事实上，许多幼儿是通过背诵记住数字的自然顺序来数数的，然而，当他们遇到跟这些数字对应的数量时，却会混淆。数手指、手、脚对儿童来说更为具体，因为他们总是能够找到以不同方式组合成一个具体数量的相同物体——他们知道自己有两只手、两只脚。
用于数数的第一个工具，就是在量度的感官教育中采用的那套木棍。
这些木棍的长度依次递增。最短的长10厘米，第二根长20厘米，以此类推，第十根长达1米。但是，当用于数数时，这些木棍并不是单一的颜色，它与练习目测长度的小木棍不同。在这套工具中，木棍以每10厘米为一节，每节被交替涂上红色或蓝色，从而可以数木棍的段数。如果第一根木棍代表1，其他的木棍则依次代表2、3、4、5、6、7、8、9、10。这个工具的好处在于，它既代表了一个整体，又包含可以计数的单位，而这些单位的数量正好是它代表的数字。例如，第5根木棍从整体说代表数字5，但这5个单元又可以通过不同的颜色区分开来。这就克服了一个很大的困难，即把一节拼在另一节上来形成一个整体。如果用于数数的是任何形状的小物体，例如大小相同的方块，那么老师为何把第一块拿起来时说是“1”，拿起第2块时又说是“2”呢？幼儿会倾向于说1代表每个新增加的物体。这样他就会说：“1、1、1、1、1”，而不是“1、2、3、4、5”。
通过一个新增的单元来不断增大组合，这个递增的整体必须被视作3岁半到4岁的孩子学习数数的最大困难。独立存在的各个单元组合到一起形成一个整体，这个过程儿童无法理解。事实上，许多幼儿是通过背诵记住数字的自然顺序来数数的，然而，当他们遇到跟这些数字对应的数量时，却会混淆。数手指、手、脚对儿童来说更为具体，因为他们总是能够找到以不同方式组合成一个具体数量的相同物体——他们知道自己有两只手、两只脚。
然而，他们很少能肯定地数出一只手的手指数目。当他们成功地数出来时，总会不明白为什么是这样。一只手有5根手指，他们得对着这一个部位数出：“1、2、3、4、5。”这种混乱对于年龄再大一些的人来说毫无困难，但对幼年的孩子来说却是数数的障碍。虽然儿童的大脑极为精密、具体，但也需要明确的辅助。当把“数节棍”给孩子时，我们看到，哪怕最小的孩子也对数数有了浓厚的兴趣。
这些木棍跟数字相对应，长度是逐节递增的，因而，它们既提供了绝对的数字概念，又提供了相对的数字概念。它们的比例已经在感官练习中学习过。这里是用数学方法来判断它们，这就提供了一种算术启蒙。这些数字是可以抓握、比较，可以用于各种即时的组合和对比的。通过把1节木棍接在2节的上面，就产生了一个跟3节木棍的长度相等的木棍。通过把3节和2节的木棍接在一起，就形成了5节的木棍。
然而，最有趣的练习是把木棍按照长度依次并列排在一起，就像在感官练习中那样排列一整套木棍。其结果是，当孩子们将其排成手风琴管的样子时，红色和蓝色部分拼在一起，形成了漂亮的横条纹。然后，再把最短的木棍，只有1节的那根，放在有9节的那根上，把次短的放在8节的木棍上，第三根放在第7根上，第4根放在第6根上，儿童就组合出了全都跟最长的10节的木棍等长的木棍。这种搬动和数量的组合，不是数学运算的开始，又是什么呢？同时，用这种方式搬动物体也是一个有趣的游戏。
孩子们的脑子不用挣扎着去构思许多总和代表一个数字的独立单元组合，而是将其活力运用到数量的测定和加法中来。一旦消除了这个障碍，孩子的全部脑力就被激活了，他们的学习水平将会达到年龄所允许的最高限度。
当儿童开始读书和写字之后，会发现学习代表不同数量的数字非常容易。
我们给孩子砂纸做的数字卡片，就跟字母卡片一样。通过用手指临摹数字，他们学会了怎样书写，也学会了它们的名称。孩子们学过一张卡片之后，就把它放在相应数量的木棍旁边。书面的数字与数量的组合，组成了一个练习，这跟把物体名称的卡片放在它所代表的物体上的练习相似。
