2.风险中性原理
（1）基本思想
风险中性是相对于风险偏好和风险厌恶的概念，风险中性的投资者对自己承担的风险并不要求风险补偿。我们把每个人都是风险中性的世界称之为风险中性世界（Risk Neu tralWorld），这样的世界里，投资者对风险不要补偿，所有证券的预期收益率都是无风险利率。需要强调的是，风险中性假设下得到的衍生物估值同样可以应用于非风险中性的世界。
真实世界里的投资者尽管在风险偏好方面存在差异，但当套利机会出现时，投资者无论风险偏好如何都会采取套利行为，消除套利机会后的均衡价格与投资者的风险偏好无关，罗斯（Ross，1976）严格证明了这一逻辑。假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率。
假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率，因此：
期望报酬率（无风险收益率）=（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）（2）计算步骤
①确定可能的到期日股票价格
②根据执行价格计算确定到期日期权价值
③计算上行概率和下行概率
期望报酬率=（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）
④计算期权价值
期权价值=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值） ÷（1+持有期无风险利率）=（上行概率×Cu+下行概率×Cd）/（1+r）
【例2‐34】 假设甲公司的股票现在的市价为20元。有1份以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为21元，到期时间是1年。1年以后股价有两种可能：上升40％，或者降低30％。无风险利率为每年4％。
要求：要求利用风险中性原理确定期权的价值。
解：期望回报率=4％=上行概率×40％+（1—上行概率）×（—30％）
上行概率=0.4857
下行概率=1—0.4857=0.5143
股价上行时期权到期价值Cu=28—21=7
股价下行时期权到期价值Cd=0
期权价格=（上行概率×上行期权价值+下行概率×下行期权价值）÷（1+持有期无风险利率）=（7×0.4857+0×0.5143）÷（1+4％）=3.3999/1.04=3.27（元）
（二）二叉树定价模型
1.单期二叉树定价模型
（1）二叉树期权定价模型的假设
①市场投资没有交易成本；
②投资者都是价格的接受者；
③允许完全使用卖空所得款项；
④允许以无风险利率借入或贷出款项；
⑤未来股票的价格将是两种可能值中的一个。
（2）单期二叉树公式的推导
二叉树模型的推导始于建立一个投资组合：①一定数量的股票多头头寸；②该股票的看涨期权的空头头寸。即建立一个完全套期保值的投资组合：投资H股股票+卖出一份看涨期权。
计算公式推导：
初始投资=股票投资—期权收入=HS0—C0
投资到期日终值=（HS0—C0）×（1+r）
由于无论价格上升还是下降，该投资组合的收入（价值）都一样。
2.两期二叉树模型
两期二叉树模型就是把到期时间分成两期。单期二叉树的定价模型假设本来估价只有两个可能，对于时间很短的期权来说可以接受的，若到期时间很长，如【例2‐33】的半年时间，就与事实相去甚远。改善的办法是把到期时间分割成两个部分，每期3个月，这样就可以增加估价的选择。还可以进一步分割，如果每天为一期，情况就好多了。如果每个期间无限小，估价就成了连续分布，布莱克—斯科尔斯模型就诞生了。
简单地说，单期模型向两期的扩展，不过是单期模型的两次应用。
【例2‐35】 采用【例2‐33】 中的数据，把6个月的时间分为2期，每期3个月。变动以后的数据如下：ABC公司的股票现在的市价为50元，看涨期权的执行价格为52.08元。每期股价有两种可能：上升22.56％或下降18.4％；无风险利率为每3个月1％。计算期权价值为多少？
为了直观地显示有关数量的关系，仍然使用二叉树图示。
3.多期二叉树模型
多期二叉树模型从原理上看，与两期模型一样，从后向前逐级推进，只不过多了一个层次。期数增加以后带来的主要问题是股价上升与下降的百分比如何确定问题。期数增加以后，要调整价格变化的升降幅度，以保证年收益率的标准差不变。
【例2‐37】 采用【例2‐33】中的数据，将半年的时间分为6期，即每月1期。已知：股票价格S0=50，执行价格为52.08元，年无风险利率为4％，股票波动率（标准差）为0.4068，到期时间6个月，划分期数为6期（即每期为1个月）。
（1）确定每期股价变动乘数。
