说明：（1）根据性质1和性质2，可将双曲线定义为：到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是一大于1的常数的点的轨迹，这个定点就是双曲线的一个焦点，这条定直线就是对应于这个焦点的一条准线，这个大于1的常数就是双曲线的离心率。
（2）双曲线方程与焦点坐标，准线方程的对应关系如下表所示：
双曲线方程焦点准线方程：
x2a2—y2b2=1（±c，0）x=±a2c。
y2a2—x2b2=1（0，±c）y=±a2c。
（x—x0）2a2—（y—y0）2b2=1（x0±c，y0）x=x0±a2c。
（y—y0）2a2—（x—x0）2b2=1（y0±c，x0）y=y0±a2c。
【抛物线的定义】
定义1：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等（或者说距离之比等于1）的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。焦点到准线的距离叫做焦参数。
抛物线也就是点集M={P｜｜PH｜=d}={P｜｜PF｜d=1}其中F是焦点，d是P的到准线l的距离。
定义2：用一个不过直圆锥顶点的平面截直圆锥的侧面。当平面与直圆锥轴线的夹角等于圆锥的半顶角（即与直圆锥的母线平行）时，所截得的曲线叫做抛物线。
【抛物线的标准方程】
由于抛物线与坐标系的不同位置关系，抛物线的标准方程有四种不同形式，如下表所示：
方程焦点准线图形：
y2=2px（p＞0）F（p2，0）x=—p2。
y2=—2px（p＞0）F（0，—p20）x=p2。
x2=2px（p＞0）F（0，p2）y=—p2。
x2=—2px（p＞0）F（0，—p2）y=p2。
说明：（1）方程中p叫做焦参数，是焦点到准线的距离。
（2）抛物线的标准方程的“标准”二字的含义，从方程的特征来看：方程左端只含有x2或y2项并且系数为1，方程右端则只含有y的一次项或x的一项，系数可正可负；从曲线的特征来看：顶点位于坐标原点，焦点在坐标轴上，准线垂直于坐标轴。
【顶点在（x0，y0）对称轴平行于坐标轴的抛物线方程】
由于抛物线有不同的开口方向，方程有四种不同形式。
说明：（1）这四个方程是借助于坐标轴的平移公式，由抛物线的标准方程导出的。
（2）这四个方程对应的抛物线与标准方程的四种不同形式对应的抛物线有类似的性质。
（3）这四个方程展开后，可归结为Ax2+Dx+Ey+F=0（A≠0）或Cy2+Dx+Ey+F=0（C≠0）型的二元二次方程。
对于方程Ax2+Dx+Ey+F=0（A≠0），当E≠0时，它的曲线是抛物线（开口向下或向上），当E=0时，方程的图形可能是两条平行直线（D2－4AF＞0），可能是两条重合直线（Dv2－4AF=0），可能没有轨迹，（D2－4AF＜0）。
对于方程Cy2+Dx+Ey+F=0（C≠0），当D≠0时，它的曲线是抛物线（开口向左向右），当D=0时，方程的图象可能是两条平行直线（E2－4CF＞0），可能是两条重合直线（E2－4CF=0），可能没有轨迹（E2－4CF＜0）。
方程焦点准线图形：
（y—y0）2=2p（x—x0）（p＞0）F（x0+p2，y0）x=x0—p2。
（y—y0）2=—2p（x—x0）（p＞0）F（x0—p2，y0）x=x0+p2。
（x—x0）2=2p（y—y0）（p＞0）F（x0，y0+p2）y=y0—p2。
（x—x0）2=—2p（y—y0）（p＞0）F（x0，y0—p2）y=y0+p2。
【抛物线的性质】
抛物线y2=2px（p＞0）的特征可由下述概念与结论表述：
顶点（抛物线与轴的交点）：O（0，0）；
轴（抛物线的对称轴）：y=0（x轴）；
通径（过焦点且垂直于轴的弦）：H’H＝2p；
焦参数（焦点到准线的距离）：p=FK；
离心率（抛物线上各点到焦点的距离和到准线的距离之比）：e=1；
表述抛物线y2=2py的特征的有关概念与结论，基于抛物线y2=2px的下述性质；
（1）对称性：抛物线是轴对称图形，并且只有唯一的对称轴，抛物线不是中心对称图形，是无心曲线。
（2）区域性：由y2=2px（p>0）可得x=y22p，y=2px，当x≥0时，y才有对应的实数值：对于y的任何实数值，x都有对应的实数值，因此抛物线y2=2px（p＞0）上各点都在右半平面（原点除外），而且向右上和右下无限伸展。
说明：抛物线y2=－2px，x2=2px，x2=－2px等也有类似的特征与性质。
【曲线切线和法线的定义】
P和Q是曲线C上邻近的两点，P的定点，当Q点沿着曲线C无限地接近P点时，割线PQ的极限位置PT叫做曲线C在点P的切线，P点叫做切点；经过切点T并且垂直于切线PT的直线PN叫做曲线C在点P的法线（图37）。
