公元1世纪，《九章算术》问世，它标志中国数学系统理论的产生。从此，奠定了后世数学研究的基础内容和理论形式。作为中国数学成熟的标志，《九章算术》还较完整地体现了中国古代的数学思想及其特点。
宋本《九章算术》《九章算术》的内容
现传本《九章算术》由246个数学问题及其答案和术文组成，按算法分属方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章。前六章定的是实用名称，“使学者知事物之所在，可以按名以知术也”，后三章“义理稍深，应用亦较狭，故从其专术得名。”各章名称的涵义和基本内容如下：
“方田”，是土地形状的特称，说明该章专讲各种形状地亩面积的计算，设问38题，提出21术，涉及的数学内容主要是平面图形面积的求法和分数的四则运算方法。
“粟米”，是谷物品种的特称，说明该章专讲各种谷物之间的换算，设问46题，提出33术，涉及的数学内容主要是比率算法。
“衰分”，意为按比率分配，说明该章专讲分配问题的解法，设问20题，提出22术，涉及的数学内容仍是比率算法，但难度较粟米章的比率算法要高，是它基础上的发展。
“少广”，名称比较奇特，中国古代称长方形的底、高为广、从，长方形面积给定后，广、从之间存在着广多从少和广少从多的关系。所以按定义而论，“少广”就是“广少而从多，需截多以益少。”说明该章专讲给定长方形面积或长方体体积求其边长的方法，设问24题，提出16术，涉及的数学内容主要是开平方和开立方。作为这类问题的扩充，该章的最后提出了两题已知球的体积而求其直径，即所谓“开立圆”问题。
“商功”，意为工程大小的估计，说明该章专讲开渠作堤、堆粮筑城等工程的计算和用工多少的确定，设问28题，提出24术，涉及的数学内容主要是立体图形体积的计算。
“均输”，意为平均输送，说明该章专讲按人口多少、路途远近、谷物贵贱推算赋税及徭役的方法，设问28题，提出28术，涉及的数学内容主要是在衰分章基础上发展起来的比率算法。
“盈不足”，是中国数学的一种专门算法——盈不足术的代称，说明该章专讲盈不足（包括两盈、盈适足、不足适足等）问题的算法，以及将一般算术问题化为盈不足问题的方法，设问20题，提出17术，涉及数学内容主要是假设法和基于直线内插思想的比率算法。
“方程”，指由数学排列而成的方形表达式，演算“方程”。的方法称为方程术，说明该章专讲列置和演算“方程”的方法，设问18题，提出19术，涉及数学内容主要是与线性方程组相当的理论和正负数运算法则。
“勾股”，指直角三角形，说明该章专讲有关直角三角形的理论，设问24题，提出22术，涉及数学内容主要是勾股定理及其应用。
从上述内容简介中可以看出，《九章算术》不仅内容丰富而且具有实用性强，以及以算为主、数形结合的特点。这个特点在全书的体系结构中也有明显的表现。
《九章算术》的体系
《九章算术》的体系是中国数学理论体系的典型代表。这个体系的基本结构是：以题解为中心，在题解中给出算法，根据算法组建理论体系。所以说，《九章算术》的理论体系是以题解为中心的算法体系。以题解为中心指的是这一理论的中心内容是问题及其解法；算法体系则指建立理论体系的依据和核心是算法。
从表面上看《九章算术》的分类依据似乎有两个：一是按问题的应用属性分类，如关于土地面积的计算归成一类，署名方田；关于谷物换算方法归成一类，署名粟米等等。二是按算法分类，如以介绍盈不足术、方程术、勾股术为主要内容的问题及题解分属三类，署名盈不足、方程和勾股等。其实，这是个表面现象。《九章算术》分类原则仅一个，即算法。《九章算术》的体系也仅一个，即算法体系。所谓实用体系的说法既不确切，也不符合《九章算术》的实际情况。事实上，《九章算术》中的不少问题是为了全面完整地表现算法而编制出来的，这些问题的应用属性完全由《九章算术》的作者所决定，应用属性不成其为分类原则。
近年来中算史家对《九章算术》的算法体系的研究有了较大的进展，发现《九章算术》不仅分类合理，体系完整，而且结构严谨，充分表现了中国数学特有的形式和思想内容。
