（1）对称性：椭圆x2a2+y2b2=1是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴——x轴与y轴；它也是中心对称图形，对称中心——椭圆的中心——是原点O。
（2）封闭性：椭圆是封闭曲线。椭圆x2a2+y2b2=1位于四条直线x=±a，y=±b所围成的矩形内。
（3）形状可变性：由于a＞b＞0，离心率e=ca=1—（bz）2＜1。
e越接近于1，ba越接近于0，椭圆形状越扁；相反，e越接近于0，ba越接近于1，椭圆形状越接近于圆。由此可知，离心率e是反映椭圆扁圆程度的参数。
说明：椭圆y2a2+x2b2=1、（y—y0）2a2+（y—y0）2b2=1、（y—y0）2a2+（x—x0）2b2=1也有类似的特征与性质。
【椭圆的焦点和准线】
直线11：x=—a3（或x=—a2c）和12：x=a3（或x=a2c）叫做椭圆x2a2+y2b2=1的准线，11是与焦点F1（—c，0）相对应的准线，12是与焦点F2（c，0）相对应的准线。
椭圆的焦点和准线有如下性质：
性质1：椭圆x2a2+y2b2=1上任意一点P到焦点F1（或F2）的距离r1（或r2）和到相对应的准线11（或12）的距离d1（或d2）之比等于椭圆的离心率e。
性质2：设a＞c＞0，到定点F1（－c，0）（或F2（c，0））的距离r1（或r2）和到定直11：x=（或12：x=a2c）的距离d1（或d2）之比等于ca的点P，必在椭圆a2a2+y2b2=1上。
根据性质1和性质2，可将椭圆定义为：到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是一个小于1的常数的点的轨迹，这个定点就是椭圆的一个焦点，这条定直线就是对应于这个焦点的一条准线，这个小于1的常数就是椭圆的离心率。
（2）椭圆方程与焦点坐标、准线方程的对应关系如下表所示。
【双曲线的定义】
定义1：平面内到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长的点P的轨迹叫做双曲线；两定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离F1F2叫做焦距。
双曲线也就是点集M=｛PPF1－PF2=定长｝。
定义2：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的距离之比为一个大于1的常数e的点的轨迹叫做双曲线，这个定点F叫做双曲线的焦点，这条定直线l叫做双曲线的准线，这一常数e叫做双曲线的离心率。
点到准线l的距离，e是离心率。
定义3：用一个不过直圆锥顶点的平面截圆锥的侧面。当平面与直圆锥轴线的夹角小于圆锥的半顶角时，所截得的曲线叫做双曲线。
【双曲线的标准方程】
方程x2a2—y2b2=1叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在x轴上，坐标分别为F2（－c，0）、F2（c，0），这里c2=a2+b2。
方程x2a2—y2b2=1叫做双曲线的标准方程。它所表示的双曲线的焦点在y轴上，坐标分别为F1（0，－c）、F2（0，c），这里c2=a2+b2。
说明：（1）方程中a表示半实轴（与双曲线有交点的对称轴叫实轴），b表示半虚轴（与双曲线没有交点的对称轴叫虚轴）。
（2）方程中a是双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值之半，而c是焦距之半，a，b，c恰是一个直角三角形的三边，c是斜边。
（3）在双曲线的标准方程中，在右端等于正1的条件下，若x2项系数符号为正，则焦点在x轴上，x轴是实轴；若y2项的系数符号为正，则焦点在y轴上，y轴是实轴。这是正确区分双曲线标准方程的两种不同类型的主要标志。但不论哪种类型，c2=a2+b2的关系不变，离心率e=ca不变。与椭圆标准方程不同，双曲线标准方程没有a>b>0的规定。结合图形中双曲线与坐标轴的不同位置关系是区分两种不同类型的双曲线标准方程的重要的辅助方法。
（4）双曲线的标准方程的“标准”二字的含义，从方程的特征来看：方程左端只含x2项和y2项且分子系数为1，用减号连结，方程右端只有常数1；从曲线的特征来看：焦点在坐标轴上并且中心位于原点。
（5）双曲线的标准方程也可以改写成Ax2－Cy2=K的形式，这是只含有x2项，y2项和常数项的二元二次方程，当K≠0且K与A、C中一个符号相同，一个符号相异时，方程可变形为双曲线的标准方程；当K=0且A、C异号时，方程可分解成两个一次方程，其图象是两条相交直线。
【中心在点（x0，y0）对称轴平行于坐标轴的双曲线方程】
