十分明显，上述分域基都具有“局部化”的特点，即其只在一个局部范围内不为零，其余全为零。这样，离散的节点值的变化将只直接影响到与其相衔接的子域，从而保证了当节点n递增时插值过程的数值稳定性。应指出，若采用三阶以上的高阶插值函数，则由于它不具有局部化特点，因此，不仅计算不很方便，而且数值稳定性也较差，故不宜应用。
一般地，分域基的数值稳定性较高，而整域基的收敛性较好。当所选用的基函数和实际解答愈接近时，收敛愈接近时，收敛愈快，所以基函数的选择应结合场的定性分析。
5.3.3权函数{W}的选取
在加权余量式(5.16)中，很明显，不同类型的权函数的选择，将决定算子方程的余量式(5.15)在不同的意义下取零值，从而可得各种不同计算模式的矩量法，现择要分别讨论如下。
5.4边界元法
边界元法(BEM)是在边界积分方程法和有限元法的基础上发展起来的一种数值计算方法，它吸收了两者的优点，是一种优越的数值计算方法。首先，边界元法的剖分对象为场域的边界线或边界面，这实际上是一种降维处理，因而使计算成本和对计算机存储容量的要求降低；此外，它能有效地处理非均匀介质和各向异性中的问题，且能保证较高的求解精度。
在这一节中，首先给出了三维场域中的拉普拉斯方程，并根据边界条件推导出边界元关系式，将边界关系离散化，得到边界元法的代数方程组；然后给出了方程组中各元素的具体计算方法。
5.4.1边界方程
对于图5.4所示的三维场域，其边界表面S由两部分组成，即S=SbSh，可以得到5.5时域有限差分法
时域有限差分法(简称FDTD)是K.S.Yee在1966年提出的雏形，历经多年的发展，在众多学者和复杂电磁分析任务的推动下，从传统的有限差分法中脱颖而出，逐渐走向成熟。时域有限差分法是基于Yee氏网格的空间离散方式，通过将带时间变量的电磁场旋度方程转化为差分格式，从而可以直接求解电、磁场量的一种时域数值计算方法。时域有限差分法使电磁场的理论与计算从处理稳态问题发展到瞬态问题，从处理标量场问题发展到直接处理向量场问题，这在电磁场理论中是一个极有意义的重大发展。时域有限差分法具有一些非常突出的优点，主要体现在以下几个方面。
1.直接时域计算
时域有限差分法直接离散电磁场基本方程的旋度方程为差分方程。在计算的网格空间中，每一点的场强分量仅与相邻的场分量及上一时间步该点的值有关。它把各类问题都当做初值问题来处理，随着时间的推进，能直接模拟电磁波的传播及其与目标物体的相互作用过程，能直接反映出电磁波的时域特性，给复杂的物理过程描绘出清晰的图像。如果需要频域信息，则只需要对时域信息进行傅立叶变换；如需获得宽频带信息，只需在宽频脉冲激励下进行一次计算即可。
2.广泛的适用性
时域有限差分法不同于以往的任何一种方法，它以差分原理为基础，直接从电磁场基本方程出发，有最广泛的适用性。从具体算法来看，在时域有限差分法的差分格式中，被模拟空间的电磁参量是按空间网格赋予的，故只需设定相应空间点以适当的参数，就可以模拟各种复杂的电磁结构。也容易对非均匀性、各向异性、色散特性和非线性的媒质进行精确模拟。任何电磁问题只要能正确地对激励源和结构进行模拟，时域有限差分法就应能给出正确的解答。
3.节约存储空间和计算时间时域有限差分法所需的存储空间和所需的网格空间与网格总数N成正比；其计算时间也与N成正比。比相同离散网格数量的矩量法(MOM)所需的存储空间和计算时间分别减少9N倍和27N2倍。
4.适合并行计算
由于在时域有限差分法中，每一网格点上的场只与其相邻点处的场及上一时间步该点本身的值相关，这使得FDTD法特别适合于并行计算。施行并行计算可使其所需的存储空间与计算时间减少为只与N1/3成正比。因此，随着现在计算机并行处理技术的发展，FDTD法将越来越重要。
5.计算程序的通用性
由于时域有限差分法的数学模型是电磁场基本方程，因此它的基本差分格式对广泛的问题都是不变的。另外，吸收边界条件和连接边界条件对很多问题也是可以通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参数来实现的，与以上各部分没有直接联系，可以独立进行。因此一个基础的时域有限差分法计算程序，对广泛的电磁问题具有通用性，对不同的问题或不同的计算对象只需要修改有关部分程序，而大部分内容是不变的。
6.简单、直观、易于掌握
时域有限差分法得以广泛应用的一个重要原因是其简单直观、容易掌握。它从麦克斯韦方程出发，不需要任何导出方程，避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁场计算方法中最简单的一种。其次，它基于概括电磁场普遍规律的麦克斯韦方程，实质上是在计算机所能提供的离散数值时空中仿真再现电磁现象的物理过程，非常直观。由于它既简单又直观，易于掌握，很容易推广应用。
