【指数不等式】指数中含有未知数的不等式叫指数不等式。指数不等式解法的主要思想是：在同底的条件下，利用指数函数的增减性转化为代数不等式来解。
【对数不等式】在真数中含有未知数的不等式叫做对数不等式。对数不等式解法的主要思想基本上与指数不等式解法的思想一致，即在同底的条件下，利用对数函数的增减性转化为代数不等式来解。所不同的是对数不等式要在使对数不等式有意义的条件下求不等式的解，因此对数不等式往往转化为不等式组来求解。
【绝对值不等式】含有绝对值符号的不等式叫做绝对值不等式。绝对值符号中含有未知数的不等式解法的主要思想，是利用绝对值的定义转化为不含绝对值的不等式来解。为了解题方便，经常直接利用与绝对值不等式等价的不含绝对值的不等式来解，即x＜a—a＜x＜a；x＞ax＜—a或x＞a；b＜x＜a—a＜x＜—b或b＜x＜a。
【数的概念扩充的原则】
（1）增添了新的元素；
（2）新旧元素在一起构成新的数集。在新的数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质（如运算定律）仍旧能够适用；
（3）旧元素作为新的数集里的元素，原有的运算关系仍然保持；
（4）新的数集解决了旧的数集所不能解决的矛盾。
【虚数单位】
数i称为虚数单位，它具有两条性质：（1）i2=－1；（2）实数与i进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立。
【纯虚数】
形如bi（b是不等于零的实数）的数叫做纯虚数，例如：5i，—3i，0。03i等，
【复数】
形如a+bi（a、b∈R）的数叫做复数。当b=0时就是实数；b≠0时叫做虚数；当a≠0，b≠0时是纯虚数。a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。全体复数构成的集合叫做复数集，用字母C表示。
例m取何实数值时，（m2－4m－21）+（m2+5m+6）i，（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是零。
解所给复数可变形为（m+3）（m－7）+（m+3）（m+2）i，
（1）当（m+3）（m+2）=0时，即m=－3或m=－2时，所给复数是实数；
（2）当（m+3）（m+2）≠0时，即m≠－3且m≠－2时，所给复数是虚数；
（3）当（m+3）（m—7）=0（m+3）（m+2）≠0时，即m=7时，所给复数是纯虚数。
（4）当（m+3）（m—7）=0（m+3）（m+2）=0时，即m=—3时，所给复数是零。
【复数的相等】
如果两个复数a+bi与c+di的实部和虚部分别相等，我们就规定这两个复数相等，记作a+bi=c+di。即如果a、b、c、d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b＝d。
特别地，a+bi=0a=b=0。
【复平面】
用坐标平面内的点Z来表示复数z=a+bi，这个点的横坐标是a，纵坐标是b，这个坐标平面叫做复平面。x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴（虚轴不包括原点，原点在实轴上，表示实数零）。复数和复平面内的点一一对应。
【共轭复数】
当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数z的共轭复数记为z，在复平面上z的z所表示的点关于实轴对称。
【共轭虚数】
两个复数互为共轭复数，当虚部不等于零时，也叫做共轭虚数。
【共轭复数的运算性质】
说明：共轭复数的运算性质，在教学中可放在复数运算中讲。
【向量】
既有绝对值大小又有方向的量叫做向量。向量可以用有向线段来表示，线段的长度就是这个向量的绝对值也叫做向量的模，线段的方向（用箭头表示）就是这个向量的方向。若向量的起点是O，终点是M，这个同量就用OM来表示，向量OM的模用｜OM｜来表示，向量也叫向量也叫做矢量。
【零向量】
若向量的起点与终点重合，即长度为零的向量（它的方向可以是任意的）叫做零向量。规定所有的零相量都相等。
【向量的相等】
如果两个向量模相等且方向相同就说这两个向量相等。
说明：（1）对两个向量方向相同，应理解为两个向量在同一直线上且指向相同，或两个向量所在直线平行且指向相同。
（2）两个向量相等与这两个向量的起点无关，即两个向量相等并不要求有相同的起点和终点，但是总可以经过平行移动（保持向量的长度和方向不变）使得它们有共同的起点和终点，即使两个向量完全重合。
【自由向量和位置向量】
如果一个向量只考虑其长度和方向而不考虑其起点位置如何，这样的向量叫做自由向量，由向量相等的定义可知，保持长度和方向不变的一切自由向量都是相等的。
由原点出发的向量叫做位置向量。
【复数的向量表示】
复数a+bi在复平面内确定唯一的Z，连接下来OZ，则向量OZ表示复数a+bi。由自由向量定义可知，把向量OZ平移至复平面中任何一个位置，所有这些向量都和OZ向量相等，规定所有这些向量都表示复数向量都表示复数a+bi。
说明：（1）从原点出发的向量所表示的复数，与该向量的终点在复平面内所表示的复数是一致的。
（2）起点不在原点的向量所表示的复数，与该向量的终点在复平面内所表示的复数不一致。而该向量所表示的复数是把这个向量平移至起点在原点后，其终点在复平面内所表示的复数。
（3）给定复平面内的一个向量对应一个复数，而给定一个复数在复平面内对应无数多个向量。
（4）复平面内所有以原点为起点的向量所成的集合与复数集之间是一一对应的。
【复数的模】
表示复数z=a+bi的向量的模r叫做复数z=a+bi的模（或绝对值）记作z或z+bi。容易得出z=a+bi=r=a2+b2。当b=0是，复数a+bi表示实数a，此时r=a2=a，即实数的绝对值是复数绝对值的特殊情况。
