（3）利用已知一个角的三角函数值，求这个角的其他有关三角函数值的方法，求出所需要的三角函数值，代入原式进行运算。
【反余弦函数】
反余弦函数是y=cosx在x∈［0，π］的反函数，记作x=arccosy。习惯上用x表示自变量，y表示函数，所以写成y=arccosx。它的定义域x∈［－1，1］，值域y∈［0，π］。
说明（1）在y=cosx中，当x确定时，y有唯一确定的值与它对应。而当y确定时，x则不确定。为了定义反余弦函数。才限定了［0，π］这个单调区间。
如果在单调区间x∈［2kπ，π+2kπ］和x∈［2kπ－π，2kπ］定义反余弦时可记作y=Arccosx、只有在单调区间才能定义反余弦函数。
（2）cos（arccosx）=x，是有条件的，其中x∈［－1，1］，arccosx∈［0，π］。
反余弦函数的图象与余弦在［0，π］的图象对称于y=x。
y=arccosx性质：
（1）在［－1，1］上是减函数；
（2）是非奇非偶函数；它是关于（0，π2）的中心对称；
（3）对于x∈［－1，1］，有arccos（－x）=π－arccosx。
【反正切函数】
y=tgx在x∈—π2，π2的反函数。记作y=arctgx，它的定义域是x∈R即（—∞，+∞）；值域为—π2，π2（主值区间）。
由定义可推出tg（arctgx）=x。其中x∈（—∞，+∞），arctgx∈—π2，π2。arctgx的主值区间是开区间—π2，π2。
y=arctgx的图象与y＝tgx（x∈（—π2，π2））的图象对称于y=x。
反正切函数的性质：
（1）反正切函数y=arctgx在区间（－∞，+∞）上是增函数；
（2）反正切函数是奇函数，有arctg（－x）＝－arctgx。
【反余切函数】y=ctgx在x∈（0，π）的反函数，记作y=arcctgx，它的定义域是（－∞，+∞）。值域是（0，π）。
由定义可推出ctg（arcctgx）=x。其中x∈（－∞，+∞），arcctgx∈（0，π）。arcctgx的主值区间是（0，π）开区间。
y＝arcctgx的图象与y＝ctgx（o＜x＜π）图象对称于y=x。
反余切函数的性质：
（1）反余切函数y=arcctgx在区间（－∞，+∞）上是减函数。
（2）反余切函数是非奇非偶函数。它的图象与（0，π2）成中心对称。
（3）反余切函数有以下关系：
arcctg（－x）=π－arcctgx，x∈（－∞，+∞）。
【反三角函数值的计算】
对反三角函数值进行三角运算，只要根据定义把反三角函数值看作主值区间内的角（弧度数），就可以按照计算三角函数值的方法进行。这样，有关三角函数的和、差、倍、半等恒变形公式就可以用于反三角函数值的三角运算了。
【三角方程】含有未知角的三角函数的方程叫三角方程。
【最简单的三角方程】sinx=a、cosx=a、tgx=a、ctgx=a称为最简单的三角方程（1）sinx=a的解集｜a｜＜1时，｛x｜x=2kπ+arcsina，k∈Z｝∪
｛x｜x=（2k+1）π－arcsina，k∈Z｝，把这个解的并集可合并为｛x｜x＝kπ+（－1）karcsina，k∈Z｝。
（2）cosx=a的解集。
（1）当｜a｜＞1时，Φ；
（2）当｜a｜=1时，｛x｜x=2kπ+arccosa，k∈Z｝；
（3）当｜a｜＜1时，｛x｜x=2kπ±arccosa，k∈Z｝。
（3）tgx=a的解集。
｛x｜x=kπ+arctga，k∈Z｝。
（4）ctgx=a的解集。
｛x｜x=kπ+arcctga，k∈z｝。
说明：解三角方程时，解也可不用解集表示。
【形如asinα+bcosα=c的三角方程的解法】
解asinx+bcosx=c一般的步骤是把方程两边都除以a，得sinx+bacosx=ac。令tg=ba代入得sinx+tgcosx=ca。
sinx+sincoscosx=ca。
sinxcos+cosxsin=cacos。
即sin（x+）=cacos。
x+=2kπ+arcsin（cacos）
x+=（2k—1）π—arcsin（cacos）
x—2kπ—+arcsin（cacos）
x=（2k+1）π——arcsin（cacos），k∈Z。
【解三角方程的增根、遗根问题】
方程增根，遗根产生是由于方程变形破坏了方程的同解性，常见现象有：
（1）用含有未知数的式子乘以方程的两边，可能产生增根。
（2）两边平方可能产生增根。
（3）在方程变形过程中，扩大了未知数的取值范围可产生增根。
（4）用含有未知数的式子除方程的两边，可能产生遗根。
（5）如方程变形缩小了定义域，可能产生遗根。