整个《九章算术》包括了四大算法系统和两大求积公式系统。四大算法系统是分数算法、一般比率算法、组合比率算法、开方算法；两大求积公式系统是面积公式系统和体积公式系统。其中算法是主体，求积公式服务于算法，起表现算法的例解作用。四大算法系统和两大求积公式系统的有机结合构成了《九章算术》完整的理论体系。
《九章算术》的成就
中国古代数学不区分几何、代数等分支，算术这一名称包括了中国数学的全部内容。因此，按现在数学的分支来区别中国数学的内容和成就是有些困难的。但不这样做，也会给认识中国数学带来不便。本书仍采取将《九章算术》的成就分成算术、代数和几何三个方面叙述的办法，以方便读者。
1.《九章算术》的算术成就
《九章算术》的算术成就包括分数运算、各种比例问题和盈不足术三个方面。
分数运算《九章算术》中的分数内容主要在方田章，其中有“约分”、“合分”（加法）、“减分”（减法）、“乘分”（乘法）、“经分”（除法），“课分”（分数的大小比较）、“平分”（求分数平均数）等。“约分”和现在的约分一样。为什么要约分，书中说，因为“不约则繁，繁则难用”，所以要约分。约分的方法是：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”可半者半之，即如分子分母均为偶数，则可先以2约分。不可半者，则采用更相减损术先求等数（即公因子），然后用等数约之。副，另放一旁的意思。
例如：约分4991.先用算筹布列如（a），然后上下两数交互相减，最后得（d）式。7是上下之等数，用等数约之，即得4991=713
49
91（a）→49
42（b）→7
42（c）→7
7（d）
现代算术书中求二整数的最大公约数的辗转相除法，可以说是“更相减损术”的另一形式。
“通分”，一般采用分母的乘积作公分母，如：
13 25=515 615=1115（方田章第7题）
12 23 34 45=60120 80120 90120 96120=326120=286120=24360（方田章第9题）
但也有几题是用最小公倍数作公分母的，例如：
1 12 13 14 15 16 17=420420 210420 140420 105420 84420 70420 60420=1089420（少广章第6题）
“合分”，指分数加法。方法是：“母互乘子，并以为实，母乘为法，实如法而一。不满法者，以法命之。其母同者，直相从之。”
“实”是被除数（即分子），“法”是除数（即分母），分母乘分子，加起来作为被除数，分母相乘作为除数。“实如法而一”，常指除法运算。即
ab cd=ad bcbd
“其母同者，直相从之”的意思是：如果分母相同，就直接将分子相加。
后来刘徽在注里说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。”所以这种方法叫做“齐同术”。
此外，还有“减分”、“乘分”、“经分”等运算法则。大体上已和现在的算法一致。只是通分时没有明确要求用最小公分母。做乘法时，遇到带分数相乘，须把带分数化为假分数再乘，如方田章24题。
1857×23611=1317×25911=3392977=4404977=440711
《九章算术》中的经分是指分数的除法，一般是用通分来计算的，如方田章18题。
（613 34）÷313=（193 34）÷103=8512÷4012=8540=218
刘徽后来补充了一个法则，将除数的分子、分母颠倒而与被除数相乘。
总之，《九章算术》是世界数学史上最早系统叙述分数的著作。欧洲在15世纪以后，才逐渐形成了现代分数的算法，而且直到17世纪，多数算书在计算分数相加时都不要求用最小公倍数作分母。
关于分数的写法，还有一件值得注意的事。我国古代用算筹来做除法，“实”（被除数）列在中间，“法”在下面，“商”在上面。除到最后，中间的实可能还有余数：
这种商数在上，余数居中，除数置下的样式也就成了中国古代数学中的带分数形式。上式相当于6438483.