说明：平面几何中，将和圆只有一个公共交点的直线叫做圆的切线。这种定义不适用于一般的曲线；在图38中，PT是曲线C在点P的切线，但它和曲线C还有另外一个交点；相反，直线l尽管和曲线C只有一个交点，但它却不是曲线C的切线。
【切线的斜率】
P和Q是曲线C上邻近的两点，P是定点。当Q沿着曲线C无限接近P点时，割线PQ的斜率的极限叫做曲线C在P点的切线PT的斜率：KPT=limQPkPQ。
设P点坐标为（x1，y1），则Q点坐标可以写成（x1+x，y1+y），其中x和y分别是横坐标和纵坐标的微小改变量，当Q点无限接近P点时，x和y同时无限接近于零，由此可知KPT=limx→0Δy→0yx，称为切线的斜率公式。
说明：计算曲线上一点P的切线的斜率的基本步骤是：
（1）在曲线F（x，y）=0上取与P（x1，y1）邻近的一点Q（x1+x，y1+Δy）；
（2）将P、Q两点坐标代入曲线方程，解得割线PQ的斜率；
（3）求当x→0（这时y→0时），yx的极限，就是所求的切线斜率。
【经过不在圆锥曲线上的一点求圆锥曲线的切线方程】
经过圆或椭圆外部一点，双曲线内部（不包含双曲线两焦点的平面区域，即满足x2a2—y2b2<1的点集）一点，抛物线外部（不包括抛物线焦点的平面区域，即满足y2＞2px的点集）一点，可以分别作圆或椭圆，双曲线，抛物线的两条切线，可按下列两种方法求切线方程。
方法一：设已知不在曲线上的点为P0（x0，y0），切点为P1（x1，y1）写出切线方程（按经过曲线上一点求切线方程的变形规则）；
将P0点坐标代入切线方程，得出一个关于x1，y1的方程；
由于P1点在曲线上，将P1点坐标代入曲线方程，得出另一个关于x1，y1的方程；
解方程组求出切点坐标，便可写出切线方程。
方法二：设所求切线方程为x－y0=k（x－x0），其中斜率k是待定系数，
将所设切线方程与曲线方程联立，组成方程组；消元，化为关于x（或y）的一元二次方程，令其判别式=0，解出k值，便可写出切线方程。
说明：（1）采用方法二时，应注意不要遗漏斜率不存在（垂直于x轴）的切线。
（2）若已知点在圆或椭圆的内部，双曲线的外部（包含双曲线焦点的平面区域，即满足x2a2—y2b2>1的点集），抛物线的内部（包含抛物线焦点的平面区域，即满足y2＜2px的点集），则不能作圆或椭圆，双曲线，抛物线的切线。
（3）过不在圆锥曲线上一点求圆锥曲线的切线方程的方法，可推广应用于求符合其他条件的切线方程。
【已知斜率的切线方程】
已知斜率为k且和圆锥曲线相切的直线方程如下表所示：
曲线曲线方程条件斜率为k的切线方程：
圆x2+y2=r2k∈Ry=kx±rk2+1。
椭圆x2a2+y2b2=1k∈Ry=kx±ra2k2+b2。
双曲线x2a2+y2b2=1k＜—ba或＜k＞bay=kx±ra2k2—b2。
y2a2+x2b2=1—ba＜k＜aby=kx±ra2—b2k2。
抛物线y2=2pxk≠0y=kx+p2k。
说明：（1）已知斜率为k的圆锥曲线的切线，对圆和椭圆来说，一定有两条；对双曲线来说，可能有两条，可能没有，视斜率的取值范围而定；对抛物线来说，只要不平行于对称轴，一定有一条。
（2）以上结论的导出过程是：在已知斜率为k的条件下，用斜截式设出切线方程，代入圆锥曲线方程消去x或y，得出一元二次方程后，令判别式=0，解出待定系数——纵截距，从而求出切线方程。
（3）当直线与双曲线的渐近线平行时，直线和双曲线只有一个交点，但并不相切；当直线和抛物线的对称轴平行时，直线的抛物线只有一个交点，但并不相切。
【椭圆的切线和法线的性质】
经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
这一性质的物理意义是：从椭圆的一个焦点发出的的光线或声波，经过椭圆的反射后，都集中到椭圆的另一个焦点上。
【双曲线的切线和法线的性质】
经过双曲线一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
这一性质的物理意义是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过靠近这一焦点的双曲线的一支反射后，光线就好像从另一个焦点发出的一样。
【圆锥曲线的直径】
圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的平行弦的中点轨迹叫做圆锥曲线的直径。
说明：（1）圆锥曲线的直径的图形，可以是一条线段（圆和椭圆的直径），可以是一条射线（抛物线的直径），可以是一条直线或一条直线上的两条射线（双曲线的直径）。
（2）椭圆的直径与圆的直径不同。同圆的直径都相等，同一椭圆的直径长度可以不等。
（3）椭圆的方程写成x2α2+y2β2=1的形式，可不考虑α、β的大小关系。
