在总结前人工作的基础上，德布罗意对这方面的问题进行了潜心的研究。1924年11月他向巴黎大学理学院提交的博士论文《量子理论的研究》中明确指出：一个世纪以来，在光学领域，比起波动的研究方法，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物粒子的研究中，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图像想得太多，而过分地忽略了波的图像呢？德布罗意认为，任何物体都伴随以波，而且不可能将物体的运动和波的传播分开。这就是说，二象性并不只是光才具有的特性，而是一切实物粒子共有的属性。原来被认为是粒子的东西也同样具有波动性。于是，他大胆地提出了具有划时代意义的假设。
1924年，德布罗意把光的波-粒二象性推广到一般实物粒子，提出了如下的假设：
具有一定能量E和一定动量p的自由粒子，相当于频率为ν和波长为λ的波，二者之间的关系同光子与光波的关系，表示式的形式仍为：
E=hν
或者表示为
p=1λ
这种与实物粒子相联系的波称为德布罗意波，这两个表达式称为德布罗意关系式。
德布罗意假设把实物粒子与光的理论统一起来了。既然实物粒子具有波动性，通常情况下，为什么我们观察不到呢？我们以自由运动的电子为例作些分析。
假设自由电子运动的速度用υ来表示，它比光速小很多的情况下，电子的动能为：
E=12mv2
动量为：
p=mv
则有
p=p22m
那么p=2mE
相应的德布罗意波为：
λ=hp=h2mE
假如电子的动能E是通过电场加速获得的，加速电压用U表示，它们的关系为：
E=eU
代入波长表示式中，则有：
λ=h2meU
将电子的电量、电子的质量和普朗克常数h的数值代入，得到的结果是：
λ=150U=12.25U（埃）
式中U的单位为伏（V），波长的单位为埃。
当加速电压取150伏时，波长为1埃；若加速电压增至10000伏时，波长就只有0.1225埃。可见，一般来说，德布罗意波的波长是相当短的，不容易观察出来。对于宏观客体就更困难了。比如，质量为10克的子弹头，以每秒100米的速度飞行，相应的德布罗意波的波长为6.6×10-34米，也就是6.6×10-24埃。这样短的波长显然是无法观察到的。因此，德布罗意波对于微观粒子才能明显地表现出来。但这不等于说德布罗意关系对宏观物体不适用。存在与否和能不能观察到这是两回事。
德布罗意假设是否正确，需要通过实验来检验。1927年，戴维逊（1881—1958年）和革末（1896—1971年）通过电子在镍（Ni）单晶中的散射实验，进行了较为精确的测定，并将测得的结果公布于众，从而使德布罗意假设得到证实。
实验装置如图3-7。从电子枪（一种发射、加速、准直电子束的装置）发射出来的电子束打在镍单晶面上，如果电子具有波动性，经晶体散射以后会产生类似光的衍射现象。衍射加强的部分，探测器接收到的电子多；衍射减弱的部分，接收到的电子少。移动探测器，也就是改变角度θ的大小，如果接收到的电子数目与预言的情况相符，便可证明电子的波动性。
实验时加速电压选取54伏，计算出来的德布罗意波长为1.67埃。根据镍晶体结构特征，计算出探测器接收到的电子数显著增加时的θ角为50.9°，与实验中测出的θ角数值符合得相当好，误差仅为1％。这就有力地证明了电子的波动性；同时，也证明了德布罗意关系式是正确的。
这之后的几年中，有关微观粒子波动性的实验取得了很大进展。实验中发现，不但电子具有波动性，一切微观粒子，像中子、质子，以至原子、分子、α粒子等也同样具有波动性。这更进一步证实了德布罗意假设的正确性，也充分表明波-粒二象性是一切微观粒子的共同特征。
为了同机械波、电磁波相区别，这种与实物粒子相联系的波称为物质波。
波-粒二象性
有关波的概念和粒子的概念在历史上可以说渊远流长，但在物理学发展的不同阶段其物理思想的内涵却迥然不同。在经典物理学中，波和粒子是两个性质完全不同的概念。并且，经验告诉我们，波和粒子这两个概念永远无法同时使用，也就是说，不可能同时用波和粒子这两个概念描写同一个现象，这在逻辑上是讲不通的，更是办不到的。
一谈到粒子，脑海里的印象就是以不连续的单独份额的形式出现，犹如小小的乒乓球、台球、子弹头……它们具有明显的直观性。每个粒子都有一定的大小，在空间占据一定的位置，原则上可以精确地测定他的位置、质量、动量、电荷等。至于经典观念下的波，使人们马上会联想到一根绷紧了绳子上的波，或者水面上的波，有波峰和波谷，每个波都具有确定的波长和频率，它们可以叠加，可以产生干涉现象。
另外，在经典物理中粒子和波是两个完全独立的概念，它们不能够统一到一个客体上去。在自然界中它们是两种仅有的、又完全不同的能量传播方式。比如，声音使耳膜感受到的振动，就是以波的形式传播能量的结果；将一小石子投到平静的水面上会激起水的波动，这便是以粒子的形式传递能量的例子。
对于微观客体来说，诸如像光子、电子等，从量子理论的观点来看，它们既不是经典概念下的粒子，也不是经典概念下的波，更不能视为波与粒子的简单相加。大量的实验事实已充分表明，微观粒子的行为时而像波，时而像粒子，它们将波性和粒子性融于一身。在不同的外界条件下，具有能够显示出类似于经典波或经典粒子特性的潜在能力，微观客体这两重性的辩证统一，称为波-粒二象性。
