读作:A包含于B或B包含A
若任意x∈Ax∈B,则AB
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作:AB或BA。
性质:①AA(任何一个集合是它本身的子集)
②A(空集是任何集合的子集)
置疑:能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?
解疑:不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合。
因为B的子集也包括它本身,而这个子集是由B的全体元素组成的。空集也是B的子集,而这个集合中并不含有B中的元素。由此也可看到,把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的。
(2)集合相等:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。
例:{-1,1}={1,-1},可见,集合A=B,是指A、B的所有元素完全相同。
(3)真子集:对于两个集合A与B,如果AB,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集,记作:AB(或BA),读作A真包含于B或B真包含A。
思考:能否这样定义真子集:“如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集。”
集合B同它的真子集A之间的关系,可用文氏图表示,其中两个圆的内部分别表示集合A,B。
提问:
(1)写出数集N,Z,Q,R的包含关系,并用文氏图表示。
(2)判断下列写法是否正确
①A②A③AA④AA性质:
(1)空集是任何非空集合的真子集。若A,且A≠,则A;(2)如果AB,BC,则AC。
例1写出集合{a,b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集。
解答:
集合{a,b}的所有的子集是,{a},{b},{a,b},其中,{a},{b}是{a,b}的真子集。
注意:(1)子集与真子集符号的方向。
如AB与BA同义;AB与AB不同(2)易混符号
①“∈”与“”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如1∈N,-1N,NR,R,{1}{1,2,3}②{0}与:{0}是含有一个元素0的集合,是不含任何元素的集合。
如:{0},不能写成={0},∈{0}例2见教材P8(解略)
例3判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正。
(1){}表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3){1,2,3}不是{3,2,1};(4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1};(5)如果AB且A≠B,那么B必是A的真子集;(6)AB与BA不能同时成立。
解:(1){}不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确;(2)不正确。空集是任何非空集合的真子集;(3)不正确。{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合;(4)不正确。{0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1},;(5)正确。
(6)不正确。当A=B时,AB与BA能同时成立。
例4用适当的符号(∈,,=,,)填空:(1)0{0};0;{0};
(2){x|x2+1=0,x∈R};{0}{x|x2+1=0,x∈R};(3)2-3{ab+b2|a,b∈Q};(4)设A={x|x=2n-1,n∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z},则ABC。
解:(1)0∈{0}0{0};
(2)={x|x2+1=0,x∈R},{0}{x|x2+1=0,x∈R};(3)2-3=126-122,12,12∈Q。 ∴2-3∈{a6+b2|a,b∈Q} ;(4)A,B,C均表示所有奇数组成的集合,∴A=B=C。
练习:教材P9
用适当的符号(∈,,=,,)填空:(1)a{a};(5){a,b}{b,a};(2)a{a,b,c};(6){3,5}{1,3,5,7};(3)d{a,b,c};(7){2,4,6,8}{2,8};(4){a}{a,b,c};(8){1,2,3}。
解:(1)∈;(2)∈;(3);(4);(5)=;(6);(7);(8) 。
提问:见教材P9例子
(二) 全集与补集
1.补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作CSA,即CSA={x|x∈S且xA}。
A在S中的补集CSA可用上图中阴影部分表示。
性质: CS(CSA)=A
如:(1)若S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},则CSA={2,4,6};(2)若A={0},则CNA=N*;
(3)CRQ是无理数集。
2.全集:
如果集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U表示。
注:Cu是对于给定的全集U而言的,当全集不同时,补集也会不同。
例如:若A={正方形},当U={菱形}时,CuA={一个内角不等于90°的菱形};当U={矩形}时,则CuA={邻边不相等的矩形}。
例5设全集U=R,A={x|x<-1,或x>1},B={x|x-2≥0},判断CuA与CuB之间的关系。
解:∵A={x|x<-1,或x>1}
∴CuA={x|-1≤x≤1}
∵B={x|x-2≥0}
∴CuB={x|x<2}
∴CuACuB
练习:见教材P10练习
1.填空:
S={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},那么CsA=,CsB= 。
解:CsA={4,5,6,7,8},CsB={1,2,7,8}2.填空:
(1)如果全集U=Z,那么N的补集CuN=;(2)如果全集,U=R,那么CUQ的补集Cu(CuQ)=。
解:(1){x∈Z|x<0};(2)Q
三、小结
本节课学习了以下内容:
1.五个概念(子集、集合相等、真子集、补集、全集,其中子集、补集为重点)
2.五条性质
(1)空集是任何集合的子集。A
(2)空集是任何非空集合的真子集。A(A≠Φ)
(3)任何一个集合是它本身的子集。AA(4)如果AB,BC,则AC。
(5)CS(CSA)=A
3.两组易混符号:(1)“∈”与“”:(2){0}与(四)课后作业:见教材P10习题1.2
(五)板书设计:
课题
一、知识点
(一)(二)例题:
【习题精选】
一、填空题
1.已知三个元素的集合A={a,ab,a-b},B={0,|a|,b},如果A=B,那么a+b的值为。
2. 已知A={x|x<-1或x>5},B={x|a≤x<a+4}。若AB,则实数a的取值范围是。
3.设全集为Z,A={x∈Z|x<8},B={x∈Z|x≤3},则CZA与CZB的关系是。
4.若AB,AC,B={0,1,23},C={0,2,4,8},则满足上述条件的集合A为。
二、解答题
1.已知集合M={a,a+d,a+2d},P={a,aq,aq2},其中a≠0,a,d,q∈R,且M=P。求q的值。
2.设全集S={x∈R|x2-8x+15=0},CSA={x∈R|ax-1=0},求由实数a组成的集合。
3.已知A={0,1},B={x|xA},C={x|x∈A,x∈N*},试确定A,B,C之间的关系。
参考答案
一、填空题
1.-2. 2.a≤-5,或a>53.CzACzB 4.,{0},{2},{0,2} 。
二、解答题
1.q=-12。注意a≠0,q≠1,d≠0。
2.0,13,15
3.A∈B,C∈B,CA。
【典型例题】
例1判断下列说法是否正确,如果不正确,请加以改正。
(1){}表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3){1,2,3}不是{3,2,1};(4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1};(5)如果AB且A≠B ,那么B必是A的真子集;(6)AB与BA不能同时成立。
解:(1) {}不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确;(2)不正确。空集是任何非空集合的真子集;(3)不正确。{1,2,3}与{3,2,1}表示同一集合;(4)不正确。{0,1} 的所有子集是{0},{1},{0,1},;(5)正确。
(6)不正确。A=B 时,AB与BA能同时成立。
说明:本题中某些似是而非的问题是学生学习中常常出现的问题,教学中应及时收集学生作业中的类似问题,让学生判断,以加深学生对子集和真子集,包含和相等的理解。
例2用适当的符号(∈,,=,,)填空:(1)0{0};0 ;{0}
(2){x|x2+1=0,x∈R};;(3)2-3{ab+b2|a,b∈Q};(4)设 A={x|x=2n-1,n∈Z},B={x|x=2m+1,m∈Z},则ABC。
解:(1)0∈0{0}
(2)={x|x2+1=0,x∈R},{0}{x|x2+1=0,x∈R} ;(3)∵2-3=126-122∴2-3∈{a6+b2|a,b∈Q};(4)∵A,B,C均表示奇数集,∴A=B=C。
说明:本题主要是训练学生正确运用集合的符号,这类题的解法应使学生熟练掌握,为此教师还可以选编一些习题供学生练习。
例3设A={a,b},且B={x|xA}则
A.A∈ BB.AB C.A BD.AB解: 由B的表示可知,x代表A的子集,B={,{a},{b},{a,b}},所以 A∈B。
例4若集合:
M={x|x=m=16,m∈Z},N={x|x=n2-13,n∈Z},P=x|x=p2+16,p∈Z ,则M,N,P的关系是
A.M=NPB.MN=P
C.MNPD.ZPM
解:对集合M,x=16
对集合N,x=3p+16,p ∈Z
对于集合P, x=3P+16,P ∈Z
∴MN=P,故选B。
例5设全集U=R,A={x|x<-1,或x>1},B={x|x-2≥0},判断Cu与CuB之间的关系。
解:∵A={x|x<-1,或x>1}
∴CuA={x|-1≤x≤1}
∵B={x|x-2≥0}
∴CuB={x|x<2}
∴CuCuB