《孙子算经》（约4世纪）记述得很清楚：“凡除之法……除得在上方……实有余者，以法命之，以法为母，实余为子。”
印度人在三、四世纪时的分数记法也与中国一样，113写成113，也是把带分数的整数部分写在上面。12世纪，印度数学家拜斯伽逻著《立拉瓦提》，也仍采用这种分数记法和算法，如3 15 13写作311513，通分后变成4515315515.后来传到中亚细亚，也将分子写在上，分母写在下。目前所发现的最早的分数线是在阿拉伯数学家阿尔·哈萨（约1175年）的著作中。按照他的写法：
333589表示2 3 3589
阿拉伯文的书写是从右到左。欧洲人早期也沿用这个习惯，式子也是从右到左，整数部分写在分数的右边，如将1212x写成“radices1212”。
分数线和许多其他符号一样，没有马上被大家采用。14世纪中叶还有用31-15表示35的。为了节省地方，法国人棣么甘推荐用a/b表示ab。这种记法在18世纪末叶已经出现。
现在通常采用的分数写法，开始于明末西洋笔算传入中国之时，当时曾有将分母放在分子上的记法。直到清末新式学校中的算术课本才采用现在的写法。
各种比例问题在《九章算术》衰分章、均输章、勾股章中都有不少比例问题。
《粟米》章一开始就列举了各种粮食的互换比率。“粟米之法：‘粟米五十，粝米三十、粺米二十七、米二十四……’”这就是说：谷子五斗可换糙米三斗，又可换九折精米二斗七升，八折精米二斗四升……粟米章内许多粮食之间的兑换关系均按这个比率计算。如：
粟米章第1题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何？”它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一。”这里，所有数是粟米1斗（10升），所有率是5，所求率是3.于是依术10×3÷5=6升。这种算法叫“今有术”。“今有术”就是比例，是从关系式：
所有率（a）：所求率（b）=所有数（c）：所求数（x）解出x=bca的一个方法。
“今有术”的名称一直沿用到清代，后来才改称“比例”。刘徽在《九章注》中，对这个解法作了进一步说明，大致说：“今有术”求所求数时，是将所有数乘上一个比率，这个比率是一个以所求率为分子、所有率为分母的分数。
当然，上面只是一个简单的比例问题，在衰分、均输、勾股各章中还有许多较复杂的比例问题，也都用“今有术”求解。
例如，衰分章第17题：“今有生丝三十斤，干之耗三斤十二两，今有干丝十二斤，问生丝几何？”这个问题的解法是，以干丝12斤为所有数，以30×16=480两为所求率，以480-60（3斤12两=60两）=420两为所有率，求得原来生丝12×480÷420=1357斤。
另外，还有现在所谓的复比例问题和链锁比例问题，也都用“今有术”解决。比例分配问题也可用“今有术”解决。如衰分章第2题：“今有牛、马、羊，食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马（所食）。马主曰，我马食半牛（所食）。今欲衰偿之（按一定比例递减赔偿）问各出几何？”依照羊主人、马主人的话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4：2：1，就是用4、2、1各为所求率，4 2 1=7为所有率，粟米50升为所有数，以“今有术”演算得牛主人应偿44507=2847升，马主人应偿1427升，羊主人应偿717升。
“今有术”是从三个已知数求出第四个数的算法，7世纪时在印度为婆罗摩笈多所知，称之为“三率法”。后来三率法传入阿拉伯，再由阿拉伯传到欧洲，仍保持三率法的名称。欧洲商人十分重视这种算法，叫它为“金法”，意思是赚钱的算法。可见欧洲人对这种算法的推崇。
“今有术”与欧几里得《几何原本》中的比例法的作用是相同的。不过，“今有术”没有明确其中有一个比例的问题，也没有把所有率所有数=所求率所求数这一关系明确揭示出来。
