2—x+1+2—x—1+2x—1（2x—1）（2—x—1）=0f（x）为奇函数。
（3）判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值，
都有f（—x）=f（x）或f（—x）=—f（x）。例如f（x）=1（x≥0）—1（x＜0），
当x≠0时，显然有f（－x）=－f（x），但当x=0时，f（－x）=f（x）=1，f（x）为非奇非偶函数。
（4）奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形。
（5）函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义进行论证。
【周期函数】
对于函数f（x）定义域内任意x值，都存在一个非零常数T，使得f（x+T）=f（x）恒成立，就称f（x）为周期函数，其非零常数T叫做该函数的周期。
说明：（1）周期函数的定义域应该是无限的（至少在正方向或负方向上是无限的），这一点由x，x+T均属于定义域可知。
（2）周期函数的周期必然有无穷多个，事实上，若T为函数f（x）的周期，则nT（n∈N）也一定是f（x）的周期。
（3）如果周期函数的周期中，存在一个最小的正数周期，则称此周期为最小正周期。不是所有的周期函数都有最小正周期。例如常函数f（x）=c（c为常数），任何正数都是它的周期，但却不存在最小正周期。
【函数的初等性质】
函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及周期性，统称函数的初等性质。
【函数的图象】
所有坐标为（x，f（x））的点的集合构成函数的图象：｛（x，y）｜y=f（x）x∈A）｝，其中A为函数f（x）的定义域。
描绘函数图象的一般方法为描点法；还可以利用函数的图象变换法。
【函数图象变换法】
f（x+c）的图象是由f（x）的图象沿x轴方向平移c个单位得到，当c＞0，向左平移，c＜0时向右平移；类似地f（x）+m的图象是将f（x）的图象沿y轴方向平移m个单位得到，m＞0时向上平移，m＜0时向下平移。
【指数函数】
函数y=ax（其中a＞0，a≠1）叫做指数函数。
（1）指数函数是五种基本初等函数之一。
（2）指数函数的基本性质如下：
（1）定义域为实数集R。
（2）值域为正实数集R+。
（3）当a＞1时，y=ax在定义域R上为单调增函数，当0＜a＜1时，y=ax在定义域R上为单调减函数。
（4）不论a＞1还是0＜a＜1，函数y=ax的图象都经过点（0，1），
（1，a）和（—1，1a）；此三点称为指数函数图象上的三个特殊点，在作指数函数图象时，起着重要的作用。
（5）x轴是指数函数y=ax的渐近线。
（6）指数函数y=ax（a＞0，a≠1）与对数函数y=logax（a＜0，a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y=x成对称图形。
（7）指数函数的图象，当a＞1时，a越大，图象越靠近y轴；a越小，越远离y轴；当0＜a＜1时，a越大图象越远离y轴，a越小，越靠近y轴。点（1，0）为它的聚汇点及交叉点。
【对数函数】
函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数。
（1）对数函数是五种基本初等函数之一。
（2）对数函数的基本性质如下：
（1）定义域为正实数集R+。
（2）值域为实数集R。
（3）当a＞1时，y=logax是定义域R+上的单调增函数，当0＜a＜1时，y=logax在定义域R+上是单调减函数。
（4）不论a＞1还是0＜a＜1，函数y=logax的图象都经过（1，0）、
（a，1）和（1a，—1）三个点，这是对数函数图象上的三个特殊点，
在作函数图象时，起着重要作用。
（5）y轴是对数函数y=logax的渐近线。
（6）对数函数y=logax（a＞0，a≠1）与指数函数y=ax（a＞0，a≠0）互为反函数，它们的图象关于直线y=x成轴对称图形。
（7）对数函数的图象，当a＞1时，a越大，则图象越靠近x轴；a越小，图象越远离x轴；当0＜a＜1时，a越大，图象越远离x轴；a越小，图象就越靠近x轴。（1，0）点为它们的聚汇和交叉点。
【有理函数】
