师：和学生一起利用《几何画板》做出三个模型的函数图像（孤立的点），并利用动画演示将孤立的点用曲线连接起来（如图2）。
师（追问）：你可以根据上面的动画把三个函数模型的增长特征描术出来吗？
生：常数函数不增长，一次函数均匀增长，指数型函数增长得越来越快（爆炸增长）！
问题三：增长得越来越快是什么意思？
生：（教师提示观察日增加量的表格去发现）自变量增加相同值时，函数值增加得值越来越大。
师：利用《几何画板》动画演示一次函数与指数函数增加量的变化情况（如图3），引导学生小结不同函数的增长特征，并点出本课课题。
3观点与评析
项老师通过问题1来引导学生讨论归纳出函数模型，也为下面进一步分析模型做铺垫。问题2启发学生利用函数的另外两种表式方法：表格与图像（学生原有认知）进行研究，特别是利用图像的特征描述出三种函数模型的变化特点，从而得出“指数爆炸”“直线增长”这些感性化的词汇。这两个问题的设计符合学生的认知规律，紧扣思想方法，教师的适时引导与及时追问体现了教师主导与学生主体课堂理念，在当时（2005年，浙江省还没有实施新课程改革）确实让听课教师在教学理念上有了一次冲击与刷新。可惜问题3的处理笔者以为，项老师没能跳出教材的束缚，把方案的选择（一种结果）留在最后，其实选择方案不是目的，而且只要列出日增长量与累积增长量的表格便能解决，这样的处理无意中淡化了本节课的重点：将实际问题转化为函数模型，比较几类函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸等不同函数类型的增长的含义（一种过程）。
张老师的教学中，由于在情境引入环节，学生已经通过列表完成方案的选择（结果），因此，这里环节张老师通过问题1引导学生体会三种存钱方式的增长速度不同，其实是日储蓄量增加的速度不同引起的，这给接下来研究日储蓄量与天数之间的关系埋下伏笔，从而自然的进入对本节课的主题；问题2启发学生思考如果想更全面的研究日储蓄量的增长特征，则需要建立函数模型，通过对函数的研究（利用图像研究函数的方法是学生已有的知识，符合学生的认识规律）来体验增长速度的变化，并且通过追问让学生自己去概括、总结从图形上直观观察到的增长特征，是一个让学生经历从具体到抽象的数学建模的过程，紧扣本节课的重点（过程）。而问题3的设计更是本节课的一个亮点，不仅能让学生对增长速度快慢的体会更深刻，而且让学生初步体会数学中如何描述增长的“快”与
“慢”，为今后学习平均变化率ΔyΔx与导数学打下基础，这里也体现出了张老师的“用教材教”而不是“教教材”的教材处理观。
三、例2教学环节的比较与评析
1项老师的教学处理
与学生一起阅读例2(略)后给出问题。
问题一：本例涉及了哪几类函数模型？它们的增长变化情况怎样?
生：有三种函数模型：一次函数、指数函数、对数函数，一次函数直线增长、指数函数快速（爆炸）增长。（多数同学表现对对数学函数学模型增长变化情况存在疑点）
问题二：符合公司要求的模型有什么条件,如何用数学式子表达?
生：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元，以及奖励比例是否超过25%进行分析，才能做出正确选择，即y≤5,y≤025x,10＜x＜1000。
问题三：如何判断它们是否满足条件呢?
生：先通过计算发现只有y=log7x+1在x∈［10,1000］满足y≤5,再判断在x∈［10,1000］时,log7x+1≤025x是否成立。
师：如何判断log7x+1≤025x?