盈不足术盈不足术是我国古代解决盈亏问题的普遍方法。例如盈不足章第1题：“今有（人）共买物，人出八盈三，人出七不足四，问人数物价各几何？”答曰；七人，物价五十三。
《九章算术》解这类问题有一个公式。设每人出a1盈b1，每人出a2不足b2，u为人数，v为物价，则u=b1 b2a1-a2v=a2b1 a1b2a1-a2公式来源没有阐明，后来刘徽注作了解释，用现代算式表示是这样的：v=a1u-b1（1）
v=a2u b2（2）以b2×（1），以b1×（2），相加得（b1 b2）v=（b2a1 b1a2）u因而vu=b2a1 b1a2b2 b1又（1）（2）二式相减得（a1-a2）u-b1-b2=0故u=b1 b2a1-a2v=a1b1 b1a2a1-a2每人应出钱vu=b2a1 b1a2b1 b2（*）公式（*）很有用，《九章算术》中许多不属盈亏类问题，就是将它转变为盈不足问题，尔后用这个公式解决的。为什么不属盈亏类问题，也可用盈不足术解决呢？因为一般算术问题都应有其答数，如果我们任意假定一个数值作为答数，依题验算，那么必然出现两种情况：一是算得的一个结果和题中表示这个结果的已知数相等，这就是说，答数被猜对了。假设验算所得结果和题中的已知数不符，而相差的数量或是有余或是不足，于是通过两次不同的假设，就可以把原来的问题改造成为一个盈亏类的问题。按照盈不足术，就能解出所求的答数来。
例如盈不足章第13题：“今有醇酒一斗值钱五十，行酒一斗值钱一十。今将钱三十得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”该题的解法是：
“假令醇酒五升，行酒一斗五升，有余（钱）一十；令醇酒二升，行酒一斗八升，不足（钱）二。”这假设是有根据的，因设醇酒5升，则行酒必为20-5=15升，值钱数为5×5 15×1=40，比题中的钱30多10；又设醇酒2升，则行酒为20-2=18升，共值钱为2×5 18×1=28，比30不足2.
按盈不足公式（*），得醇酒数应是5×2 2×102 10=3012=212，因而行酒是20-212=1712.如求行酒数也用公式，则15×2 18×102 10=1712，结果一样。
从现今的数学来解释，这类问题的实质是求根据题中所给的条件列出的方程的根。假设所列的方程是f（x）=0，因而问题又相当于求曲线y=f（x）与x轴交点的横坐标。
先估计问题的两个近似答案x1、x2，它们对应的函数值是y1=f（x1）、y2=f（x2），过A点（x1、y1）、B点（x2，y2）作直线，方程为y-y2=y1-y2x1-x2（x-x2）交OX轴于（x′，0），其中x′=x1y2-x2y1y2-y1就是方程f（x）=0的根。
作图求近似解如果f（x）是一次函数，x′就是f（x）=0的根的真值，如果不是一次函数，x′是近似值，累次运用这种方法，可以逐步逼近真值。这种方法现在解高次代数方程或超越方程常用到。设f（x）是一个在区间[a1，a2]上的单调连续函数，f（a1）=b1和f（a2）=b2正负相反，那么，方程f（x）=0在a1、a2间的实根约等于a2f（a1）-a1f（a2）f（a1）-f（a2）可见，“盈不足术”实际上就是现在的线性插值法。它还有许多名称，如试位法，夹叉求零点，双假设法等等。
2.《九章算术》的几何成就
《九章算术》的几何成就包括面积与体积计算，勾股问题以及勾股测量三个方面。
面积与体积面积与体积的计算起源很早，《九章算术》将它放在第一章，另外，商功章内有体积计算问题。
我国古代的几何图形面积计算是直接从测量田亩的实践中产生的，因此几何图形的名称从田地的形状得来。如“方田”、“圭田”、“直田”、“邪田”（或“箕田”）、“圆田”、“弧田”、“环田”等，分别表示正方形、三角形、长方形、梯形、圆、弓形、圆环等。
《九章算术》对上述各种图形都有计算公式。
如“圭田术曰：半广以乘正从”。意思是，计算三角形面积的方法是底长之半乘高。
直角梯形的田，叫做“邪田”。邪是斜的意思。其求面积方法是“并两斜而半之以乘正从。”“并两斜而半之”是指：上底加下底之和的一半，面积公式用算式表示是S=12（a b）h。