函数式为自变量x的有理式，即（x的两个多项式的商）称为有理函数。如y=12x3—3x2—15即为有理整数函数，y=x2—x—13x—5即为有理分函数，统称有理函数。
【复合函数】
若函数u=φ（x），其定义域为M，函数的值域为N，又有函数y=f（u），它的定义域是N，这样y就通过变量u构成了x的函数，记作y=f［φ（x）］，则称y为x的复合函数，u叫做中间变量或中间函数。
【基本初等函数】
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数，称为五种基本初等函数，统称为“基本初等函数”。
【初等函数】
由基本初等函数经过有限次有理运算或复合，所得到的函数，统称为“初等函数”。
【数列】
按一定规律排列着一列数，叫做数列。数列中的每一个数，叫做数列的项，第一个数就是第一项，第n个数就是第n项。数列也可视为定义域为自然数集N（或它的有限真子集｛1，2，……，n｝）上的函数f（x）。当自变量从1开始依次取自然数时，相对应的函数值：f（1），f（2），……，f（n），……，即数列是一种特殊的函数。
【数列的表示法】
列表法，即将数列各项一一列出来：a1，a2，a3，……，an，……；解析法，即写出数列的通项公式an=f（n）；图象法，平面直角坐标系内，横坐标取自然数及与其对应的纵坐标所组成的点列便构成一个数列。
【数列的通项公式】
如果一个数列的第n项an与项数n之间的函数关系可以用一个公式an=f（n）来表示时，我们把这个公式叫做这个数列的通项公式。例如，自然数的平方组成的数列，其通项公式an=n2。自然数的倒数组成的数列，其通项公式为an=1n。不是任何一个数列都有通项公式，例如，2的分别精确到1，01，001，0001，……的不足（或过剩）近似值，只能用列表法把它们表示出来：1，14，141，1414，14142，……，但不存在通项公式；一个数列如果有通项公式，也未必只有一个通项公式。例如，数列1，0，1，0，1，0，……奇数项均为1，偶数项均为0，其通项公式可以是an=sinnπ2，也可以写成an=1+（—1）n—12等。
【有穷数列】
如果在某一项的后面不再有任何项，这个数列叫做有穷数列（即项数有限）。
【无穷数列】
如果在任何一项的后面都有跟随着的项，这个数列叫做无穷数列（即项数无限）。
【递增数列】
一个数列，如果从第二项起，第一项都大于它前面的一项（an+1≥an），这样的数列叫做递增数列。
【递减数列】
一个数列，如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项（即an+1≤an），这样的数列叫做递减数列。
【单调数列】
递增数列和递减数列统称为单调数列。
【摆动数列】
一个数列，如果从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做摆动数列。
【常数列】
一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列。
【有界数列】
存在一个正数M，对于数列中任何一项an，都有an＜M，则称此数列为有界数列。
【无界数列】
一个数列，对于任意一个正数M，数列中总存在一个aN，使得aN＞M，则称这个数列为无界数列。
说明：（1）有穷数列和无穷数列，递增数列和递减数列，单调摆动数列和摆动数列，有界数列和无界数列等是从不同的角度对数列进行分类的方法。考察一个数列的类型，也应从几个角度分别予以考虑。例如自然数列1，2，3，……，n，……是无穷、递增、无界数列。
数列1，12，122，……，12n—1，……是无穷、递减、有界数列，数列1，—12，13，—14，……，（—1）n—1，1n，……是无穷、摆动，有界数列。
（2）公差为0的等差数列和公比为1的等比数列均为常数列；然而非零常数列既是等差数列又是等比数列，零数列是等差数列但不是等比数列。
【数列前n项的和】
指的是a1+a2+……+an，并记作Sn，即Sn=a1+a2+……+an。
【数列的前n项和与通项公式的关系】
数列前n项之和Sn=a1+a2+……+an。当n≥2时an=Sn－Sn－1，当n=1，S1=a1。
【等差数列】
一个数列，从第二项起每一项减去它前一项所得的差都等于某一个常数，这个数列叫做等差数列。这个常数叫做这个等差数列的公差。