成功地完成这项练习之后，孩子们就为以后长期的数学练习奠定了基础。木棍的数目可以写下来，这样就跟数字相对应了。5岁的孩子常常会在练习本上写满了数字。
木棍是让孩子开始学习算术的主要辅助工具，还有两种工具也能派上用场。一个是让他们数独立的单元，让孩子们理解数字组合的概念，同时在他们眼前形成下列数字的连续印象：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
这种工具，我们称之为“线轴托盘”。该工具带有隔间，每个隔间中依次贴着上述10个数字。孩子根据隔间上所贴的数字，在里面放上相应数量的单个物体，形成单元。此处，这些物体是用长棍或形似线轴的物品来代替的。
另一个工具，我们之前已经提到过，就是一组画有不同物体（彩色书签）的卡片。这些卡片被放在一个盒子里，每张卡片上面各自写着1～10范围内的一个数字。当然，卡片的顺序是被打乱的，孩子必须把它们摆成一排，这样便可以表明他们已经理解了数字的顺序，并且认得这些字符所代表的数字。接着，他们要在每个数字下方放上相应数量的彩色书签。两两一行，即一对书签要放在另一对下方。这样，奇数和偶数的差异就自动地显示出来了。这就是我们认为奠定数数和算术运算基础必需的全部工具了。
接下来是更具体的描述，或许能对教师有实际的帮助。
这些木棍根据长度依次并排放好。执行这项练习的儿童随后必须从A端开始数出红色和蓝色的节数，然后从短到长依次用每根木棍包含的节数来给木棍命名。触摸B端，也就是阶梯状的一端。结果，其序号跟我们数最长的木棍一样：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。这样，孩子们就能证明一个事实：这个三角形的每一边都对应着数字10。他们会自己多次重复这个练习，因为觉得它很有趣。
辨识木棍长短的感官练习现在跟数数结合在了一起。这些木棍可以放在地板上，也可以放在桌上，并打乱顺序。教师从中选出一根木棍，但不只让孩子看，还让他们数段数。例如，她拿出一根代表数字“5”
的木棍，然后跟孩子说：“给我找出比它稍长的那根。”孩子靠眼睛就能发现孩子的潜力.indd2412014—2—119:10:27发现孩子的潜能242选出来。教师再让他们把这两根木棍放在一起，数它们的段数来核实。
这类练习可以重复很多次，孩子从中学会了给长梯中的每根木棍指定一个特殊的名字。儿童现在把它们称作“第一根”“第二根”“第三根”“第四根”等。最后，为了简洁，他们在操作时可能会将其称作“1”“2”
“3”“4”等。
字符代表的数字这时，如果孩子已经知道怎么写字了，就给他们从砂纸上剪下的数字，然后按照前文提到的学习字母的三阶段法教他们：“这是1。”“这是2。”“给我1。”“给我2。”“这个数字是几？”孩子必须用手指临摹这些数字，就跟描摹字母时一样。
1.数字练习：将字符与数量联系起来
我定制了两个容器来存放数字。每个容器中都有一个用小骨架分成5个格子的水平托盘，格子内可以存放物品。第二个托盘跟第一个托盘垂直，形成合适的角度。它也用竖条分成五个部分，每个空格里有一个数字。比如，第一个托盘中的数字是0、1、2、3、4，第二个托盘中则是5、6、7、8、9。
这个练习很简单，就是要在水平托盘的格子里放入跟竖直托盘中所写数字一样多的物品。为了让练习有所变化，可以给孩子不同的小物品。我采用的是专门定制的小线轴、福禄贝尔方块以及下棋时用的圆盘。当一组物品放在了孩子面前时，他们必须将其放入正确的位置。例如一个圆盘要放在数字1旁边，两个圆盘放在数字2旁边，诸如此类。当孩子完成了任务，觉得自己放好了时，就叫老师来检查。
2.“0”这一课
我们等到孩子指着“0”的格子问：“我应该在这里放什么呢？”这时我们才回答：“什么也不放。‘0’就是无。”
