观察这些抽到0的孩子小脸上的表情是件非常有趣的事情。儿童抽到0的反应，可以很好地揭示他们的性格：有的保持冷漠，硬充好汉以掩饰失望、难过的情绪；有的则通过下意识的动作表现出了内心的失望；有的对他们自己奇特的处境忍不住发笑，而引来同伴的好奇；有的带着点儿嫉妒和明显的想要模仿的渴望，关注着他们同伴的每一个动作，直到练习结束为止；还有一些孩子则会立刻表现出接受现状的表情。
在检查数字环节，当孩子们被问到抽到了什么数字时，孩子们承认拿到“0”时的表情也很有趣。
“你呢，你什么也没去取吗？”
“我拿到的是0。”
“是0啊。”
“我拿到了0”是常见的回答，但他们脸上的表情、说话的语气，则表明他们有着各不相同的情绪。的确，很少有人真心诚意地承认他们遭遇了不同寻常的经历。多数人要么不高兴，要么听之任之。
此时，就必须对他们进行行为教育：“看到了吧，要保守0的秘密很难，因为它总是会自己泄露秘密。所以，你要表现得不在乎，别让任何人知道你拿到的是0。”的确，过了一会儿，自豪和尊严感获胜了，孩子们变得习惯于抽到0或是一个很小的数字。他们不再变得焦躁不安，而是从容不迫地抛开这个起初无限困扰他们的小烦恼。
20以内的加、减、乘、除
最初，我们采用的数学运算工具跟数数时用的一样，也就是长度递增的木棍，包含了十进制的初步概念。我已经提及，木棍就用它们所代表的数字来命名：1、2、3、4等等。它们按长度顺序排列，同时也是按数字大小排列。
第一个练习是把短木棍重新组合，构成10。最简单的做法就是把最短的木棍1放到相应的长木棍9的末端。教师可以发出以下指令：“把1加到9上。”“把2加到8上。”“把3加到7上。”“把4加到6上。”这样，我们就得到了4根等于10的木棍。还剩下一个5，但是把它竖着掉个头，就刚好到达了10，这就表明：两个5就是10。
这类练习可以多次重复，教师应逐渐教给孩子更专业的说法：“9加1等于10”“8加2等于10”“7加3等于10”“6加4等于10”以及“2乘以5等于10”。最后，要教给孩子加号、等号和乘号。结果是，我们能看到小家伙的笔记本上整齐地写着：
9+1=10。
8+2=10。
7+3=10。
6+4=10，5×2=10。
当孩子们非常高兴地把这些都学好了，也写在纸上以后，教师就把他们的注意力吸引到如何把加在一起组成10的木棍拆开并放回原位。从最后组成的那个10开始，取走4，就剩下6了。下一个取走3，剩下7。随后取走2，剩下8。最后那个取走1，剩下9。然后我们准确地说：“10减去4等于6”“10减去3等于7”“10减去2等于8”“10减去1等于9”。
至于剩下的5，它是10的一半。如果我们要把长木棍平分成两段，也就是用10除以2。因此，10除以2等于5。书写记录如下：
10—4=6。
10—3=7。
10—2=8。
10—1=9，10÷2=5。
一旦孩子们掌握了这项练习，就可以自己尝试新的练习。我们能不能用两根木棍来组成3呢？我们把1放在2的上面，然后写下来，以便记住我们采取的步骤：2+1=3。我们能不能用两根木棍组成4呢？3+1=4，而且4—3=1，4—1=3。
木棍2与木棍4的关系，就跟木棍5和木棍10的关系一样。也就是，我们把2掉个头，就刚好到达4的另一端。因此4÷2=2，2×2=4。因此，我们可以思考下列问题：有多少根木棍可以玩这样的游戏？我们还可以用3和6、4和8来做这个游戏。即：
2×2=4，3×2=6，4×2=8，5×2=10。
10÷2=5，8÷2=4，6÷2=3，4÷2=2。
从这个排列中，可以马上看出哪些数字可以被2整除：所有那些底部没有多余单个方块的数字是偶数，因为它们可以成对排列，即两个两个地排列。除以2很容易，要做的就是用一条竖线把数字下方排成两列的方块分开。通过数竖线任何一边的方块数目，便得到了商数。而要重新构成原来的数字，则只需把两列方块重新拼到一起，例如2×3=6。