【复数模的运算性质】
（1）z·z=z2，z=z；
（2）z1—z2≤z1+z2≤z1+z2（左边等号成立的条件是复数z1，z2所表示向量的方向相反，右边等号成立的条件是复数z1，z2所表示向量的方向相同）；
（3）z1—z2≤z1—z2≤z1+z2（左边等号成立的条件是复数z1，z2所表示向量的方向相同，右边等号成立的条件是复数z1、z2所表示向量的方向相反）；
（4）z1·z2+z1·z2；
（5）z1z2=z1z2；
（6）zn1=z1n。
【复数的辐角】
设得数z=a+bi所对应的从原点出发的向量为OZ，以x轴的正半轴为始边、向量OZ所以的射线（起点是O）为终边的角θ，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于0≤θ＜2π的辐角θ的值叫做辐角的主值，记作argz=θ。复数0对应的向量是零向量，所以没有确定的辐角。
【复数的三角形式】
从中可以看出：
a=rcosθb=rsinθ。
任何一个复数z=a+bi都可以写成r（cosθ+isinθ）的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，为了区别复数的三角形式，a+bi叫做复数的代数形式。
【复数的指数形式】
为了表达简便，我们把模为r，辐角为θ（以弧度为单位）的复数表示成reiθ的形式，叫做复数的指数形式。
【复数加、减法的法则】
两个复数相加（减），只需把它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。
【复数加法的几何意义】
（1）平等四边形法则：设OZ1，OZ2分别对应于复数a+bi与分别对应于复数a+bi与c+di，以这两个向量为两条邻边作平行四边形，则与这个平行四边形的对角线OZ所表示的向量OZ相对应的复数，就是所求两个复数a+bi和c+di的和。
（2）三角形法则：设OA表示复数a+bi，AB表示复数c+di（即OA的终点A是AB的起点），则向量OB所表示的复数就是所求两个复数a+bi和c+di的和。
【复数减法的几何意义】
设向量OZ1，OZ2分别对应于复数a+bi和c+di，则（a+bi）=（c+di）所得差对应的向量为连结两个向量的终点并指向被减数向量终点的向量Z2Z1。
【复数乘法的法则】
复数乘法可按多项式乘法法则进行，在所得结果中，把i2换成－1，并把实部与虚部分别合并，即（a+bi）（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i。由复数代数式的乘法法则导出复数三角形式的乘法法则为r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]
即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和。
【复数乘法的几何意义】
两个复数z1=r1（cosθ1+isinθ1），z2=r2（cosθ1+isinθ1）相乘时，可把复数z1对应的向量OP1按逆时针方向旋转一个角θ2（如果θ2＜0，就要把OP1按顺时针主向旋转一个角θ2），再把它的模变为原来的r2倍（若r2=1，则模r1不变，若r2＞1，则模r1伸长；若r2＜1，则模r1缩小即把模r1做一伸缩变化），所得的向量OP1就表示积z1z2。
【复数除法的法则】
两个复数相除，可以先把它们的商写成分式，然后把分子、分母都乘以分母的共轭复数，并把结果化简，即a+bic+di=（a+bi）（c—di）（c+di）（c—di）=ac+bdc2+d2+bc—adc2+d2。
利用复数代数式的除法法则容易导出复数三角形式的除法法则r1（cosθ1+isinθ1）r2（cosθ2+isinθ2）=r1r2［cos（θ1—θ2）+isin（θ1—θ2）］
即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
【复数除法的几何意义】
复数z1=r1（cosθ1+isinθ1）除以复数z2=r2（cosθ1+isinθ1）时，可把z1对应的向量OP1顺时针旋转一个角θ2，再把它的模变为原来的1r2倍，所得的向量OP1就表示z1z2商。
【复数乘方的法则】
当n是正整数时，复数的n次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍。复数乘方的这一法则也叫做棣莫弗定理。
说明：（1）在规定了复数的负整数指数幂的意义（即z—n=12nn∈N）以后，棣莫弗定理可推广至非零整数的范围；
（2）在学习了二项式定理后，在n是正整数时，（a+bi）n也可利用二项展开式计算得到，计算虽然麻烦一点，但在复数a+bi的辐角不是特殊值时，其乘方结果的表达是比较简单的。
【复数开方的法则】
复数的n次方根有n个值，它们的模都等于这个复数的模的n次算术根，它们的辐角分别等于这个复数的辐角与2π的0，1，……，n－1倍的和的n分之1，即复数r（cosθ+isinθ）的n次方根是nrcosθ+2kπn+isinθ+2kπn（k=0，1，……，n—1）。
说明：非零复数的n次方根只有n个不同的值，这就需要说明的是，k取0，1，……，n—1以外的任意数时，辐角θ+2kπn所对应的终边必定与n取0，1，……，n—1中的某一个辐角的终边相同即可。
【复数开方的几何意义】
由复数r（cosθ+isinθ）开n次方所得的结果可知，这n个方根所表示的点均匀公布在以原点为圆心，所nr为半径的圆上，构成了一个正n边形的n个顶点。
【二项方程】
形如anxn+a0=0（an≠0）的方程叫做二项方程。任何一个二项方程都可以化成xn=b（b∈C）的形式，因此都可以通过复数开方来求根。