但这还不够，我们必须让孩子感受到“0”就是无。为此，我们采用了对孩子们来说十分好玩的练习方式。我站在他们中间，他们则坐在我周围的小椅子上。我转向其中一个已经完成数字练习的孩子，说道：“宝贝，过来，到我这儿来0次。”结果，孩子几乎总会朝我跑来，然后又退回到自己的位子上。
“可是，孩子，你来了一次，我告诉你的是来0次啊。”
“那我应该怎么做呢？”
“什么也不做。因为0就是无。”
“我怎么才能什么也不做呢？”
“就是什么也不做。你必须静静地坐着。不能动。即便来一次也不行。
0次就是一次也没有的意思。”
我们反复做着这个练习。
“你，宝贝，用你的手指给我0个飞吻。”
孩子被逗得乐不可支却安静地坐着。
“你明白了吗？”我用近乎激动的声音重复道，“给我0个飞吻，0个飞吻。”
我停下来，放低音调，仿佛对他们的笑声感到生气了，用严肃甚至威胁般的语气对他们中的一个说：“你，到我这里来0次！我告诉你，过来0次。
明白了吗？我在跟你说话呢！过来0次！”他会一动不动。笑声变得更欢快了。这笑声正是由我的态度的改变——先是恳求再是威胁——引发的。
“那，”我伤心地叹口气说，“你为什么不过来呢？你们为什么不来呢？”
于是，所有人都眼含笑意，甚至快要笑出眼泪来地大声喊道：“0就是无！
0就是什么也没有！”
“哦，是这样吗？”我平和地笑着问道，“那么你们都到我这里来一次吧！”他们就会跑过来围着我。
后来，遇到写数字的问题，我们会拿着0说：“0看起来像O。它是O吗？”“不是，它不是O。0就是无。”
当孩子们认识了数字并懂得它们的含义时，我就让他们做以下练习。
我制作了一些材质不同的卡片，并在每张上面印上或是用手写上从0～9的数字。为此，我常采用从大的日历上剪下来的数字。如果可能的话，我尽量用红色的数字，并且把数字上、下的所有印记都剪掉，把它们放在一个盒子里，然后让孩子们来抽取。一个孩子抽出一张纸条，拿到座位上，偷偷地打开看，再把它折好，保守这个秘密。然后，那些拿到数字的孩子们——自然是班里年龄较大的、已经认得数字的孩子——挨个地或是成组地来到老师的大桌子旁边。桌上放着成堆的各种物品，可能是方块、福禄贝尔砖块，或是练习重力感而设计的板块。每个人都拿走数量跟他抽到的纸条上的数字一样多的物品。然而，由于这些数字条仍然被折好放在孩子们的座位上，因此，不仅在穿过同伴来到大桌子旁时，还是在挑选自己的物品并逐个清点的过程中，每一个孩子都必须记住自己拿到的数字。这时，教师可以对儿童的记忆进行有趣的观察。
当孩子拿齐物件后，要两个一排地将其摆放在自己的课桌上。如果是奇数，孩子就把多出的那个放在最下面，就是在最后一排两个物体的下方。
这些小“×”代表数量。在用小圆圈标示的地方，孩子必须放上折好的纸条。做完这些后，孩子就等着教师来检查工作。教师走过来，打开纸条，看到数字，如果见到孩子没有做错，就要对其工作表示肯定。
在游戏开始时，常常会有孩子拿了数量比卡片上的数字要多的物品。
之所以发生这种情况，不是因为他们没记住数字，而是出于强烈的占有欲。
这是人类原始的、未经教化的特点。教师必须努力向孩子解释，在桌上放那么多东西没用，游戏的妙处在于拿到的物品数目要精确地符合要求。
他们逐渐领会了这个意思，但仍不像我们以为的那么容易做到。孩子必须在规定的限度内，做出一种真正的自我克制的努力。例如，自己只从堆在眼前的物品中取走2个，但还得眼看着同伴取走更多的东西。
因此，我认为这个游戏与其说是数数课，不如说是意志锻炼课。
抽到0的孩子，即便看到所有的同伴站起来去取东西，也不能离开座位，更不能拿远处那些成堆的东西。很多次，0落入的都是数数数得非常好的孩子手中。他们真的很想拿到一堆好东西，在桌子上按顺序排列好，再自信又自豪地等待表扬。