【等差数列的通项公式】
an=a1+（n－1）d。其中a1，d分别是第一项和公差，n为项数。通项公式的得出，可以根据等差数列的定义，归纳出来，并用数学归纳法给予证明，它对任何自然数n都成立。
【等差数列的公差的求法】
（1）由等差数列的定义可知，d=an+1—an，（n∈N）；（2）由通项公式可知，d=an—a1n—1，（n≠1），或d=an—amn—m（n≠m）。
【等差中项】
如果三个数x、A、y成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，
且A=x+y2，x和y的等差中项也称做x和y的算术平均数。
【等差数列的基本性质】
设｛an｝是等差数列，则（1）有穷等差数列，距首、末两项距离等远的两项之和均相等，且都等于首末两项之和，即a2+an－1=a3+an－2=a4+an－3=……=a1+an；
（2）若m+n=k+1，其中m，n，k，1均为自然数，则必有am+an=ak+a1；
（3）等差数列中，其项数成等差的项构成的一个子数列仍是等差数列；
（4）若数列｛an｝和｛bn｝均为等差数列，则对任意实数L和K，数列｛L·an+K·bn｝仍是等差数列。
【等差数列前n项的和】
等差数列前n项和的公式：Sn=n（a1+a2）2或Sn=na1+n（n—1）2d。
所有等差数列的前n项和，都有最大值或最小值。当公差d＞0时，前n项和有最小值（当a1＞0时，其最小值为S1）；当d＜0时，前n项和有最大值（当a1＜0时，其最大值为S1）。
【等比数列】
一个数列，从第二项起，每一项与其前一项的比都等于一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做这个等比数列的公比。
显然，等比数列的各项都不能是零。
【等比数列的通项式】
an=a1qn－1，其中a1是首项，q是公比，n为项数。
【等比数列公比的求法】
（1）由等比数列的定义可知q=an+1an，（n∈N）；
（2）由通项公式可知，q=n—1ana1（n≠1）或q=n—manam（m≠n）。
【一般数列的求和方法】
（1）直接求和法，如等差数列和等比数列均可直接求和；
（2）部分求和法将一个数列分成两个可直接求和的数列，而后可求出数列的前n项的和；
（3）并项求和法将数列某些项先合并，合并后可形成直接求和的数列；
（4）裂项求和法将数列各项分裂成两项，然后求和；
（5）“q倍减”求和法。若数列｛an｝为等差数列，｛bn｝为等比数列，则求数列｛anbn｝的前n项的和均可以采用此方法；
（6）无穷递缩等比数列各项的和，S=a11—q，其中a1是首项，q是公比，且q＜1。
【数列的递推式】
表示数列相邻几项的关系式叫递推式，一个数列可以由其通项公式来确定，也可以由数列的初始条件及递推式来确定。例如，已知a1=3，an+1=2an+1（n∈N）则这个数列就是3，7，15，31，……，2n+1—1，………，又如a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N）则这个数列就是1，1，2，3，5，8，………即菲波那契数列。
【演绎法】
如果一般的命题是已经证明了的，或者是未经证明而作为真理用的，那么以这个一般命题推出的每一个特殊命题也就是正确的。象这样由一般到特殊的推理方法，通常称为演绎推理或者演绎法。
【归纳法】
先考察一些特殊的事例，然后分析它们共同具有的特征，作出一般的结论。象这样由特殊到一般的推理方法通常称为归纳推理，或者归纳法。
【不完全归纳法】
可能导致错误结论的归纳法，叫做不完全归纳法。
【完全归纳法】
作为结论依据的观察，如果包含了规律所涉及的一切现象，这种归纳法叫做完全归纳法。由完全归纳所得出的结论是可靠的。
【数学归纳法】
数学归纳法是完全归纳法，是一种归纳——演绎的推理方法。
数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：
设A（n）表示关于自然数n的一命题，如果满足条件：（i）A（1）正确；（ii）假设A（k）成立，推断A（k+1）也成立、那么A（n）对一切自然数n都成立。
其中第（i）是验证，它是证明的基础；第（ii）是以假设A（k）成立，通过演绎推理，推证出A（k+1）也正确。
【极限】
