(1)f(x)是否存在零点?若有零点则有几个？
(2)指出函数零点所在大致区间。
弹性预设：
把关键放在让学生理解例1解题思路上，因此将例1改为第（1）小题的形式，第（2）小题可以根据情况作为拓展，即是对这节课中数学思想的应用，也是对下堂课二分法的一个辅垫。例1第（1）小题，有的学生很快可以想到把函数的图像描出，可以用几何画板帮助学生直接描出图像，也可以用描点法，先借助计算器算出对应点的一些值，再根据存在性的依据来判断，也可能有学生会想到求零点是否存在可以转化为两个函数图像的交点问题，如果这样就在几何画板上备好两个函数图像，描出直观的图让学生看。
这节课由一位教师进行了教学实践，让我们通过片断来看教师与学生在课堂上的表现，来仔细观察课堂教学的生成情况。
生1：令f(x)=0，解方程。
师：好，他的意思是这个函数有没有零点就看这条方程有没有实根，对不对？
学生齐声回答：对。
师：那你看这个方程的实根如何？
生1：比较麻烦。
师：麻烦，麻烦言下之意总还可以解决，对不对？那你怎么解决？
生1：画图，取值。
师：取值？
生：取1，取2。
师：好，我们来看一下，取1，2时是不是它的根？发现1和2都不是方程的根。那再代吗？
生1：不能再代。
师紧紧跟上：我们按照刚才这个同学的思路，只要看这个方程有没有实根就可以了，而不用把它求出来。大家能不能帮他完成这一思路呢？
下面有学生说：再代。
生2举手回答：lnx=6-x,令y=lnx和y=6-2x的图像，这两个函数图像的交点有几个，方程的根就有几个。
师：大家来看一看。利用几何画板作图结果发现这两个函数图像有交点，说明这个方程有解，而且从图像上来看只有一个交点，即可以判断这个方程有没有实根即函数有没有零点。那么还有没有其他方法？
……
第二个学生回答的两个图像的交点虽然不是这节课的内容，但教师还是考虑到了，以学生的回答为生成点，在课件中很快展示出两个图像，描出交点，不仅验证了学生的回答，而且利用计算机的优势给学生新的生成机会。因此，成功的教学预设是一种留给教学足够空间的预设，是一种包含着丰富生成性的预设，是一种宽容偶然性和突发性，促成多样性和创造性的预设。另外，预设和生成都要围绕“三维度”目标，生成的资源也要看它价值如何，不能因此放任自流。
三、“本质”与“形式”
“形式化是数学的基本特征之一”。数学教材大多数的定理和性质都是按“定理（性质）—证明—例题—习题”的模式来安排的，为了顾全系统、严密、精练的原则，而将数学结论的发现过程略去。作为教材，这种安排是必要的、无可厚非的。这种形式地、演绎地呈现出来的数学，看上去确实是“冷冰冰”的，教师如果“照本宣科”，学生就很难进行“火热的思考”和主动建构，也就难以欣赏“冰冷的美丽”，从而也就难以领会数学的本原了。如讲授函数y=Asin(ωx+φ)的图像时，有一课例如下设计：（1）提出课题：物理学中，简谐振动的位移与时间的关系，以及交流电中电流与时间的关系，都可以表示成形如y=Asin(ωx+φ)的形式。研究这个函数也是研究正弦、余弦、正切函数图像的延伸。而要研究y=Asin(ωx+φ)的图像，可分批分层研究。（2）y=Asin(ωx+φ)中A对图像的影响。（3）y=sinωx及y=sin(ωx+φ)中的ω及φ分别对图像的影响…这个设计基本按照教材的顺序进行，由浅入深，便于学生接受，但有点过于停留教材的形式化的表面处理上，教师的自我发挥和学生的火热思考不够。现行教材对物体做简谐振动的位移与时间的关系，以及交流电中电流I与时间T的关系等物理内容的学习，是安排在学生学习了y=Asin(ωx+φ)之后进行的，因此，虽然教材指出了物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数，但教师按这样照本宣科，对这句话也点到为止，那么学生就会缺少相关物理知识而不会产生共鸣。
新课标指出：“强调本质，注意适度形式化…在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求……应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。”要让学生进行“火热的思考”和主动建构，就要求教师在教学中必须弄清问题产生的背景、抽象的过程以及结果的表述，体会其内在本质，由此及彼、由表及里、去伪存真，进行“本质”教学，如《二项式定理》教学。
……
师：我再考虑两个问题：（1）组合数的两个性质；（2）（a+b）2=?,(a+b)3=?