一般梯形叫做“箕田”，因为它可以看作是两个等高的邪田合成，所以面积计算公式，仍然是12（上底 下底）×高。
圆面积计算公式，见之于圆田术，“术曰：半周半径相乘得积步。”“积步”就是以平方步为单位的面积，圆面积=半周×半径=2πr2·r=πr2.这一公式是完全正确的。但在求周长的时候，《九章算术》用“周三经一”的比率，即取π=3，这自然只能得出近似值。
弓形图解《九章算术》另有弓形的面积公式：A=12（bh h2）原文是：“术曰：以弦乘矢（bh），矢又自乘（h2），并之二而一（加起来被2除）。”公式的来源没有说明。有人作如下的推测：
12bh是△ABD的面积，再加上两个小弓形，就拼成所求的弓形ADB。根据实测或估计，这两个小弓形大约等于以h为边的正方形面积之半，从而得出上面的公式。这种推测不甚合理，因为把两个小弓形看作以h为高的正方形面积之半，这一思想没有认识基础，人们要问为什么不把二个小弓形看作二个以h为高的正方形呢？这种推测无非是从关系式12（bh h2）=12bh 12h2推演出来的。其实《九章算术》是把弓形近似地当作半圆来计算的。刘徽就指出过这一点，并且说“若不满半圆者，益复疏阔（误差就更大了）。”刘徽还指出可用类似“割圆术”的方法来修正公式。尽管如此，后世的学者竟一直没有给予重视。
《九章算术》的体积公式主要见之于商功章，其中有：
①平截头楔形——剖面都是相等的梯形。设上、下广是a和b，高或深是h，长是c，那么体积为V=12（a b）hc古代称这种图形为“城、垣、堤、沟、堑、渠”，这是因为这些东西的形状都是平截头楔形的缘故。
②“堑堵”——有两个面为直角三角形的正柱体。设直角三角形的两边为a和b，堑堵的高为c，则体积为：V=12abc平截头图形堑堵
阳马③“阳马”——底面为长方形而有一棱和底面垂直的锥体，它的体积是V=13abc④“鳖臑”——底面为直角三角形而有一棱和底面垂直的锥体，它的体积是V=16abc刘徽用割补法证明了这三个体积公式。
鳖臑正方锥体
方亭⑤正方锥体，由于它可以分解成四个阳马，故正方锥体体积是底面积乘高的13，即V=13a2h⑥“方亭”——正方形棱台体，设上方边为a，下方边为b，台高为h，则体积V=13（a2 b2 ab）·h刍童⑦“刍童”——上、下底面都是长方形的棱台体，设上、下底面为a1×b1和a2×b2，高为h，则体积
V=16[（2a1 a2）b1
（2a2 a1）b2]h
⑧“刍甍”——像草房顶的一种楔形体，体积为V=16ha（2b c）⑨“羡除”——三个侧面不是长方形而是梯形的楔形体。设一个梯形的上、下广是a、b，高是h，其他二梯形的公共边长c，这边到梯形面的垂直距离是l，则体积为V=16（a b c）×hl勾股问题见于勾股章，它主要讨论三方面问题，即用勾股定理解应用题；勾股容圆和勾股容方问题；勾股测量问题。
刍薨羡除
①用勾股定理解应用题。勾股章第1题到第14题是利用勾股定理解决的应用问题，如第6题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水勾股解题一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？答曰，水深一丈二尺；葭长一丈三尺。”
解题方法是应用关系式：
b=a2-（c-b）22（c-b）
其中a=5，c-b=1
这类问题对中国乃至世界数学史有相当的影响。
在中国，《张邱建算经》（466—485年之间），朱世杰的《四元玉鉴》（1303），明朝程大位的《算法统宗》（1593）都有类似的题目。
在国外，印度拜斯伽逻（Bhaskara 1114—1186）所著的《立拉瓦提》（1150）中有一个莲花问题与上述相仿。这是一个用诗的形式表达的数学题：
平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。
渔人观看忙向前，花离原位二尺远
