【空间图形】
空间图形是由空间的点、线、面所构成的图形，也可以看成是空间点的集合。例如，长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形。平面图形是空间图形的一部分。由于几何学对几何图形反映什么样的实际物体是不指明的，所以几何图形是从实际物体经过归纳、概括和抽象的产物。如果只研究一个物体的形状和大小，而不考虑它的其他性质，我们就把这个物体叫做几何体，简称体。体有长、宽和高。正是由于空间图形的抽象性，一个图形可以是许多实际物体的抽象形式，因而使几何学在实践中有广泛的应用。
【公理法】
公理法是整理与叙述数学知识的一种常用方法。这种数学公理化形式的确立，是古希腊数学的最伟大的成就之一。欧几里得《原本》的内容固然重要，但那些内容借以表现的形式甚至更为重要。《原本》中公理法的表现形式对后代产生了如此深刻的影响，以致这部著作成了严格的数学证明的典范，成为现代数学表述形式的原型。
什么叫做公理呢？在形式逻辑三段论的推理过程，“结论”的得出是以“大前提”为依据的。而“大前提”也是个命题，因此作为推证某一命题依据的“大前提”，也必须是得到证明的正确的命题。否则这个命题的推证是无效的，当然循环论证（两个命题互为推理的依据）也是无效的。这样一来，顺次地上溯，终必出现其真实性不能通过推理论证的命题。我们把不能以别的命题为“大前提”来推理证明，而且又用来作为推证其他命题的命题，叫做公理。公理的正确性，是由人类长期的实践活动所证实的。
一个学科的陈述，如果采取最初规定若干条该学科的公理，而其他的内容都可以由这些公理逻辑地推出，那么我们就说这个学科采用了公理法的形式进行表述。例如，平面几何和立体几何，都采用公理法进行陈述。立体几何中的公理体系包括以下六条公理，在此基础上建立起立体几何这门学科的全部理论。
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
公理5：长方体的体积等于它的长、宽、高的积。
公理6：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
【反证法】数学证明中，有的命题往往不易或不能直接从原命题的题设证得结论，而改证它的逆否命题（因为它与原命题等效）。即先假设原命题结论不真，然后由此假定出发，经过逐步推演，导出同已知命题或题设条件相矛盾的结果。产生这种矛盾的原因，不是由于推理有误所致。根据逻辑学中的不矛盾律（在同一思维过程中，两个互相反对或互相矛盾的判断不能同时都真，其中至少有一个是假的。公式是“A不是非A”）、排中律（在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都假，其中必有一个是真的。公式是“A或者非A”），便有开始假设的原命题结论不真是错误的，因此原命题的结论是正确的。这种证明的方法叫反证法。
根据反证法的基本思路，我们把用反证法证明命题的一般步骤归结为：否定结论、推导可能、出现矛盾、证明完成。由于否定结论的情况不同，反证法又可分为归谬法和穷举法，当对原命题结论否定情形只有一种时用归谬法，当对原命题结论否定情况不只一种（但是有限种）时用穷举法。推导可能是反证法中带关键性的步骤，不论归谬法还是穷举法，最后都要“归谬”出现矛盾。矛盾是怎样出现的呢？当然要具体情况具体分析。一般常用下面几种情况，即和已知定义矛盾、和已知公理矛盾、和已知定理矛盾、和题设矛盾、和开始所作的假设矛盾、或者推出的不同结果自相矛盾等等。
立体几何中，反证法用得比较多。除了掌握反证法的基本思路和步骤外，还要防止在推导可能的时候犯循环论证的错误，使全部论证前功尽弃。
例试证：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与这个平面垂直（即两垂线定理）。
已知：直线l⊥a，l⊥b，直线a、b平面α，且a∩b=A。求证：l⊥平面α。
证明假设l不垂直平面α，l’为l在α平面内的射影，则有l’⊥a，l’⊥b（三垂线定理的逆定理）。于是，在平面α内，过A点有两条直线a、b与已知直线l’垂直，这与定理“在平面内过一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾。故假设是不正确的，所以l⊥平面α。
说明：这里反证法的步骤，应该说用得是很漂亮的。主要问题是在推导可能的时候，用了三垂线定理的逆定理，而三垂线定理及其逆定理的证明用了两垂线定理，因此犯了循环论证的错误。初学者，这种的错误是屡见不鲜的，我们应该有所警惕。
【平面】几何元素之一，是从客观现象中抽象出来的一个原始概念（原名）。例如，平静的水面、窗玻璃面、桌面等都给我们以平面的形象。几何里的平面是无限延展的。在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。当平面是水平放置的时候通常把平行四边形的锐角画成45°，横边画成等于邻边的两倍。