（此时大部分学生均表现出疑惑，但仍在继续思考）几分钟后，
师：（提示）那你会判断log7x+1-025x≤0是在x∈［10,1000］是否成立吗？
生：令F(x)=log7x+1-025x，若能知道F(x)的单调性就能判断了。
师：好，那我们不妨一起利用《几何画板》画一下函数F(x)=log7x+1-025x的图像（如图4）看一下F(x)的单调性如何。
生：由图像可知它在x∈［10,1000］递减，只需验证F(x)≤F(10)≈-03167＜0即可。
（此时学生的脸上都露出了成功的喜悦）
接着教师趁热打铁继续引导学生分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，使学生明确问题的实质就是比较三个函数的增长情况，并借助计算机作出三个模型的函数图像（如图5），对三个模型的增长情况进行分析比较，分析数据特点判定每一个奖励模型是否符合要求，并让学生体会到对数模型平缓增长的特征。
2张老师的教学处理
过渡语：从这个“小储蓄”的问题中，我们体会到了三种不同函数模型的增长特征，也学到了解决实际问题的一些方法。N年后，我们从“小储蓄”发展到“大投资”了，我们拥有了自己的公司，你能用今天学到的方法解决你公司里的一个问题吗？
例2公司奖励模型问题
问题一：你能用数学关系描述公司要求吗？
生：（1）允许奖励的利润范围：x∈［10,1000］
（2）奖金随利润的增加而增加；（在定义域内是增函数）
（3）奖金总数不超过5万；（y≤5）
（4）奖金不超过利润的25%；（y≤025x）
问题二：如何验证y≤5？
生：利用计算器计算可知，或者作出函数图像观察亦可。
师：利用《几何画板》作出函数图像（如图4），并引导学生利用图像特征回答问题。
问题三：如何验证log7x+1≤025x？
生：观察函数y=log7x+1的图像与函数y=025x的图像，发现在x∈［10,1000］时好像都满足。
师：为什么是“好像”？
生：图像看不太清楚，需要把图像放大一点。
师：将图像放大后让学生观察，和学生一起发规满足条件。
师：还有其他方法吗？
生：（思考片刻后）只需要将x=10代入计算，是符合条件的。
师：为什么代x=10就能说明当x∈［10,1000］时都满足呢？
生：因为可以发现两个函数的增长速度不同，直线的增长比对数函数快，当自变量越大时，差距反而越来越大。
师（追问）：你能更确切的描述一下对数函数的增长特征吗？
生：先是增长得较快，后来增长得越来越缓慢。
3观点与评析
项老师的问题1旨在让学生回顾前面的体会，希望紧扣本课的核心内容：函数模型的增长特征，也是为接下来的探究做好铺垫。问题2是一个培养学生从实际问题中抽象出数学关系（数学化）的过程，但放在问题1后面，反而中断了学生的思维，也淡化了问题1的直接作用，这也是学生在思考问题3时不能回归到函数模型的增长特征去判断的主要原因，笔者以为，将问题2与问题1的顺序互换会让学生思维更流畅，又能紧扣本课的核心，为问题3的解决提供了方法。在问题3的处理上，项老师通过及时的启发、引导，很好的突然破了本节课的一个难点（构造函数对高一学生来说会有困难），又让学生体会到了成功的喜悦，是本节课的一个亮点，充分体现了关注学生发展的课堂教学理念。
张老师先利用过渡语保持了课堂的自然与流畅，又把例题中的“某公司”改成“我们的公司”无形中拉近了与学生的距离，也让学生觉得我们就是在研究自身边的问题。张老师设计的三个问题紧紧围绕着解决例题的核心因素，又充分关注思想方法（数学建模思想、数形结合思想等）的渗透，使解决问题的这程始终是在数学思想方法的指导下进行的。在验证log7x+1≤025x的处理上，张老师始图不脱离本课的核心内容，回归到函数“模型”的“增长”特征上去。稍有遗憾的是下课铃声响了，学生的思维还很活跃，却没能体验到构造函数（作差或作商）的思想方法。
四、反思及对今后教学的启示
1好的导入提升主体内驱动力
正如著名教育学家乌申斯基说：“没有任何兴趣，而被迫进行的学习，会扼杀学生掌握知识的意愿。”两位老师都在导入环节非常注重激发学生学习兴趣与唤醒学习求知欲望，但好的导入还必须立足学习最近发展区,紧扣教学重点与核心内容，这样才能在有效提升主体的内驱动力的同时为更有效的达成教学目标服务，好的导入是成功的一半。
2好的问题开启主体智慧之源
新课程的指导思想之一就是强调问题性、启发性，指出遵循认知规律，以问题引导学习，在课堂中要以恰时恰点的问题引导数学活动，让学生经历思想方法的产生过程。两堂课中都采用“问题链”形式给出有挑战性的问题，很好地激发了学生的研究热情，他们利用旧知，探讨解决方案的同时产生了新知识、新方法，使数学学习成了一个再创适的过程。教学活动是一种特殊的认知结构活动，我们教师应精心设计出符合学生的认知规律，能诱发学生的认知冲突的有效问题，才能真正激发学生的学习兴趣，使学生的自主建构成为可能。好的问题能激活学生原有的知识结构，唤醒学生的运用意识。
3“理解数学”是第一基石