这一切对5岁的孩子来说毫无困难。
很快，重复就变得枯燥无味了，但我们干吗不对练习加以改变呢？重新拿出那套木棍工具，但这次不是把木棍1放在9上面，而是把它放在10上面，然后把2放在9上面而不是8之上，3放在8的上面而不是7之上。
2也可以放在10上面，3放在9上，4放在8上。这样，所有的木棍就比10长了，这些结果是必须学习并且对其命名的：11、12、13……一直到20。小方块游戏也同样不用局限于9以内的数字。
学会了10以内的运算，继续学20以内的运算毫无困难。唯一的困难是学会十进制，孩子们需要上好几次课才能学会。
十进制教学：10以上的算术运算
这些课程必需的工具包括各种印着大字号的数字10的方形卡片，数字大约高4厘米或6厘米；其他的是长方形卡片，宽度是方形卡片的一半，每个上面印着从1到9的单个数字。这些单个数字按以下顺序排成一列：1、2、3、4、5、6、7、8、9。既然还有别的数字，我们就必须再次从1开始。
这个1就像那套木棍中放在9上面组成10的那个1。当我们沿着阶梯状数到9时，仍然剩下1节，往下没有别的数字了，我们再次把这多出的一节命名为1。但它比木棍1要高。为了跟木棍1区分开来，我们在这个1的旁边放上一个没有数值的数字0。这样，我们便得到了10。然后依次用长方形数字卡片盖住0，我们便得到了：11、12、13、14、15、16、17、18、19。这些数字是通过把一根木棍加到10上得来的，不用“那个1”“那个2”
“那个3”等来指代。直到最后我们把木棍9加到木棍10上，得到一根很长的木棍，上面交替的红色、蓝色分段总数达到了19。
这样，老师可以指挥儿童改变木棍的移动方式。她出示卡片10，并用另一个数字盖住0，例如16。于是孩子就把木棍6放在木棍10上面。教师从10的卡片上取走6，用另一张写着其他数字的长方形卡片盖住0，例如数字8，这就给出了18，孩子便拿走木棍6，在它的位置放上木棍8。
每个练习都可以用文字记录下来，例如10+6=16、10+8=18等等。减法也用同样的方式来学习。
对孩子而言，当数字开始具有明确的含义时，只用卡片来做运算就可以了。把写着9个数字的矩形卡片按A和B所示排成两栏。
写着1的矩形卡片放在A卡片中第二个10的“0”上，下面一个10的“0”
上则放上2，以此类推。这样，这一列中左侧的数字仍然是数字10的那个“1”，而右侧的数字则从0到9各不相同了。
B卡片的用法更加复杂。单个数字卡片放在第一列上，在十位上呈现出从1到9的数列变化。当放到9之后，有必要继续把10放上去，直到拼出100，过程才算结束。
我们这里几乎所有的孩子都能数到100。教给他们这100个数字，是为了奖励他们表现出来的好奇心。
我相信这方面的教学无须更多解释。
提高儿童的算术能力
儿童应当能够数到100，并能完成与此有关的运算，这一点似乎十分重要。因为它将最基本的数字与简单的计算结合起来了，而且，我们教给了他们正确的算术方法而不是让他们死记硬背——20多年来，普通学校一直用后者教孩子们学习算术。
总的说来，跟所有人一样，我认为算术很难，希望这么小的孩子学会更多东西是很愚蠢的想法。
事实上，经验告诉我们，跟儿童对书面语言的热情和取得的惊人成果相比，他们对算术只有一点儿兴趣。儿童对语言学习的浓厚兴趣显然证实了算术很难、很枯燥这一普遍看法。
同时，我为已经上小学的年纪稍大的孩子准备了通过几何形状和活动物件来表示数字的工具，以促使儿童进行各种数字的组合。因为蒙台梭利教育法在年幼的孩子中取得了如此惊人的成果，所以我们很快就尝试将它延伸到小学阶段。
我们把这个绝妙的工具称作“珠算工具”。其中，1～10的数字是按照自然顺序呈现的，用彩色玻璃珠做成的小棍或是小棒表示。每个数字都有一种特殊的颜色。这些物件非常多，可以把数字分成组。这样,当10重复数了10次时，就形成了排列成10排的包含100个珠子的方阵。最后，10个方阵叠起来，系在一起，就组成了一个立方体。这个10的立方体就是1000。