为了说明这样的事实，以电子束经过狭缝的实验为例加以分析，参看图3-8。单个电子通过狭缝时，打在屏上的位置具有任意性，也就是说事先无法确定，这一点不同于牛顿力学中的质点。但是，大量粒子经过狭缝以后，打在屏上的分布却表现出明显的规律性，形成了如同光波经过单缝以后显示出的衍射图像，具有明暗相间的条纹，参看图3-9。单个电子，经过狭缝打到屏上出现一个个闪光，表现出明显的粒子性；而大量电子形成的衍射图像确显示出波性。这种波性与我们已经知道的机械波，如水波、电磁波有什么不同呢？
首先让我们分析一下光的单缝衍射情况（图3-10）。光是一种电磁波，光通过狭缝形成的衍射图像中，亮条纹的地方表示光波的强度大，暗条纹的位置表示光波的强度小；而光波的强弱是与光波振幅的平方成正比的。因此，亮处光波振幅的平方值大，暗处光波振幅的平方值小。
若从光子的角度来分析，形成亮条纹的地方表示到达的光子数多，暗条纹的位置到达的光子数要少。
把这两种情况统一起来看，光波振幅平方值越大，表示到达的光子数越多；反过来，光波振幅平方值越小，则表示到达的光子数就少。
对于电子单缝衍射的结果也可以做同样的分析。衍射出现极大的地方，表示到达的电子数多，也就是电子到达这些地方的可能性大；同样，衍射极小的地方，电子到达的数少，表示电子到达这些地方的可能性就小。由此可以看出，电子经过狭缝以后形成的衍射图像，实际上反映出电子在空间的一种分布，这种波称为物质波。它是电子、质子、中子、分子等一切微观粒子共有的属性。物质波与机械波、电磁波有着本质的区别。
由于微观粒子具有波-粒二象性，因此，它们的行为就不同于经典概念下的粒子。对于牛顿力学中的质点，它的运动状态通常是用表示位置的坐标和动量来描述的；而且，根据经典力学的规律，这两个物理量可以同时被准确的求出。但对于一个微观粒子来说，经典力学的方法就不完全适用了。由于它们具有波动性，要同时准确地确定每个粒子的位置和动量是困难的。换句话说，当粒子的位置能够准确确定时，也就是△r→0，在这种情况下，粒子相应的动量就完全不确定，△p→∞；反过来，当粒子的动量有完全确定的数值时，△p→0，那么，它的位置就会完全不确定，即△r→∞。这种关系称为不确定关系，是海森堡（1901—1976年）于1927年首先提出来的。
不确定关系反映了微观粒子运动的基本规律，也是近代物理学中一个非常重要的关系式。它有多种表示形式，现将最常用的两种形式介绍如下：
（1）位置与动量的不确定关系
如果用r表示坐标，用p表示动量，那么不确定关系的一般表示式写为
△r·△p≈h
h是普朗克常数。这个表达式的含意是：当粒子的位置坐标存在一个不确定的范围△r，相应动量也必然存在一个不确定的范围△p，它们的乘积满足这个关系式。由于h是一个常数，当△r→0时，△p→∞，正如我们前面分析的那样；反过来也是如此。这一点，利用电子的单缝衍射实验可以得到很好的说明。
（2）能量与时间的不确定关系
假如有一个粒子处于能量E的状态，在这个状态允许停留的时间为△t。在这样一段时间内，粒子所处状态的能量并不是完全确定的能量E，而是有一个不确定的范围△E，二者的乘积满足关系式
△E·△t≈h
这个关系描述这样一种事实：如果粒子在很长的时间间隔内处于一种确定的状态，那么粒子的能量就可以精确地确定；若粒子只能在很短的时间间隔内处于确定的状态，那么，它的能量就完全不确定了。
不确定关系看上去很古怪，不太好理解，因为在经典物理中没有遇到过。为什么会存在这种情况呢？究其本源就是由于微观粒子具有波-粒二象性。微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，原因在于它们具有波性。这种客体的性质，往往使人联想起大自然中的风暴现象，如果风暴延伸的距离很大，则风刮得就会比较弱；如果风暴集中在一个不太大的区域内，产生的风力就会非常强，从而形成具有很大破坏性的台风和飓风。
由于不确定关系的存在，微观粒子的位置和动量无法同时精确的确定下来，因此，粒子运行“轨道”的概念也就失去了意义。那么，对于微观客体运动状态及其规律应如何描述呢！这正是量子力学要研究的内容，以后在深入学习中会慢慢遇到的。
不确定关系对于宏观物体而言是无关紧要的。例如，有一粒子弹，其质量m=0.01千克，飞出枪膛时的速度大小为υ=500米／秒，速度大小测量的精确度（△υ/υ）达到0.01％，问子弹位置能达到的最大准确度应是多少（△r=？）。
子弹动量不确定范围是
△p=m·△v=m·△vv·v=0.01千克×0.01％×500米／秒
=5×10-4千克·米／秒
由不确定关系式△r·△p≈h，可计算出△r=1.33×10-30米。表示子弹的位置已确定得相当准了，不确定范围非常的小，以致以完全可以忽略。但对于一个电子来说，情况就不一样了。电子的质量仅有9.1×10-31千克，计算出来的△r=1.44×10-2米=1.44厘米。由于1.44厘米已远远大于电子的线度（电子的大小只有10-15米），可见，电子的位置已完全不能确定了。因此，不确定关系对于宏观物体而言完全可以不考虑，但对于微观粒子来说，确是一条具有普遍意义的物理规律。
