任何一个实数都可以在数轴上找到一个点代表它，任何一个数轴上的点都表示一个实数。数轴上的点与实数一一对应。实数的单位是1。
【实数大小的比较】
在数轴上靠近箭头的数比离开箭头远的数大（如果箭头在右，则右边的数总比左边的数大）。
（1）正数大于零和一切负数；
（2）两个正数，绝对值大的数较大，绝对值小的数较小；
（3）负数都小于正数和零；
（4）两个负数，绝对值大的数反而小，绝对值小的数反而大。
【实数的运算】
（1）实数的代数运算有：
（1）加法：求和的运算。它是由原点连续做出的几个实数向量的和，“和”是终点在数轴上所代表的数。即加数1+加数2=和。
（2）减法：已知两数“和”和一个加数求另一加数的运算，它是加法的逆运算。
即被减数－减数=差。
（3）乘法：求两个数积的运算。
即因数1×因数2=积。
（4）除法：已知两数积和其中一个因数。求另一因数的运算。它是乘法的逆运算。
即被除数÷除数=商。
（5）乘方：求一个数幂的运算。
即（底数）指数=幂。
（6）开方：求一个数方根的运算，它是乘方的逆运算。是已知幂和指数求底数的运算。
当根指数为奇数时，被开方数为任意实数；当根指数为偶数时，被开方数不负（正数或零）。
（2）运算的定律和性质：
（1）加法交换律a+b=b+a。
（2）加法结合律（a+b）+c=a+（b+c）。
（3）乘法交换律ab=ba。
（4）乘法结合律（ab）c=a（bc）。
（5）乘法对于加法的分配律（a+b）c=ac+bc。
（6）减法的运算性质a－（b+c－d）=a－b－c+d。
（7）除法的运算性质a÷（bcd）=a÷b÷c÷d；（a+b－c）÷
m=a÷m+b÷m—c÷m=am+bm—cm。
（3）运算顺序：
（1）先进行第三级运算（乘方、开方），再进行第二级（乘、除），最后进行第一级（加、减）；
（2）在同一级运算中按先后，从左至右；
（3）如果有括号，括号内运算优先；
（4）可根据运算定律和性质，改变运算顺序。
【完全平方数】
如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，这个正数就叫做完全平方数。
【二次根式】
形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。有（a）2=a（a≥0）。
【算术平方根与绝对值的关系】
a2=a=a（a＞0）0（a=0）—a（a＜0）
注意：算术根不负。
【二次根式的性质】
（1）积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
ab=a·b（a≥0，b≥0）。
（2）商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
ab=ab。
（a≥0，b＞0）。
注意：二次根式的性质要注意条件。
【最简二次根式】
符合下列条件的叫最简二次根式：
（1）被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2；
（2）被开方数不含分母。
【同类二次根式】
几个二次根式化成最简根式后，被开方数相同时，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
【二次根式的加减法则】
把各根式化成最简根式；合并同类根式；没有同类根式的写在结果中。
【二次根式的乘法法则】
a·b=ab（a，b≥0），乘法的运算性质仍然适用。
【二次根式的除法法则】
ab=ab（a≥0，b＞0）
【分母有理化】
把分母中的根号化去，叫分母有理化。
【有理化因式】
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，这样两个代数式叫互为有理化因式，也叫共轭根式。
【形如A±2B的开平方】
A±2B=x±y（x＞y）式中x+y=A，xy=B。解出x，y。
【一元二次方程】
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫一元二次方程。它的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）。
【一元二次方程的解法】
（1）因式分解法把方程的一边化为零，另一边因式分解，令每个因式为零，解每个方程。所有的解，就是原方程的解。
ax2+bx+c=0a（x－x1）（x－x2）=0。x－x1=0或x－x2=0。x=x1或x=x2。
说明：一般比较容易分解因式时，常用这种方法。
（2）开平方法把方程化成x2—a的形式两边同时开平方得x=±a（a≥0）。
说明：一般缺一次项时，常用这种方法。
（3）配方法用二次项的系数除方程的两边各项；把二次项和一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；方程两边各加上一次项系数的一半的平方，方程左边变成一个二项式的完全平方，右边化成一个常数项；方程两边同时开方，得到两个一次方程；分别解这两个一次方程，求出两个根。
ax2+bx+c=0。
x2+bax=—ca。
x2+bax+（b2a）2=（b2a）2—ca。
（x+b2a）2=b2—4ac4a2。
x+b2a=±b2—4ac2a。
x1=—b+b2—4ac2a，x2=—b—b2—4ac2a。
（4）公式法ax2+bx+c＝0（a≠0）
x1=—b+b2—4ac2a，x2=—bb2—4ac2a。
说明：求根公式是配方解一元二次方程的结果。当b2－4ac≥0时有解。
（5）图象法：
（1）把ax2+bx+c=0变成ax2=－bx－c，在同一坐标系中作出y=ax2和y=－bx－c，这两个图象交点的横坐标为原方程的解。
（2）作y=ax2+bx+c的图象（抛物线），它与x轴交点的横坐标是原方程的解。
【一元二次方程的根的判别式】
ax2+bx+c=0（a≠0）中，=b2－4ac叫根的判别式。
（1）＞0时，方程有两个不相等的实根；
（2）=0时，方程有两个相等的实根；
（3）＜0时，方程没有实数根。
具体可见下表（a＞0时）。
【一元二次方程根与系数的关系】