现在，一些4岁左右的孩子被这些易于搬运又容易操作的美妙物件吸引了。令我们非常吃惊的是，他们开始使用这些工具，做法与他们看到的年龄稍大的孩子的做法一样。其结果是，儿童对数字工作，尤其是练习十进制的热情获得了极大的提高，算术真的变成了他们最喜欢的练习之一。
当4岁的孩子能把数字组成1000后，在他们长到5～6岁时，其算术能力会取得显着的进步，有些孩子甚至能进行千以上数字的四则运算。
马里奥·蒙台梭利帮助发展了这个项目。在这个工具的帮助下，儿童可以算出2位数、3位数甚至4位数的平方根。而且，它还给儿童展示了可以解答简单的代数问题的数棍组合方法。
儿童在做这类练习时获得了极大的乐趣，也提高了处理小的立体几何图形的能力。这两点促使我制作了跟着名的福禄贝尔“礼物”——方块和砖块类似的物体，它们被摆放在方盒子里。然而，我没有把所有的方块和砖块做成一样的，我做了一个边长大约为10厘米的大型木方块，把它切成不对等的两部分，再切成不对等的三部分。这样切割以后，大方块变成了一些小方块和各种形状的长方体的组合。这个工具代表了几何公式，即一个二项式和一个三项式的立方体。颜色相同的立体形状具有同等的十进制作用，每一组相似的立体形状都有着不同的颜色。
这样，当孩子打开盒子时，见到的是被漆成各种颜色的立方体。每个组成部分排列起来，又分成不同的小组。例如，在三项式中有三个大小不同、颜色各异的立方体；同样数量的长方体，其正方形的一面是同一种颜色，比如绿色；3个其他的长方体虽然有一面是正方形，但因形状不同，故被漆成黄色；还有3个长方体有一面是正方形，但与前两套不同，被漆成蓝色；最后是6个相似的长方体，长方形的边都漆成了黑色。已经提到的三组长方体的长方形面也是黑色的。这些小的彩色物体令孩子非常感兴趣。他们必须首先根据颜色来分组，然后排列成各种形式，编出一个小故事：3个立方体代表三位国王a、b、c，每位国王都有一个跟其他两位不同的随员，卫兵都穿成黑色。通过使用该工具，取得了很好的效果，其中之一便是如下的代数公式：
a·+3a·b+3a·c+b·+3b·a+3b·c+c·+3c·a+3c·b+6abc。
最后，按照一定的顺序把立方体放回盒子中，这样又重新将其变成了一个巨大的彩色立方体（a+b+c）·。
玩这种工具时，儿童形成了物体组合的视觉印象，从而能够记住它们的数量和次序。
从这些物体中接收到的感官印象为大脑提供了素材。再没有比这更吸引4岁儿童的了。此后，教师根据各个部分跟国王a、b、c的从属关系，写下每一块的名称，即使是5岁的孩子——更不用说6岁的孩子了——不用看工具就能把三项式的代数公式存储在脑子里。因为各种物件的配置已经在他们的视觉记忆中得到了巩固。这一练习让孩子们在实践中能够获得一些有关可能性的概念。
所有帮助记忆的卡片和其他能产生很好效果的工具，都能很好地帮助算术教学和代数原理的教学。它们表明，算术教学应当进行彻底改革。算术教学应当从感官认知开始，以具体物体的知识为基础。
显然，在这些已经接受过算术训练的6岁儿童进入普通学校后，其他学生还在数1、2、3，他们会发现自己的处境很尴尬。如果他们要在学习的道路上大步前进，小学教育就必须做出彻底的改变。
在蒙台梭利教育法中，儿童不断地用手搬动物体，积极地锻炼感官，并培养了特殊的数学才能。在脱离工具后，儿童能轻易地写出运算过程并得出结果。因此，他们能进行抽象的心算，从而自然而然地养成了心算的爱好。
例如，一个英国孩子和他跟妈妈一起从伦敦的有轨电车上走下来，这时，他说道：“如果他们都扔了东西，罚款就是34英镑了。”原来，这个孩子注意到电车里贴着一个标语，上面写着：如果任何人在街上扔东西，都要处以若干先令的罚款。因此，他花时间在脑子里计算罚款的总数，并将先令换算成英镑。