两位老师的精彩课堂让我重新审视我们以往的教学，过多的追求创新的教学策略与教学方法——怎么教，是技巧问题，而忽略深入研究教学的内容，忽略自身对数学的理解——教什么，是方向问题。长期以来教师对数学肤浅的理解是课堂教学效益不高的原因之一，技巧应该是为方向服务的，脱离方向谈技巧也就失去了应有的价值。此外，数学教师对数学理解除了要深入本质，还应该具备把“科学的数学知识”转化为“教育的数学知识”的技能，因为只有深入是不够的，还需要浅出，也就是说要将数学知识经过教学法的加工，使得学生易懂、易理解、易掌握，其实这是数学教师专业化的重要内涵与标志，这也需要长期的教学实践中坚持学习、反思、总结与积累，同时也说明了数学教学并非一种简单的重复劳动，而是必须依据特定的教学内容、特定的教学对象、特定的教学环境和学生的认知规律、心理规律进行创造性的专业工作。
数学实验教学的认识与思考
一、问题的提出
G·波利亚曾指出：数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看数学像是一门系统的演绎科学；另一方面，创造过程中的数学看起来都像一门试验性的归纳科学。大数学家欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验。”过去学生的数学活动只是“智力活动”，缺少探究发现的数学实验活动。计算机的出现便于学生更有效地开展数学实验，通过信息技术与数学课程的整合，能使学生进入主动探究状态、变被动的接受学习主动的建构过程，同时培养学生创新精神、意识和能力。
二、数学实验教学的概念
数学实验是指为研究与获得某种数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题，实验者运用一定的物质手段，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动。数学实验教学是指恰当运用数学实验，引导学生参与实践，自主探索，合作交流，从而发现问题、提出猜想、验证猜想的数学活动。数学实验与物理、化学实验相比不仅需要动手，更需要动脑，思维量大是数学实验的基本特征。
三、开展数学实验教学的理论依据
1建构主义的学习观和教学观
建构主义认为认识不是主体对客观实在的简单、被动的反应，而是主体以自己已有的知识经验为依托所进行的积极主动的建构过程。因此，在学习过程中已有的认知结构和主体对建构过程的积极参与是非常重要的，即学生不是被动的知识接受者，而是主动的信息加工者，学生在已有的知识结构的基础上，对信息进行主动地选择、加工和处理，不断地同化和顺应，从而构建新的认识结构，建构主义学习观清楚地阐明了学习者积极参与、主动探求，对新知识构建的重要作用，
2主体教育的理论
主体教育实验自２０世纪９０年代产生以来，至今已有近１０年，它对我国的中小学教育教学改革产生了广泛而深刻的影响，它认为人的主体性素质是现代化社会人的核心素质，在教育中应该注重培养和发展人的主体性。“学生既是教育的客体，又是教育的主体。”教育者应当为学生主体性的发展提供适当的环境和一切便利的条件，并在教育过程中充分调动他们学习和自我发展的积极主动性。“活动”是主体性的具体体现，只有在活动中，人的特征才得以形成和发展，人格的各种要素才得以产生并结合成一个整体。人的活动越丰富，人的发展就越充分、越全面；人的活动越深入，人的研究意识就越强，越有创造力。
四、数学实验教学的模式例举
1传统数学实验教学模式
该教学模式是通过对一些工具、模型的动手操作，创设问题情境，引导学生自主探索数学知识，检验数学结论（或假设）的教学活动。
该教学模式由以下环节组成：（1）实物准备；（2）设计方案；（3）实验操作；（4）观察猜想；（5）归纳结论。
案例一“线面垂直的判定”的引入
如图1左，每位同学事先准备一块三角形纸片，过顶点A翻折该纸片得到折痕AD。
①如图1右，将翻折后的纸片放置在水平的桌面上，请同学们观察：折痕AD与桌面垂直吗？
②请同学们自己研究：如何来翻折纸片，使折痕AD与桌面垂直？
在动手操作中，同学们很容易发现：当且仅当折痕AD是边BC上的高时，AD与桌面垂直，此时，AD⊥BD，AD⊥DC，引导学生思考：当AD⊥BD，AD⊥DC时，是否一定有AD⊥面BDC？（图2）
③我们将折纸展平并让它站起来，能否保证这张纸稳稳地竖立在桌面上？能否一定使AD与桌面垂直？
经过这样处理，一个抽象的数学定理就直观地展示在我们面前，通过实验活动，不仅能帮助学生快速感知、记忆这个定理，而且能让学生更加深刻地从多个角度理解这个定理，并为续学线面垂直的性质”作了一定铺垫。
2现代数学实验教学模式
该教学模式指借助于计算机（包括图形计算器）的快速运算功能和图形处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动。
该教学模式包括以下环节：（1）创设问题情境；（2）实验探究；（3）提出猜想；（4）验证猜想；（5）问题的拓展。
案例二网络教室中一人一机环境下对直线与双曲线交点个数问题的探究
（1）创设问题情境
①已知双曲线x2－y2=4，直线l过定点P（0，2），问直线l何时与双曲线只有一个公共点？（代数上解决）
②在计算机上观察四条所求出的直线的位置特征。（图3）
③问题：若点P在平面内的其他位置时，过该点且与双曲线只有一个公共点的直线有几条？
（2）实验探究
