直至1750年，诞生在瑞士国土上的伟大数学奇才欧拉宣布：他一举求出如2620和2924，5020和5564，6232和6368等六十对亲和数（一说五十九对），使他在寻数竞争中独占鳌头。
又过了一百多年，奇迹出现了，1866年，一位年仅十六岁的孩子竟正确地指出，前辈们丢掉了第二对较小的亲和数1184和1210，这戏剧性的发现使数学家们大为惊讶，据本世纪七十年代统计，人们已经找出一千二百多对亲和数，数学真是一个深不可测的海洋，它蕴藏着无穷无尽的奥妙。
“赌徒之学”
17世纪时，法国有一个很有名的赌徒，名字叫默勒。一天，这个老赌徒遇上了一件麻烦事，使他伤透了脑筋。
这天，默勒和一个侍卫官赌掷骰子，两人都下了30枚金币的赌注。如果默勒先掷出3次6点，默勒就可以赢得60枚金币；如果侍卫官先掷出3次4点，这60枚金币就归侍卫官赢走。可是，正当默勒掷出2次6点，而侍卫官只掷出了1次4点时，意外的事情发生了。侍卫官接到通知，必须马上回去陪国王接见外宾。
赌博无法继续下去了。那么，如何分配两人下的赌注呢？
默勒说：“我只要再掷出1次6点，就可以赢得全部金币，而你要掷出2次4点，才能赢得这么多金币。所以，我应该得到全部金币的3／4，也就是45枚金币。”
侍卫官不同意这种说法，反驳说：“假如继续赌下去，我要2次好机会才能取胜，而你只要一次就够了，是2∶1。所以，你只能取走全部金币的2／3，也就是40枚金币。”
两人争论不休，结果谁也说服不了谁。
事后，默勒越想越觉得自己的分法是公平合理的，可就是说不出为什么公平合理的道理来。于是，他写了一封信向法国著名数学家帕斯卡请教：
“两个赌徒规定谁先赢s局就算赢了。如果一人赢了a（a＜S）局，另一人赢了b（b＜s）局时，赌博中止了。应该怎样分配赌本才算公平合理？”
这个问题有趣得很。如果以两人已赢的局数作比例来分配他们的赌本，两人都将不服气，准会抢着嚷道：“假如继续赌下去，也许我的运气特别好，接下来全归我赢。”然而，假如继续赌下去，谁又能预先确定一定归谁赢呢？
即使是接下去的每一局，谁又能预先断定一定归谁赢呢？
帕斯卡对这个问题很有兴趣，他把这个题目连同他的解法，寄给了著名法国数学家费尔马。不久，费尔马在回信中又给出了另一种解法。他们两人不断通信，深入探讨这类问题，逐渐摸清了一些初步规律。
费尔马曾经计算了这样一个问题：“如果甲只差2局就获胜，乙只差3局就获胜时，赌博中止了，应如何分配赌本？”
费尔马想：假如继续赌下去，不论是甲胜还是乙胜，最多只要4局就可以决定胜负。于是他逐一列出这4局时可能出现的各种情况，发现一共只有16种。如果用a表示甲赢，用b表示乙赢，这16种可能出现的情况是：
aaaaaaabaabaaabbabaaabababbaabbbbaaabaabbabababbbbaabbabbbbabbbb在每4局，如果a出现2次或多于2次，则甲获胜。这类情况有11种；如果b出现3次或多于3次，则乙获胜，这类情况有5种。所以，费尔马算出了答案：赌本应当按11∶5的比例分配。
根据同样的算法，读者不难得出结论：在默勒那次中止了的赌博中，他提出的分法确实是合理的。
帕斯卡给费尔马的信，写于1654年7月29日，这是一个值得记住的日子。因为他们两人的通信，奠定了一门数学分支的基础，这门数学分支叫做概率论。
由于概率论与赌徒的这段渊源，常有人讥笑它为“赌徒之学”。
概率论主要研究隐藏在“偶然”现象中的数量规律。抛掷一枚硬币，落地时可能是正面朝上，也可以是背面朝上，谁也无法预先确定到底是哪一面朝上。它的结果纯粹是偶然的。连续地将一枚硬币抛掷50次，偶然也会出现次次都是正面朝上的情形。但是，如果继续不停地将硬币抛掷下去，这个“偶然”的现象便会呈现出一种明显的规律性。有人将硬币抛掷4040次，结果正面朝上占2048次；有人抛掷12000次，结果正面朝上占6019次；有人抛掷3万次，结果正面朝上占14998次。正面和背面朝上的机会各占1／2，抛掷硬币的次数越多，这种规律性就越明显。
概率论正是以这种规律作依据，对在个别场合下结果是不确定的现象，作出确定的结论。例如，将一枚硬币抛掷50次，概率论的结论是：出现25次正面朝上的机会是1／2。而次次出现下面朝上的机会是多少呢？假如有一座100万人的城市，全城人每天抛掷8小时，每分钟抛掷10次，那么，一般需要700多年，这座城市才会出现一回这样的情形。