说明：不能引用别的名称（概念）来定义，并且又用来定义其他名称（概念）的名称（概念），就叫做基本概念，或简称为原名。数学中，数、量、点、直线、平面、集合等等，都是原名。在中学数学课本中，原名虽然也有解释，但并不是定义，只是对原名所反映的对象的一些描绘而已。
【平面的基本性质】有关平面的三个公理及三个推论，是研究空间图形性质的理论基础。
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
这三个公理，刻画出平面区别于其他图形的本质特征，即具有这三个性质的图形才成其为平面。可能通过正、反例子，如“一张纸对折折痕总是直线”、“球面和地面有一个公共点时并没有过这个点的公共直线”等，加深对这三个公理的理解。
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
平面的基本性质小结
名称作用
平面的基本性质一（公理1）判定直线在平内的依据。
性质二（公理2）两个平面相交的依据。
性质三（公理3）确定一个平面的依据。
一部数学从理论上说，是由原名、公理、定义、定理（命题）及其推论所组成的。
【空间多边形】不在同一个平面内的若干线段（至少有四条），首尾相接，并且最后一条的尾端和最初一条的首端重合，这样组成的图形叫做“空间多边形”。例如，空间四边形就是最简单的空间多边形。
【两条直线的位置关系】
空间两条不重合的直线有三种位置关系，即相交、平行、异面。
相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点。
平行直线：在同一个平面内，没有公共点。
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
两条不重合的直线位置关系列表比较如下：
【异面直线所成的角】直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b。我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
异面直线所成的角，定量地刻画着两条异面直线的位置关系。要注意异面直线所成角的大小与点O的位置无关，为简便起见一般取在直线a（或b）上。异面直线所成的角的取值范围是正锐角或直角，这一点在实际运用概念时，常常因疏忽了它而出错。
说明：求异面直线所成的角，常常是利用平移的方法，得到一个三角形，然后根据锐角三角函数的定义或余弦定理求解。如果本题还要求A’C’和BD’所成的角呢？这时平移稍微麻烦一点，试想想办法克服困难。
【异面直线的公垂线】和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。异面直线的公垂线存在唯一。
已知：异面直线a、b。
求作：a、b的公垂线。
作法：（1）过a上任意一点P，在b与P确定的平面内作b’∥b，且a与b’确定平面α；
（2）过b作平面β⊥α，且β∩α=b″，b″∩a=A；
（3）过点A在平面β内作AB⊥b于点B。
则直线AB即为异面直线a、b的公垂线。
说明：由本题可知异面直线的公垂线存在，唯一性可以用反证法证明。
【两条异面直线的距离】两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离。
怎样求异面直线的距离呢？主要方法有：
（1）直接法：找出（或作出）异面直线的公垂线段，求公垂线段的长。
（2）转化法：将线线距离转化为线面距离或面面距离，通过后者的计算求得异面直线的距离。
（3）等积法：利用三棱锥任何一个面都可以当作底面的特点，通过计算体积公式列方程求异面直线的距离。
（4）最小值法：利用异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小者这一性质，构造函数求最小值。
（5）公式法：当已知EF的长、m、n以及θ时，利用上面推导出的公式可求得异面直线的距离d。
【空间两条直线平行的判定】
主要公理、定理如下：
（1）平行于同一直线的两条直线平行；
（2）垂直于同一平面的两条直线平行；
（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行（简记为“线面平行则交线平行”）；
（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简记为“面面平行则交线平行”）；
（5）一条直线分别与两个相交平面平行，则该直线与两平面的交线平行；
（6）三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条平行，则三条交线两两平行。
【空间两条直线垂直的判定】
注意：垂直不一定相交。判定垂直常用方法有：
（1）如果两条直线所成的角是直角，则这两条直线垂直；
（2）如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内的任何一条直线都垂直；
（3）三垂线定理及其逆定理。
【直线和平面的位置关系】
