【教学目标】
一、初步理解集合的概念，掌握其记法及表示方法，掌握常用数集的符号，了解空集概念并掌握其符号；二、了解集合中元素的概念，初步了解“属于”关系的意义；三、理解集合中元素的确定性、互异性，了解集合中元素的无序性；四、初步了解有限集、无限集、空集的意义；五、会用集合、元素等知识表示简单集合的有关问题；六、渗透数学是来源实践、反过来又指导实践的辩证唯物主义观点。
【教学建议】
一、知识结构
本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子。
二、重点难点分析
这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合。这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键。为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法。
1.关于牵头图和引言分析。
牵头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容——无论是分析还是解决这个实际问题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数字化。一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础。
2.关于集合概念的分析。
点、线、面等概念都是几何中原始的不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念。
初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等。在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。教科书给出的“一般地，某些指定的对象集合在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明。
我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界。
3.关于自然数集的分析。
教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意。
新的国家标准定义：自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨；另一方面，0还是十进位数{0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算a-a仍属于自然数，其中a∈N。因此要注意以下几点：（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；（2）自然数集内排除0的集，表示成N*或N＋，其他数集｛如整数集Z、有理数集Q、实数集R｝内排除0的集，也可类似表示Z*，Q*，R＋；（3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如R＋，Q-，Z＋等不再使用。
4.关于集合中的元素的三个特性分析。
集合中的每个对象叫做这个集合的元素。例如“中国的直辖市”这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。
集合中的元素常用小写的拉丁字母a，b，c…表示。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；否则，就说a不属于A，记作aA。
要正确认识集合中元素的特性：
（1）确定性：a∈A和aA，二者必居其一。
集合中的元素必须是确定的。这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。例如，给出集合｛地球上的四大洋｝，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。其他对象都不符合这个集合。如果说“由接近3的数组成的集合”，这里“接近3的数”是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合。
（2）互异性：若a∈A，b∈A，则a≠b。
集合中的元素是互异的。这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个。例如方程x2-2x＋1=0有两个重根x1=x2=1，其解集只能记为{1｝，而不能记为{1，1｝。
（3）无序性：{a，b｝和{b，a｝表示同一个集合。
集合中的元素是不分顺序的。集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（1，0）和点（0，1）表示不同的两个点，而集合{1，0｝和{0，1｝表示同一个集合。
5.要辩证理解集合和元素这两个概念
（1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系。例如｛1｝∈｛1，2，3｝的写法就是错误的，而｛1｝∈｛｛1｝，｛2｝，｛3｝｝的写法就是正确的。
（2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非指个别现象。例如对于集合｛x∈R|x≥0｝，就是指所有不小于0的实数，而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”，不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数”，也不是指“x是不小于0的任一实数值”……
（3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。
6.表示集合的方法所依据的国家标准。
本小节中列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定。
符号
应用
意义或读法
备注及示例
｛，…，｝｛x1，x2，…，xn｝诸元素x1，x2，…，xn构成的集也可用｛xi，i∈I｝，这里的I表示指标集｛|｝｛x∈A|p（x）｝使命题p（x）为真的A中诸元素之集例：｛x∈R|x≤5｝，如果从前后关系来看，集A已很明确，则可使用｛x|P（X）｝来表示，例如｛x|x≤5｝此外，｛x∈A|p（x）｝有时也可写成｛x∈A∶p（x）｝或｛x∈A；p（x）｝7.集合的表示方法分析。