8.法官的判决事情发生在古希腊。智慧大师、诡辩论者普洛塔赫尔在教他的学生款德尔学习律师业务时，师生之间约定，学生独立后第一次取得成绩，即第一次诉讼胜利时，必须付给老师酬金。
款德尔学完了全部课程，但却不急于出庭辩护，使老师迟迟得不到酬金。
老师这时想：“我要向法院提出诉讼，如果我赢了，我会得到罚款。如果我输了，我会得到酬金，这样无论如何我都胜了。”
于是普洛塔赫尔正式向法院提出了控诉。
学生得知这一情况之后，认为他们的老师根本没有获胜的希望，如果法院判被告输了，那么按二人的约定就不必付酬金。如果判被告赢了，那么根据法院裁决就没有付款的义务了。
师生二人的良好想法终于使法院开庭了。这场纠纷吸引了好多人。但法官的判决更使人敬佩不已。既没破坏师生之约，又使老师有了取得报酬的可能。
法官的判决是这样的：让老师放弃起诉，但给他权力再一次提出诉讼。理由是学生在第一次诉讼中取胜了，这第二次诉讼应无可置辩地有利于老师了。
国王给大臣们出的难题
据传古代欧洲有位国王，一天他非常高兴，便给大臣们出了一道数学题，并许诺谁先解出了这道题便予重赏。他说：“一个自然数，它的一半是一个完全平方数，它的三分之一是一个完全立方数，它的五分之一是某个自然数的五次方，这个数最小是多少？”
有位大臣的儿子十分聪明，第二天他就替父亲解出了这道题。
满足上述条件的数，必然是2，3，5的倍数，其最小值可以表为N=2a·3b·5c（其中a、b、c为自然数。）由于12N是完全平方数，所以2a-13b5c是完全平方数：那么a-1必为偶数，即a为奇数；b、c也必须是偶数，由于13N是完全立方数，那么b-1就为3的倍数，即b为被3除余1的数，如1，4，7，10，13，……等等；同理c是被5除余1的数，即1，6，11，16，21，……等等；此外还要满足条件：a与b都是5的倍数，a与c都是3的倍数。
综上所述，a是能被3和5整除的奇数，即a的最小值为15；b是能被5整除被3除余1的偶数，即b的最小值为10；c是被3整除被5除余1的偶数，即c的最小值为6。那么：
N=215·310·56=302330880000。
爱吹牛的理发师
1919年，著名英国数学家罗素编了一个很有趣的“笑话”。
小镇有个爱吹牛的理发师。有一天，理发师夸下海口说：“我给镇上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子。”
大家听了直发笑。有人问他：“理发师先生，您给不给自己刮胡子呢？”
“这，这，……”理发师张口结舌，半晌说不出一句话来。
原来，这个爱吹牛的理发师，已经陷入自相矛盾的窘境。如果他给自己刮胡子，那就不符合他声明的前一半，这样，他就不应当给自己刮胡子；但是，如果他不给自己刮胡子，那又不符合他声明的后一半，所以，他又应当给自己刮胡子。无论刮不刮，横竖都不对。
像理发师这样在逻辑上自相矛盾的言论，叫做“悖论”。罗素编的这则笑话，就是数学史上著名的“理发师悖论”。
理发师的狼狈相是很好笑的，可是，数学家听了却笑不起来，因为他们自己也像那个爱吹牛的理发师一样，陷入了自相矛盾的尴尬境地。
实际上，20世纪初期的数学家们，比那个爱吹牛的理发师更狼狈。理发师只要撤消原来的声明，厚起脸皮哈哈一笑，什么事情都没有了；数学家可没有他那样幸运，因为他们遇上了一个无法回避的数学悖论，如果撤消原来的“声明”，那么，现代数学中大部分有价值的知识，也都荡然无存了。
这个数学悖论也是罗素提出来的。1902年，罗素从已被人们公认为数学基础理论的集合论中，按照数学家们通用的逻辑方法，“严格”地构造出这个数学悖论。把它通俗化就是理发师悖论。
集合论是19世纪末发展起来的一种数学理论，它已迅速深入到数学的每一个角落，直至中学数学课本。它极大地改变了整个数学的面貌。正当数学家们刚刚把数学奠立在集合论的基础上时，罗素悖论出现了，它用无可辩驳的事实指出，谁赞成集合论，谁将变成一个“爱吹牛的理发师”，从而陷入自相矛盾的窘境。数学家们尴尬万分，如果继续承认集合论，那么，号称绝对严密的数学，就会因为罗素悖论这样的怪物而不能自圆其说；如果不承认集合论，那么，许许多多重要的数学发明也就不复存在了。