【解三角形】已知三角形的三个元素（至少有一个边）求其他元素叫解三角形，三角形的元素指它的边和角。
【正弦定理】在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等。
asinA=bsinB=csinC=2R。
（2R是ABC外接圆的直径）。
说明：定理可以变形如ab=sinAsinB，a=2R·sinA，………
【余弦定理】三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2=b2+c2－2bccosA；
b2=a2+c2－2accosB；
c2=a2+b2－2abcosC。
说明：（1）定理经常变形，如cosA=b2+c2—a22bc，cosB=a2+c2—b22ac，cosC=a2+b2—c2ab等。
（2）当有一个直角的三角形时，如∠C=90°这时c2=a2+b2－2ab·cos90°=a2+b2。可见勾股定理是余弦定理的特例。
【射影定理】
在直角三角形中，斜边上的高等于两直角边在斜边上射影的比例中项；每条直角边平方等于斜边和它在斜边上射影的乘积，ABC中∠C=90°。CD⊥AB。a，b，c为边，h为斜边上的高，b’、a’为b、a在斜边C上的射影。h2=a’b’；a2=a’c；b2=b’c。即h2=abcosAcosB；a2=accosB；b2=bcosA。
【三角形面积的求法】常用的有：
（1）S=12bhb=12aha=12chc，
ha、hb、hc为a、b、c边上的高。
（2）S=12absinC=12acsinB=12bsinA。
（3）=s（s—a）（s—b）（s—c），
这个公式称为海伦公式。
例试证明海伦公式=s（s—a）（s—b）（s—c）
s=12（a+b+c）
证=12absinC。（0°＜C＜180°）
=12ab1—cos2C=12ab（1—cosC）（1+cosC）
12ab（1+a2+b2—c22ab）（1—a2+b2—c22ab）
=ab2（a+b）2—c22ab·c2—（a2—b2）2ab。
=ab2（a+b+c）（a+b—c）（a+c—b）（c—a+b）4a2b2。
=ab2·2ab·（a+b+c）（a+b—c）（a+c—b）（c—a+b）=14。
（a+b+c）（a+b—c）（a+c—b）（c—a+b）
令2s=a+b+c，s=12（a+b+c）
a+b—c=2s—2c=2（s—c）
a+b—c=2s—2b=2（s—b）
b+c—a=2s—2a=2（s—a）代上式=142s·2（s—a）·2（s—b）·2（s—c）
=s（s—a）（s—b）（s—c）。
说明：已知三角形三边，求面积用它较为直接。
【直角三角形的解法】（1）解的主要根据：
（1）两锐角互余：当C=90°时，A+B=90°
（2）勾股定理：∠C=90°，a2+b2=c2。
（3）锐角三角函数定义。
（2）典型题：已知。
（1）斜边、锐角；（2）斜边、直角边；（3）直角边、锐角；（4）两直角边。
【正弦定理】
asinA=bsinB=csinc。
【余弦定理】
a2=b2+c2—2bccosAcosA=b2+c2—a22bc；
b2=c2+a2—2cacosBcosB=c2+a2—b22ca；
c2=a2+b2—2abcosCcosC=a2+b2—c22ab。
【斜三角形的解法】
（1）解法主要根据：
（1）三角形内角和A+B+C=180°；
（2）正弦定理；
（3）余弦定理。
（2）典型题的解法：
（1）已知两边一夹角解三角形，先用余弦定理；
（2）已知三边解三角形，先用余弦定理；
（3）已知两角一边解三角形，先用正弦定理；
（4）已知两边一对角，解三角形，先用正弦定理，它的解，情况如下表：
A＞90°A=90°A＜90°
a＞b一解一解一解。
a=b无解无解一解。
a＜b无解无解。
a＞bsinA无解。
a=bsinA一解。
a＜bsinA无解。
【测量中常用的角】
（1）方向角由两个地理方向中间所夹锐角度数所表示。如东40°北，南30°东等。
一般只用两个相邻的方向，角度不超过90°，角的方向和叙述的方向一致。
东北，西南，西北，东南是指在两个方向间夹着45°角。
（2）方位角由北做为起始边，顺时针所成的角，如方位角150°，即指东60°南的位置。
（3）仰角当视线在水平线上方时，由视线和水平线所成的角叫仰角。
（4）俯角当视线在水平线下方时，由视线和水平线所成的角叫俯角。
（5）视角由一点出发的两条视线所夹的角叫视角，一般这两条视线过被观察物的两端点。