生1：（答略）
师：对于问题2的两个公式，我们从排列组合的角度来加以剖析（课件展示，动画效果）。先看实验1：红绿卡片各两张，红卡、绿卡各自分别写着实数a和b，注意我提出的问题：分别取红绿卡各一张，用它们的实数作乘法运算，可得到几个乘积？可得几个不同的乘积？都是哪些？
生2：（答略）
师：（展示课件）看实验2：分别写着实数a和b的红、绿、黄卡片各两张，分别取三种卡片各一张，用它们上面的实数作乘法运算，可得到几个乘积？可得到几个不同的乘积？
生3：（答略）
师：（a+b）2或,(a+b)3的展开式各有几项？不同的项有几项？
生4：与生3所说相同。
师：我们能否把实验的结果与两式的展开式联系起来，考察（a+b）2或(a+b)3的展开式的系数与组合数有怎么样的关系？请大家讨论研究。
生5：对于实验1，从两张写有a的卡片分别取0张、1张、2张，再从两张写着b的卡片分别取2张、1张、0张，对应作乘积都符合要求，得到三个不同的乘积：
a0b2,ab,a2b0，则它们的系数分别为：
a0b2：C02C22=C02=1,ab：C12C11=C12=2,a2b0：C22C00=C22=1。
故有(a+b)2=C02a0b2+C12ab+C22a2b0=b2+2ab+a2。
师：很好，按照习惯我们可以把a与b的位置调换。即：
故有(a+b)2=C02a2b0+C12ab+C22a0b2=a2+2ab+b2。
生5：对于实验2，对应作乘积都符合要求，得到四个不同的乘积：
a3,a2b,ab2,b3，则它们的系数分别为a3b0：C03C33=C03=1,
a2b1：C13C22=C13=3,a1b2：C23C11=C23=3,a0b3：C33C00=C33=1。
因而有(a+b)3=C03a3b0+C13a2b1+C23a1b2+C33a0b3=a3+3a2b+3ab2+3b3。
师：此时你们想到了什么？
生6：(a+b)4=C04a4b0+C14a3b1+C24a2b2+C34a1b3+C44a0b。
生7：(a+b)n=C0nanb0+C1nan-1b1+……+Cnna0bn。
师：组合数为Crn的项是什么？
生7：是Crnan-rbr。
师：于是上述的结论可以更详细地表达为……
生7：(a+b)n=C0nanb0+C1nan-1b1+……+Crnan-rbr+……Cnna0bn
师：那太好了！这是一个美妙的也是一个大胆的猜想。想一想我们的猜想是否正确？
师：二项式定理的形式很复杂，但有规律，我们要运用这些规律来掌握它。我们来探讨一下通项公式有什么规律、特点？
生：答略。
师：记住二项式定理的形式是不够的，我们还要进一步掌握它的本质。n是自然数，a、b具有任意性，它们可以是数也可以是式。如：
（1）当a=b=1时，得……
（2）当a=1,b=-1时，得……
（3）当把1与2联立，可得……
（4）当a=1,b=i时，得……
（5）当a=1,b=x时，得……
（6）当a=1-x,b=x时，得……
（7）当以-b代b时，得……
……
四、“自主”与“合作”
“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的再创造过程”，这是新课标倡导的另一理念。“自主”，既是一种态度，又是一种形式。从态度的角度去看：是自觉学习、自我提高、主动去参与的体现；并且要有自己独立的见解、创建的想法；从形式去看：既包括探究性的自学，也包括在老师指导下的师生共同学习。“合作”是一种有着深刻精神实质、丰富理论内涵和广泛操作技术的教学策略，它具有“积极互赖、同时互动、人人尽责、善用技能和小组自治”的特征。它的形式可以是大班环境，也可以是走班的环境，还可以是同桌、分组、竞赛、表演等，既有集中，又有分散；既有集体活动，又有独立分工；既有师生的合作，也有学生之间的合作，只要能体现师生间的互动就可以了。但这并不仅仅是一种形式，更重要的是一种精神的体现：应体现出那种和谐的协作精神、同心的团队精神；从中要学会分工负责、学会与不同的人共同学习，学会倾听、宽容、理解、互助，相互尊重，虚心请教。这两种状况，应以“自主”为主导，“合作”是“自主”的延伸，没有主动的学习态度，就根本谈不上“合作交流”。在课堂教学时：教师应事先建立一些基本的小组合作的规则，讨论前，小组成员先独立思考，把想法写下来，再分别说出自己的想法，其他人倾听，然后讨论，形成集体的意见。这样，每个人都有思考的机会和时间。教师在要求小组汇报时，也应首先将自己的口头禅：“哪个同学愿意来说一说”改为“哪个小组愿意来说一说”。教师还可以尝试设一个小组的意见为靶子，让大家对他们的意见发表见解，那么在具有团体性质的争论中，学生就更容易发现差异，在思维的碰撞中，学生对问题的认识将会更加深刻。这样，建立在“自主”基础上的小组“合作交流”才能在新课程的课堂上真正发挥作用，而不是热热闹闹走过场。
两堂“几类不同增长的函数模型”课的评析与反思