中心在点（x0，y0），焦点连线与x轴平行（或重合）的双曲线方程是（x—x0）2a2—（y—y0）2b2=1（图36a）。
中心在点（x0，y0），焦点连线与y轴平行（或重合）的双曲线方程是（y—y0）2a2—（x—x0）2b2=1。
说明：（1）这两个方程是借助于坐标轴的平移公式，由双曲线的标准方程导出的。
（2）双曲线（x—x0）2a2—（y—y0）2b2=1及（y—y0）2a2—（x—x0）2b2的性质与双曲经x2a2—y2b2=1及y2a2—x2b2=1的性质相类似。
（3）这两个方程展开后，可归结为Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0型的二元二次方程，其中A、C异号，当D24A+E24C—F≠0时，它的曲线是双曲线，当D24A+E24C—F=0时，它的图象是两条相交直线。
【双曲线的性质】
双曲线x2a2—y2b2=1的特征可由下述概念与结论表述。
中心（双曲线的对称中心）：O（0，0）。
顶点（双曲线与对称轴的交点）：A’（－a，0）、A（a，0）；
焦点：F1（－c，0）、F2（c，0），c2＝a2+b2；
实轴（连结两顶点的线段）：A’A=2a；
虚轴（连结B’（0，－b）、B（0，b）的线段）：B’B=2b；
焦距：F1F2＝2c；
离心率：e=ca=1+（ba）2；
通径（过焦点且垂直于实轴的弦）：｜H’H｜=2b2a；
焦点数（通径长度之半）：p=b2a；
表述双曲线x2a2—y2b2=1的特征的有关概念与结论，基于双曲线x2a2—y2b2=1的下述性质：
对称性：双曲线x2a2—y2b2=1是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴——x轴与y轴，与x轴有两个交点，而与y轴没有交点；它也是中心对称图形，对称中心——双曲线的中心——是原点o。
（2）区域性：（1）由方程x2a2—y2b2=1可得y=±bax=±x2—a2，当｜x｜≥a时，y才有对应的实数值；而对于y的任何实数值，x都有对应的实数值。因此，双曲线x2a2—y2b2=1有两支，一支在直线x=a的右侧，向右上及右下两个方向列无限伸展；另一支在直线x=—a的左侧，向左上及左下两个方向无限伸展。（2）由方程x2a2—y2b2=1可得｜y｜≥bax1—（ax）2<bax，当x≥a时，—bax<y<bax，当x≥—a时，bax<y<—bax。因此，双曲线的两支都在直线y=—bax与y=bax之间。
综上所述，双曲线x2a2—y2b2=1的两支，应位于由直线x±a，y=±bax所围成的图形区域内。
（3）渐近性：双曲线x2a2—y2b2=1的两条渐近线是y=±bax。
（4）形状可变性：由于c＞a＞0，离心率e=ca=1+（ba）2。
恒大于1。e越接近1，ba越近于零，双曲线x2a2—y2b2=1开口越小；e越大，ba越大，双曲线开口也越大。由此可知，离心率e是反映双曲线开口大小程度的参数。
说明：双曲线x2a2—y2b2=1，（x—x0）2a2—（y—y0）2b2=1，（y—y0）2a2—（x—x0）2b2=1，也有类似的特征与性质。
【共轭双曲线】
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，或称它们互为共轭双曲线。
双曲线x2a2—y2b2=1与y2b2—x2a2=1互为共轭双曲线；双曲线y2b2—x2a2=1与x2a2—y2b2=1互为共轭双曲线。共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆。
【双曲线的焦点和准线】
直线l1：x=—ac（或x=—a2c）和l2：x=ac（或x=—a2c）叫做双曲线x2a2—y2b2=1的准线，11是与焦点F1（—c，0）相对应的准线，l2是与焦点F2（c，0）相对应的准线。
椭圆方程焦点准线方程：
x2a2+y2b2=1（±c，0）x=±a2c。
y2a2+x2b2=1（0，±c）y=±a2c。
（y—y0）2a2+（x—x0）2b2=1（x0±c，y0）x=x0±a2c。
（y—y0）2a2+（x—x0）2b2=1（x0，y0±c）y=y0±a2c。
双曲线的焦点和准线有如下性质：
性质1：双曲线x2a2—y2b2=1上任意一点P到焦点F1（或F2）的距离r1（或r2）和到相对应的准线l1（或l2）的距离d1（或d2）之比等于双曲线的离心率。
性质2：设c＞a＞0，到定点F1（－c，0）（或F2（c，0））的距离r1（或r2）和到定直线1：x=—ac（或l2：x=ac）的距离d1（或d2）之比等于ca的点P必在双曲线x2a2—y2b2=1上。