（2）建立股票价格二叉树
第一行从当前价格50元开始，以后是每期上升12.46％的价格路径，6期后为101.15元。第二行为第1期下降，第2‐6期上升的路径。以下各行以此类推。这种二叉树是形式不同，目的是便于在EXCEL表中计算。
（3）根据股票二叉树和执行价格，构建期权价值的二叉树。
构建顺序为由后向前，逐级推进。
①确定第6期的各种价格下的期权价值：
Cu6=Su6—X=101.15—52.08=49.07（元）
Cdu5=Sdu5—X=79.98—52.08=27.90（元）
Cd2u4=Sd2u4—X=63.24—52.08=11.16（元）
以下4项的股票价格均低于或等于执行价格，所以期权价值为零。
②确定第5期的期权价值：
上行百分比=u—1=1.1246—1=12.46％
下行百分比=1—d=1—0.8892=11.08％
4％÷12=上行概率×12.46％+（1—上行概率）×（—11.08％）
上行概率=0.4848
下行概率=1—0.4848=0.5152
Cu5=（上行期权价值×上行概率+下行期权价值×下行概率）÷（1+r）
=（49.07×0.4848+27.90×0.5152）÷（1+4％÷12）=38.04（元）
Cu4d=（27.90×0.4848+11.16×0.5152）÷（1+4％÷12）=19.21（元）
Cu3d2=（11.16×0.4848+0×0.5152）÷（1+4％÷12）=5.39（元）
以下各项，因为第6期上行和下行的期权价值均为零。第5期价值也为零。第4、3、2和1期的期权价值以此类推。
③确定期权价值：
期权价值=（8.52×0.4848+2.30×0.5152）÷（1+4％÷12）=5.30（元）
二叉树方法是一种近似的方法。不同的期数划分，可以得到不同的近似值，期数越多，计算结果与布莱克—斯克尔斯期权定价模型的计算结果的差额越小。
（三）布莱克—斯克尔斯期权定价模型
该公式是理财学中最复杂的公式之一。但是，该公式有非常重要的意义，它对理财学具有广泛的影响，是近代理财学不可缺少的内容。该模型具有实用性，被期权交易者广泛使用，实际的期权价格与模型计算得到的价格非常接近。
1.模型假设
Black和Scholes在推导B—S模型时做了以下假设：
（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；
（2）股票或期权的买卖没有交易成本；
（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；
（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；
（5）允许卖空，卖空者将立即得到卖空股票当天价格的资金；
（6）看涨期权只能在到期日执行；
（7）所有者证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。
2.基本模型（不考虑股利派发）
关于附表5（见附录）正态分布下的累积概率［N（d）]的使用说明：
（1）变量值在区间（—∞，∞）之间与正态分布曲线围成的整个面积=1，而且被均值一分为二，即在均值μ两侧的面积各为0.5。如N（2）：“2”表示标准差的个数，N（2）表示其变量值在（—∞，μ+2σ）之间与正态分布曲线围成的整个面积，等于0.5加上（μ，μ+2σ）之间与正态分布曲线围成的面积之和，表示变量值小于其均值μ与2σ标准差之和的概率。
（2）附表中第1列和第1行的数值相加，构成自变量d的值，d表示标准差的个数。如求N（1.96），在附表第一列中找到“1.9”，在第一行找到“0.06”，两数相加，即为d=1.96，“1.9”所在行和“0.06”所在列交叉处的数“0.9750”，就是所求N（1.96）的近似值，即N（1.96）=0.9750。又如N（0.24），那么“0.2”这一行与“0.04”这一列交叉处的数“0.5948”就是所求，N（0.24）=0.5948，等等。
（3图中左右两块相对应部分的面积是相等的。
如N（—2），即（—∞，μ—2σ）之间与正态分布曲线围成的面积，等于（μ+2σ，+∞）之间与正态分布曲线围成的面积，而（μ+2σ，+∞）之间与正态分布曲线围成的面积正好等于1减去（—∞，μ+2σ）与正态分布曲线围成的面积，即1—N（2）；即图中左边一块阴影的面积正是N（—d），而右边一块阴影部分的面积是1—N（d），两者相等。
于是，若求N（—2.46），因为N（2.46）=0.9931。所以：
N（—2.46）=1—N（2.46）=1—0.9931=0.0069
N（—0.02）=1—N（0.02）=1—0.5080=0.492