一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
（1）直线在平面内——有无数个公共点；
（2）直线和平面相交——有且只有一个公共点；
（3）直线和平面平行——没有公共点。
注意：直线在平面内不能说成直线和平面重合，直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
【直线在平面内的判定】
主要公理、定理如下：
（1）直线上的两点在平面内，则直线在平面内；
（2）过一点与已知直线垂直的直线，均在过这点与已知直线垂直的平面内；
（3）过平面外一点与已知平面平行的直线，均在过这点与已知平面平行的平面内；
（4）一直线平行一平面，则过平面内一点与已知直线平行的直线在已知平面内；
（5）两平面垂直，过第一个平面内一点，垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
【直线和平面平行的判定】
主要判定根据如下：
（1）直线和平面没有公共点，则直线和平面平行；
（2）如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
（3）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
【直线和平面垂直的判定】
主要定理如下：
（1）如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面（两垂线定理）；
（2）如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面；
（3）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面；
（4）两个相交平面分别垂直于第三个平面，则其交线也垂直于第三个平面；
（5）如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【线段的射影】
自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影。过斜线上的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。
定理1：斜线上任何一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上。
定理2：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中。
（1）射影相等的两条斜线相等，射影较长的斜线段也较长（斜线长定理）；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长（射影长定理）；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短。
【直线和平面所成的角】
分三种情况定义如下：
（1）当直线和平面斜交时，斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；
（2）当直线和平面垂直时，直线和平面所成的角是直角；
（3）当直线和平面平行或直线在平面内时，直线和平面所成的角是0°的角。
【三垂线定理及其逆定理】
三垂线定理及其逆定理是反映三条直线，即平面内一条直线、平面的一条斜线和这条斜线在平面内的射影之间位置关系的定理。
换句话说就是，平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和斜线在平面上的射影垂直。在研究空间图形的性质时，常常利用三垂线定理及其逆定理，将某些空间图形的问题转化为平面图形的问题。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
使用定理及其逆定理，要注意“四线、一面、三垂直”中必备的条件，四线（平面的斜线、垂线、斜线在平面内的射影及平面内的一条直线）都在哪里，还要抓住命题的结论，分清使用的是定理还是逆定理，不能混淆。
例正方体ABCD—A1B1C1D1，棱长为a。求异面直线CB1与A1C1的距离。
解BD1⊥A1C1，BD1⊥B1C（三垂线定理）
取B1C1中点P，连结D1P和BP分别交A1C1和B1C于点M和点N。显然M和N分别是B1C1D1和B1C1B的重心，连结MN，则PM∶MD1=PN∶NB=1∶2，MN∥BD1。
MN是异面直线CB1与A1C1的公垂线段。
BD1=3，CB1与A1C1的距离为MN=33a。
说明：本题是利用三垂线定理的典型题目，求异面直线的距离，用的是直接法，即作出异面直线的公垂线段，然后求公垂线段的长。本题还可以转化为平面与平面的距离求解，这种解法也要用到三垂线定理，详见两条异面直线的距离。
【两个平面的位置关系】
两个不重合的平面只有两种位置关系，即相交和平行。
两平面相交：有一条公共直线。两平面平行：没有公共点。