5.5.1时域有限差分法的基本原理
电磁场基本方程组中的旋度方程微分形式为。
5.5.2时域有限差分法的实施步骤
时域有限差分法进行数值求解的步骤归纳如下。
(1)将时域麦克斯韦的旋度方程在正交坐标系下展开成其坐标分量式，用中心差分式替代各场分量对空间、对时间的微分，得到该坐标系下的FDTD差分迭代格式。不同的网格形状能够很好地模拟与之具有共形的结构，但是考虑到实现的复杂程度，一般选用直角坐标系下的长方体作为单元网格的基本形状。
(2)选择合适的空间网格基本单元尺寸x，y，z。三个轴向的单元尺寸可以相等，亦可以不等，视具体情况而定。决定空间网格基本单元尺寸x，y，z的大小。网格基本单元尺寸大小的选择应考虑以下一些因素。第一，尽可能地减少由网格尺寸大小的选择而引起的数值发散，即min10，其中，=min(x，y，z)，min是被研究媒质空间中波的最小波长值；第二，能较好地拟合被研究的空间散射体。但是，一味地减小单元尺寸大小，势必引起存储量及计算量的大量增加。反之，可能在被拟合的媒质表面形成过大的锯齿状，导致沿锯齿形表面产生表面波，引起较大的误差。当然，在计算条件允许的情况下，不妨尽量提高精度。
(3)选择时间步长t。在空间网格尺寸大小确定后，可根据下式选择时间步长t=min(xmin，ymin，zmin)/2cmax(cmax为问题空间的最大波相速)(4)决定所要计算的空间的大小。在三个正交方向上的空间网格数的选择，主要考虑以下因素：被研究的媒质应当包括在整个空间网格内；激励源的设置位置；吸收边界和被研究目标之间应当有6~10个网格单元以上的距离，以避免吸收边界条件的吸收效果对计算精度造成的影响。
(5)沿计算空间的外表面设置吸收边界条件。
(6)激励源设置。对单频问题进行时域计算时，激励源一般选用时谐波的形式；对一般的时域计算时，激励源一般是时变冲击函数形式，这时应考虑源的频谱分布，因为其最高频率成分是决定网格单元尺寸和时间步长的依据。
(7)确定运算的总时间步数。对于单频计算，由于场源是时谐的形式，计算时间的确定应使计算场区内的场都达到稳定状态，一般要求计算的总时间至少大于三个谐变周期T。对于一般脉冲场作源的时域计算，计算时间的确定应使计算场区内的场都恢复到初始状态。
5.6模拟电荷法
模拟电荷法基于电磁场的唯一性定理，将电极表面连续分布的自由电荷或介质分界面上连续分布的束缚电荷用一组离散化的模拟电荷来等值替代，这样，应用叠加原理将离散的模拟电荷在空间所产生的场量叠加，即得原连续分布电荷所产生的空间电场分布。
从数学的观点来看，模拟电荷法属于等效源的方法，是以等效原理为基础，在静态场或准静态场中应用广泛。由于模拟电荷法自身的特点，特别适合求解开域问题。
模拟电荷法主要用于计算静电场，其数学模型归结为以电位函数为未知量的泊松方程或拉普拉斯方程的定解问题。
在实际的工程问题中，电极(导体)表面上连续分布的自由电荷及介质分界面上连续分布的束缚电荷，其分布情况通常是未知的，不能直接由给定的边界条件解出。在不知道电荷的具体分布情况下，模拟电荷法在计算场域外设置离散电荷，等效替代这些未知的连续分布电荷，替代的条件是边界条件不变。在此基础上，建立方程式：P·Q=，解方程式可计算出离散电荷的电量，从而近似计算出场域中任意一点的电位和电场。
模拟电荷法的一般计算步骤可归纳为：
(1)根据对实际计算模型的定性分析及研究经验，设置一组模拟电荷，其中包括模拟电荷的类型、个数和位置；(2)根据电极的几何形状，选定足够数量(与模拟电荷数量相等)匹配点，然后建立系数矩阵p，形成代数方程式=pq；(3)解代数方程式=pq，求出模拟电荷q；(4)在电极表面取一些校验点，校核计算精度。如不符合要求，则重新修正模拟电荷的位置、数量、类型，再进行计算，直至达到所要求的精度为止；(5)根据计算所得的模拟电荷计算场中任意点的电位和场强。
习题
1.讨论电磁兼容常用的数值分析方法及各种方法的优缺点。
2.简述有限元法、边界元法与矩量法的基本源流及计算流程。
3.如下图示二维静电场，边值问题：
写出有限元法计算的变分问题。
4.下图为一个输电线的示意图，试写出采用模拟电荷法计算该输电线周围的工频电场时的等效模型及控制方程，并讨论如果给定的目标物体结构复杂时，采用模拟电荷法计算其电场效率会如何变化？采取哪些措施可以改进计算效率？
5.为何在建立时域有限差分方法时只考虑直接离散两个微分形式的Maxwell旋度方程，而不考虑另外两个微分形式的Maxwell散度方程？这样处理会带来什么后果？如果要考虑两个散度方程，你打算如何做？