前不久，在浙江省高中数学课堂教学评比活动中，笔者有幸听到了温州二中张启津老师执教的《几类不同增长的函数模型》一课，学生配合默契投入，课堂气氛和谐愉快，师生互动风落水上，自然成纹，令我感触颇深。无独有偶，2005年10月，温州市高中数学青年教师课堂教学评比活动的课题之一也是《几类不同增长的函数模型》，当时第一名获得者苍南中学项延行老师执教的一课也是让听课教师耳目一新，如沐春风，给我留下了深刻的印象。由于是两个不同时期的教学，两堂课的教学设计差别很大，出现了很多问题，引起了同行们的一些争论，因此，笔者重新研究课标要求、教材编写意图，反复推敲两个案例，收获甚多。下面是笔者对这两堂课的认识与思考，望与广大同仁交流学习。
一、课堂引入环节的比较与评析
1项老师的课堂引入
材料：“玫瑰花”悬案
公元1797年，法国元帅拿破仑参观国立卢森堡小学时许下诺言：赠上一束价值12000法郎的玫瑰花，以表两国的友谊，此后，由于连年的征战，拿破仑忘记了这一诺言！时隔97年，也就是公元1894年，卢森堡王国郑重向法国提出了“玫瑰花”悬案，要求法国兑现诺言，付给卢森堡王国1361万法郎。
问题：当时卢森堡王国是怎么算这笔账的？（年利率5%）
生：12·(1+5%)97=1361(万)。
师（追问）：若按这种算法，这笔账到今天又是多少呢？
生：12·(1+5%)208=306588(万)。(注：当时是2005年)
此时学生表现出对指数效应的惊人变化的惊叹。
2张老师的课堂引入
今天老师给大家带来两个可爱的礼物（储蓄罐），老师每天都向着两个储蓄罐里存钱，但存钱方式不一样。
储蓄罐A：每天存40元。
储蓄罐B：第一天存10元，以后每天都比前一天多存入10元。
你可以从中选一个，你会选哪个？
生：利用一一列举（列表法）顺利解决。
师：其实老师还有储蓄罐，今天也拿出来送给大家，三个让大家选，你选哪个？这个储蓄罐的存钱方式为：第一天存入04元，以后每天存入的钱都比前一天翻一番。
生：列出日储蓄量和累积储蓄量的表格，观察数据完成选择。
3观点与评析
项老师创设故事情境，以故事激起学生的兴趣，以问题带动学生的思维，并让学生感受到指数效应之下，数据增加的速度惊人，借而提出本课的研究课题。反思其设计发现，此情境只强调指数爆炸增长，虽然能给学生在“数据”上有较大的冲击，但未能给学生学习如何研究函数的增长速度提供有效帮助，学生在课后也只对“数据”上“指数爆炸”留有印象，与接下来要研究的例1连结也不紧密。
张老师用与学生贴近的“选礼物”作为背景引入，不仅能充分激发学的兴趣，而且把例1的题意简洁的表达出来。此设计的关键是张老师先给出两个方案，这就让此问题具有起点低，可操作性强的特点，学生很容易入手，在学生顺利解决两个方案的选择后，再给出一个新的“礼物”，具有一定的“冲击力”，保持住学生思维状态，既符合学生的认知规律，又为接下来的学习、探究提供了思维基础。
二、例1教学环节的比较与评析
1项老师的教学处理
让学生阅读例1(略)后给出问题。
问题一：各方案每天回报的大小是多少,如何计算?
生：分析三种方案的规律，建立函数模型。
方案一：y=40,方案二：y=10x(x∈N+),方案三：y=04×2x-1(x∈N*)
问题二：根据函数模型,如何比较他们的大小?
生(在教师的帮助下)：应用计算机列出自己所列三种方案函数对应的每天回报的大小,及增量大小的Excel表格(略)，并回答问题。
师(追问)：
（1）根据表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？
（2）你能借助计算机或计算器作出函数图像并通过图像描述一下三种方案的函数学模型变化的特点吗？
生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并结合图像(如图1)对三种方案的不同变化趋势作出描述。
问题三：根据上面的探究你会选择哪种投资方案,选择的理由是什么?
（有学生回答选方案3理由是方案3增长速度快）
师：引导学生分析影响方案选择的因素，使学生认识到要做出正确选择除了考虑每天的收益，还要考虑一段时间内的总收益。
生：要考虑投资时间，再做出选择：投资8天以下（含8天）选方案一，8～10天选方案二，11天（含11天）选方案三。
师(追问)：通过本题的探究，同学们对函数模型的增长情况有什么体会?
生：体会到指数的爆炸增长与直线的均匀增长。
2张老师的教学处理
问题一：为什么储蓄罐C里的钱会超过A和B里的钱呢？
生：通过观察数据表格,思考发现是因为三种存钱方式的日储蓄量增加速度不同引起的累积储蓄量不同。
问题二：C的日储蓄量比B的日储蓄量增长得更快,到底有多快?你们有办法让老师感受到那种快的程度吗?
生：为了能更清楚地研究它们的增长速度，可以建立三种存钱方式的函数模型，如下：
储蓄罐A：y=40,储蓄罐B：y=10x(x∈N+),储蓄罐C：y=04×2x-1(x∈N*)，并借助计算机做出图像来观察它们的变化特征就可以了。