能算诸君清解题，湖水如何知深浅？
阿拉伯数学家阿尔·卡西著《算术之钥》（1424），书中也有类似的一道题：“一茅直立水中，出水1尺，风吹茅没入水中，茅头恰在水面上，茅尾端留原位不动，茅头与原处相距5尺，求茅长。”
英国杰克森著《十六世纪的算术》也谈到这种题目：“一根芦苇生在圆池中央，出水3尺，池宽12尺，风吹芦苇茎尖刚好碰到池边水面，问池深多少？”
通过这些题目，可见《九章算术》在世界数学史上的影响。
②勾股容圆和勾股容方问题。所谓勾股容方是求一直角三角形内所容的正方形的边长问题，这问题比较容易，《九章算术》的答案是x=ab/a b。
勾股容方勾股容圆
勾股容圆是求直角三角形的内切圆的直径。如《九章算术》勾股章第16题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”《九章算术》的解题公式是：
d=2ab/a b c
在刘徽注中，给出了这个公式的一个证明。
勾股容圆问题，后来在13世纪李冶的《测圆海镜》中作了更深入的研究，成为一个专门的数学内容。
勾股测量③勾股测量问题。勾股章有测量问题8个（从17～24题），这些问题都有明确的解题公式，但没有解释公式的来源。用相似形原理很容易导出这些公式，但中国古代并没有相似概念，据推是用割补原理得出的。如第24题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”
已知CB=CA=5尺=50寸，CD=4寸，求井深BP，按《九章算术》文，解得
BD=CB-CD=50-4=46寸
BP=BD·CACD=46×54=5712尺
勾股求高又如第23题：“有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木东三里，望木末适与山峰斜平。人目高七尺，问山高几何？”
已知RB=53里，CA=3里，CB=95-7=88尺，EB=95尺，求山高QP
依术计算得
QP=CB×RBCA EB=88×533 95=164923尺
《九章算术》中的勾股测量问题都是通过一次测量就能获解的问题。如果目标物是一个不可到达的地方，那么用一次测量就不可能解决问题，必须要两次测量才行。这种通过两次测量的办法，东汉数学家称之为“重差术”。
3.《九章算术》的代数成就
《九章算术》代数部分成就主要有三个方面：开平方、开立方；开带从平方；“方程”和正负术。这三个方面成就都是当时世界最先进的。
开平方、开立方《九章算术》少广章记载了完备的开平方和开立方的演算步骤。这一方法不仅直接解决了开平方和开立方的问题，而且它作为一般的开方法的基础，为后来我国求高次方程数值解方面取得辉煌成就奠定了基础。
《九章算术》的开平方与开立方方法与现在通用的方法一致。都是（a b）2=a2 2ab b2，以及（a b）3=a3 3a2b 2ab2 b3两个恒等式的应用，其过程也与今天一样。
在公元500年印度数学家阿耶婆多给出开平方之前，世界数学史上除《九章算术》之外再也没有系统而完整的开平方法了。而阿耶婆多著作中的许多内容都与我国古代数学相似。
被开方数是一个分数时，《九章算术》说，若分母开得尽，则ab=ab，若开不尽，则ab=abb。
除了开平方术，开立方术外，还有“开圆术”。“开圆”是从圆面积求圆周的方法。设已知圆面积A，圆周长为L=2πr=4πA。《九章算术》采用π=3，故L=12A。可见公式在理论上是正确的。
“开立圆”是从“立圆”（球）体积，求直径的方法。用的公式是d=316V9（d是直径，V是体积）。
这个公式误差很大，后来祖冲之父子求得d=36Vπ，这是中国数学史上一个杰出的成就。
开带从平方前面指出《九章算术》开平方是利用恒等式（a b）2=a2 2ab b2.当初商a确定之后，求次商b时，是利用了等式（a b）2-a2=2ab b2即b2 2ab=（a b）2-a2等式右端是已知数。因此，求b的过程实际上是解形如x2 kx=N的方程，求其正根。