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1、x2，那么x1+x2=—ba，
x1x2=ca。
如果方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，那么x1+x2=－p，x1·x2=q。
说明：一元二次方程根与系数的关系也叫韦达定理。
【同向不等式】不等号相同的两个或几个不等式叫做同向不等式。例如：2x+5＞3与3x－2＞5是同向不等式。
【异向不等式】不等号相反的两个不等式叫做异向不等式。例如2x+5＞3与3x－2＜5是异向不等式。
【不等式的性质】
定理1：a＞bb＜a（对称性）；
定理2：a＞b，b＞ca＞c（传递性）；
定理3：a＞ba+c＞b+c；
推论1：a+b＞ca＞c—b；
推论2：a＞b，c＞da+c＞b+d，
推论3：a＞b，c＞da—c＞b—d；
定理4：a＞b，c＞0ac＞bc；
a＞b，c＜0ac＜bc；
推论1：a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd；
推论2：a＞b，ab＞01a＜1b；
推论3：a＞b＞0，0＜c＜dac＞bd；
推论4：a＞b＞0an＞bn（n∈z，n＞1）；
推论5：a＞0，b＞0时，
ab＞1a＞b；
ab=1a=b；
ab＜1a＞b；
定理5：a＞b＞0na＞nb（n∈z且n＞1）。
说明：
不等式的性质比较多，记忆时可按对称性、传递性、运算性质记忆，运算性质中又包括一个不等式的六种代数运算性质和两个不等式间的加、减、乘、除四种运算性质。
在应用不等式的性质解决问题时，一定要注意该性质成立的条件，否则结论将不一定正确。因此，在学习性质时，要求学生会举出反例说明每一个性质中条件存在的必要性，加深对性质的理解。
【含有绝对值不等式的性质】
定理1：a－b≤a±b≤a+b。
推论：a1+a2+……+an≤a1+a2+……+an。
定理2：ab=a·b。
定理3：ab=ab。
【平均不等式】
定理1：如果a、b∈R+，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取“=”
号）。
推论1：如果a、b∈R，则a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”号）。
推论2：如果a＞0，则a+1a≥2（当且仅当a=1时取“=”号）。
推论3：如果a、b同号，则ba+ab≥2（当且仅当a=b时取“=”号）。
说明：（1）a+b2叫做a、b的算术平均数，ab叫做a、b的几何平均数，它来源于把边长分别为a、b的矩形变成和它面积相等的正方形的边长ab，这里ab就是线段a、b在保持矩形面积不变这种意义下的几何平均值。
（2）平均不等式除了作为证明不等式的依据外，还常用来求函数的最大、最小值，此时需要注意三点：（1）a、b是正数的条件是否存在；（2）“和a+b”与“积ab”中，必须有一个为常量。若a+b为常量，则可求ab的最大值；若ab为常量，则可求a+b的最小值；（3）确定等号成立的条件存在。
定理2如果a1，a2，………，an∈R+，且n＞1，则a1+a2………+ann≥na1a2………an（当且仅当a1=a2=………=an时取“=”号）。
【比差法证明不等式】由两个实数比较大小的定义可知，要比较不等号左、右两边的大小等价于研究左式减右式所得差的符号，因此“取差”是不等式证明的基本方法。比差法证题的基本步骤是取差、变形、定号。常用的变形手段是因式分解或配方，目的是为了便于判断式子取值的符号。
【比商法证明不等式】
理论依据是：
ab＞1，b＞0a＞b。
aba=b。
ab＜1，b＞0a＞b。
步骤是：作商；变形；判断商比1大还是比1小。
一般对两边是指数式的不等式采用作商比较。
【分析法证明不等式】由所证命题的结论出发，逐步逆找结论成立的充分条件，直至找到明显成立的不等式为止，这种证明不等式的方法叫做分析法。如果在逆找过程中，每一步都是可逆的（就是任何相邻的两个论断都是互为充要条件的），那么这种的分析法我们还称它为“逆证法”。
【反证法证明不等式】反证法是一种间接证明方法，它是依据形式逻辑中的“排中律”（即两个互相矛盾的判断不能都是假的）进行的，论题与矛盾论题是两个互相矛盾的判断，根据排中律，如能证明矛盾论题是假的，那么论题必然是真的。反证法的证题过程是：先否定原命题的结论部分（即作出和结论相反的假设），经过推理导出矛盾（可与已知公理、定理矛盾，或与题中已知矛盾，或与临时假设矛盾，或自相矛盾），从而否定结论的反面，因而原结论是正确的。
【综合法证明不等式】从已知条件出发，经过正确推理，逐步导出欲证结论为止的证明方法叫做综合法。综合法证明不等式的步骤是：从已知条件出发，先确定一个或几个恰当的正确的不等式，以它为起点，以要证的结论为目标，根据不等式的性质逐步导出要证的结论。
【数学归纳法证明不等式】主要适用于关于自然数的不等式的证明。
【判别式法证明不等式】主要适用于二次不等式及与二次式有关的不等式。
例求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac。
证明设y=a2－（b+c）a+b2+c2－bc，
则=（b+c）2－4（b2+c2－bc）=－3（b－c）2≤0，
又a2的系数为正，y≥0，
即a2+b2+c2≥ab+bc+ac。
【放缩法证明不等式】放缩法是证明不等式所特有方法，下面介绍几种常用的放缩办法。
（1）分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩。
（2）利用平均不等式放缩。
（3）利用三角函数的取值范围放缩。
【一元高次不等式】含有一个未知数，并且未知数的最高次数高于二次的不等式，叫做一元高次不等式。它的一般形式是：
anxn+an—1xn—1+……+a1x+a0＞0或。
anxn+an—1xn—1+……+a1x+a0＜0（an≠0，n∈N，n＞2）。
【无理不等式】在被开方式中含有未知数的不等式叫无理不等式。无理不等式解法的主要思想是利用不等式乘方性质，去掉根号化为有理不等式和直接利用算术根的定义来解。