集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法。它们各有优点。用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析。
（1）有的集合可以分别用三种方法表示。例如“小于π的自然数组成的集合”就可以表为：①列举法：｛0，1，2，3｝；
②描述法：｛0，1，2，3｝；
③图示法：如图1。
（2）有的集合不宜用列举法表示。例如“由小于π的正实数组成的集合”就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素一一列举出来，但这个集合可以这样表示：①描述法：｛x∈R|0＜x＜π｝
②图示法：如图2。
（3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义。例如：①集合｛x∈R|y=x｝中的元素是x，它表示函数y=x中自变量x的取值范围，即｛x∈R|x≥0｝；②集合｛y∈R|y=x｝中的元素是y，它表示函数值y的取值范围，即｛y∈R|y≥0｝；③集合｛（x，y）|y=x｝中的元素是点（x，y），它表示方程y=x的解组成的集合，或者理解为表示曲线y=x上的点组成的集合；④集合｛y=x｝中的元素只有一个，就是方程y=x，它是用列举法表示的单元素集合。
实际上，这是四个完全不同的集合。
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素—一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定。
8.集合的分类。
含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示。
图1
含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示。
图2
9.关于空集分析。
不含任何元素的集合叫做空集，记作。空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑。
【习题精选】
一、选择题
1.下面四个命题正确的是
A．10以内的质数集合是｛0，3，5，7｝B．“个子较高的人”不能构成集合
C．方程x2-2x＋1=0的解集是｛1，1｝D．偶数集为｛x|x=2k，x∈N｝
2．下面的结论正确的是
A．ax∈Q，则a∈N
B．a∈N，则a∈｛自然数｝
C．x1-1=0的解集是｛-1，1｝
D．正偶数集是有限集
参考答案
1.B 2.C
二、填空题
1.设P=｛x|x≤15｝，m=32则P。
2.0
3.1｛x|x=-a2＋1，a∈N＋｝
4.设直线y=2x＋3上的点集为P，则P。点（2，7）与P的关系为（2，7）P。
5.集合｛x|8＜x＜12，x∈N｝，用列举法可表示为。
参考答案
1.2.3.4.P=｛（x，y）|y=2x＋3｝，（2，7）∈P5.｛9，10，11｝三、解答题
1.已知A=｛（x，y）|y=2x-1｝，B=｛（x，y）|y=x＋3｝，a∈A，a∈B，求a。
2.已知P=｛x|2＜x＜k，x∈N｝，若集合P中恰有3个元素，求k。
图3
3.已知集合M=｛-2，3x2＋3x-4，x2＋x-4｝若2∈M，求满足条件的实数x组成的集合。
4.用适当的方法表示右图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M。
参考答案
1.a为点（4，7）
2.5＜k≤6
3.｛-3，2｝提示：依题意求出的x要进行检验，不符合集合中元素的特性的应舍去。
4.（x，y）|-2≤x≤52，-1≤y≤32，xy≥0
【典型例题】
与集合的确定性有关的例题：
例1下列备选项中可以组成集合的是
A．与2非常接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数相差很小的数
解：由集合的确定性可知答案为C
与集合相等和空集概念有关的例题：
例2以下说法中正确的个数有
①M=｛（1，2）｝与N=｛（2，1）｝表示同一个集合；②M=｛1，2｝与N=｛2，1｝表示同一个集合；③空集是唯一的；
④M=｛y|y=x2＋1，xR｝与N=｛x|x=t2＋1，t∈R｝，则集合M=N。
A．3个B．2个C．1个D．0个
解：①集合M表示由点（1，2）组成的单点集，集合N表示点（2，1）组成的单点集。
②由集合元素无序性可知M，N表示同一个集合。
③由12且21（其中1、2均为空集）由集合相等定义可知1=2即证明空集唯一性。
④对于要认识一个集合，应从以下方面入手：①判断集合元素是什么；②元素有何属性（如表示数集，点集等），表示集合时与代表元素采用的字母无关。而④中的集合都表示大于等于1的实数组成的集合，故相等，选A。
用列举法表示集合：
例3用列举法表示下列集合。
（1）不大于10的质数集合；
（2）{x|2≤x≤9，x为偶数｝。
解：（1）不大于10的质数集合是{2，3，5，7｝。
（2）2≤x≤9，又∵x为偶数，
∴x为2、4、6、8.答案为{2，4，6，8｝。
用描述法表示集合：
例4用描述法表示下列集合。
（1）正偶数集合；
（2）被3除余1的整数集合；
（3）坐标平面内不在第一、三象限的点集。
解：（1）｛x|x=2n，n∈N＋｝；
（2）｛x|x=3n＋1，n∈Z｝；
（3）｛（x，y）|xy≤0｝。
与“属于”符号有关的填空题：
例5用符号“∈”或“”填空。
（1）0N，-1N，3N，13N；
（2）0，-12Q，πQ，2R；
（3）3｛x|x≤2｝；
（4）（1，2）｛（x，y）|y=x＋1｝。
解：（1）∈，，，。
（2），，，∈。
（3）∵2＜2，∴3∈｛x|x≤2｝。
（4）点（1，2）在直线y=x＋1上，而｛（x，y）|y=x＋1｝表示直线y=x＋1上的点集，故（1，2）∈｛（x＋y）|y=x＋1｝。
注意：｛x|x≤2｝表示小于或等于2的实数集，大括号内x∈R一般可以省略，即｛x|x≤2｝。
集合是一种数学语言，因此，学习集合时，要先理解集合表示的内容及意义，要从语言的角度来学习集合。
集合中元素个数的例题：
例6在实数x，-x，|x|，x2，-3x3中选若干数组成集合P，P中元素的个数最多有几个？
解：∵|x|=x2，-3x3=-x
∴x＞0时（x＜0）这列数仅表示两个不同的数，故P中元素的个数最多有2个。