这种有一个正的一次项跟在二次项后面的二次方程，中国古代称之为开带从平方式，其中一次项叫做“从法”，解这个方程就是开带“从法”的平方，简称为“开带从平方”。由于开平方的过程，实际上已经包含了开带从平方，因此可以说《九章算术》已经解决了求形如x2 kx=N方程的正的数值根问题。
“方程”和正负术《九章算术》中的“方程”与现在的方程意义不同，它不是指含有未知数的等式，而是指根据一定规则由数字排列而成的呈方形的程式。以方程章第1题为例：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。”如用现在的设未知数列方程组的办法，列出的方程组是：3x 2y z=39（1）
2x 3y z=34（2）
x 2y 3z=26（3）中国古代没有设未知数的习惯，而是直接用算筹将数目列在筹算板或者桌面上，像上面这个问题。
这种算式似乎是分离系数法的体现，其实不是，它是按某种比率关系建立起来的数字阵。（参见李继闵《九章算术》与刘徽注中的方程理论）
解这个“方程”用的是“直除法”。具体说，是将（a）式上禾的秉数3遍乘（b）式各项，得6、9、3、102，然后两次减去（a）式对应各数，得0、5、1、24，又用3遍乘（c）式各数，得3、6、9、78，减去（a）式对应各数得0、4、8、39.
4y 8z=39再消去一元就可以得到答案。即用（b）式中禾的秉数5遍乘左行（c）式得20、筹式图40、195；四次减去（b）式对应的数字5、1、24得0、36、99；以9约之，得0、4、11，这样得到。中，（c）式相当于4z=11，于是z=114.为求中禾和上禾一秉的实，再如上用遍乘直除的方法。
筹式图由于“直除法”是一种解线性方程组的一般方法，因此它不仅可解三元方程组，而且可用来解n元方程组。在《九章算术》中就有四元者二问（第14、17题），五元者一问（第18题）。
用直除法解方程组过程中难免出现从小数中减去大数的情况，如《方程章》第3题，“今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗；上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗，问上、中、下禾实一秉各几何。”列出的“方程”是用直除法边乘边减，会出现零减去正数的情况。为使运算继续下去，就必须引进负数概念。《九章算术》所载的“正负术”就是为解决这一问题而提出的。这是数学史上的一项卓越的成就。
正负术曰
同名相除（减）[（ a）-（ b）= （a-b）]
异名相益（加）[（ a）-（-b）= （a b）]
正无入负之[0-（ b）=-b）
负无入正之[0-（-b）= b]
其异名相除[（ a） （-b）= （a-b）]
同名相益[（ a） （ b）= （a b）]
正无入正之[（ a） 0= a）
负无入负之[（-a） 0=-a]
前四句是讲正负数的减法，后四句是讲加法。显然，这是完全正确的。筹算怎样来表示正负数？刘徽有一个说明：“今两算得失相反，要令正负以名之。正算赤，负算黑。否则以邪正为异。”这句话是说，同时进行两个运算，若结果得失相反，那就要分别叫做正数和负数。并用红筹代表正数，黑筹代表负数。不然的话，将筹斜放和正放来区别。
这是世界数学史上最早做出的对正负数的明确区分。
世界上除中国外，负数概念的建立和使用都经历了一个曲折的过程。
希腊数学注重几何，而忽视代数，几乎没有建立过负数的概念。印度婆罗摩笈多开始认识负数，采用小点或小圈记在数字上面表示负数。对负数的解释是负债或损失，只是停留在对相反数的表示上，尚未将负数参与运算。
欧洲第一个给出负数正确解释的是斐波那契，他在解决一个关于某人的赢利问题时说：“我将证明这问题不可能有解，除非承认这个人可以负债。”
1484年法国的舒开给出二次方程一个负根，卡当在1545年区分了正负数，把正数叫做“真数”，负数叫做“假数”，并正式承认了负根，不过，这些思想都没有在欧洲引起足够重视。直到18世纪有些数学家还认为负数这个比零小的数，是不可能的。
