问题解决本来是教育心理学研究的一个课题，它探讨的是个体在克服生活、学习和实践中的新矛盾时的复杂的心理活动。近年来，国际数学教育界对数学中的问题解决及其教学越来越重视，因为分析问题和解决问题的能力，已经成为新的人才观的一部分。目前，“问题解决、模型化和应用”已经成为着重培养实际数学能力的全球性的数学教育行动口号。
那么，中学数学中的“问题解决”的涵义究竟是什么？如何理解“问题解决”中所指的“问题”？教“问题解决”的重要意义何在？在“问题解决”的教学中应遵循哪些原则？弄清楚这样一些问题，对于我们的数学教育实践有着重要的指导意义。
(第一节 )问题与问题解决
一、何谓问题
尽管我们在日常生活中都知道什么是问题，但对问题定义的探讨，可为讨论问题解决提供一个良好的开端。
美国学者纽厄尔与西蒙对问题所下的定义是：问题是这样一种情境，个体想做某件事，但不能即刻知道做这件事所需采取的一系列行动。按照纽厄尔与西蒙的观点，每个问题一般都包括以下四种成分：
1.目的。即在某种情境中想要干什么。一种情境可能有许多目的，也可能只有一种目的；目的可能很明确，也可能很模糊。教学情境中的大多数问题是相当明确的，而日常生活中则有许多问题不那么明确。
2.个体已有的知识。这是指个体在问题情境中一开始就已具备的知识技能。已有知识是因人、因问题而异的。
3.障碍。即是指在解决问题的过程中会遇到的种种需解决的因素。同样，障碍是否明确、障碍的多寡，也是因人、因事而不同的。
4.方法。这是指个体可以用来解决问题的程序或步骤。在问题解决过程中，可以使用的方法常常会受到某些方面的限制。
现在我们以上述观点为指导，来探讨数学教学中所谓问题的定义。大多数人可能会认为，所谓“问题”就是一个待解答的问题。但是，我们认为，并不是每个待解答的问题都是“问题”。
例如，考虑下面的问题“现在什么时间？”无疑对许多5岁大小的儿童来说，这的确是一个问题。一方面，因为大多数这个年龄的儿童会对辨认时间感兴趣，而且很少有小孩能看一眼时钟就认出时间。要他们做到这一点是困难的，因为他们的知识和经验还不足以使他们的头脑中产生一个辨认时间的系统程序。另一方面，成年人的知识和经验已经为他提供了一个算法程序，使他一眼就能认出时间。因此，一个问题是否成为个体“真正的”问题，一个主要的因素在于个体所具有的知识，而个体的知识是因人而异的，所以对于一个人可能是问题的东西，对于另一个人可能只不过是一个常规问题，而对于第三个人，却可能已索然无味了。而且，随着个体数学知识的增长，原先是问题的东西，现在可能变成了一个常规问题。这里的常规问题就是指在数学课程中存在这样的一般规则或原理，它们唯一地确定着解决这些问题的程序以及实行这个程序的每一个步骤。因此，“问题”的第一特性应是“障碍性”，即个体对他的最初解答尝试没有结果，他习惯上对问题的反应和处理问题的模式失败。“问题”的第二特性应是“接受性”，一个对个体来说具有“障碍性”的问题，未必就是某个人的问题。比如，“求ii的值”这个问题，对于中学生而言，确实会具有“障碍性”，他们也许会不知如何着手计算这个式子，但这个问题明显超出了一般中学生的知识范围，中学生是不会轻易接受它的。当然，各人对问题的接受有着各自的状况，包括内部的动因和外部的动因，也可能仅仅产生于经受解答问题的欢乐愿望，因此要使一个具有“障碍性”的问题成为个体真正意义上的“问题”，还必须有一个前提，即在某种动因的驱使下，个体接受了问题，并试图攻克它。
综上所述，我们认为，“问题解决中的问题”指的是满足上述两个特性的问题，对“问题”的这一界定同前面的定义基本上是一致的。另外，在很多教育文献上，“问题”被描述为置于目标前面的某种障碍，而我们则强调“障碍”只有在个体被某种动因驱使，接受它、攻克它，并试图达到目标时才构成个体的真正问题。
如果坚持问题必须满足上述两个特性，那么中学数学课本上的有些“习题”或者“常规问题”应该叫做“练习”，而不叫“问题”，它们并不是真正的问题，因为在许多情况下，教师已经在课堂上提供了典范解法，而学生只不过是用这种典范解法解答一系列类似的问题，因而实际上学生只不过在学习一种算法，即一种技术，一种应用于一类“问题”的技术，一种只要避免了无意识的错误就能保证成功的技术。在这些所谓的问题中，很少有几个需要学生较高度的思考。诚然，有些困难的习题，对部分学生而言，实际上也可能是真正的问题，但数学课本上的不少习题是为日常训练技巧而设计的。当然，我们可以叫练习为“问题”，而叫解题过程为“问题解决”的技巧，这是无关紧要的，重要的是我们要认识到做练习和所谓的“问题解决”的一般途径之间的区别，练习技巧和解决“真正的”问题所要达到的学习目的大不相同，训练和练习的练习题适合于学习事实和技巧，而真正的问题则适合学习发现和探究的技巧，适合进行数学的原始发现以及学习如何学。
我们把中学数学课本中的有些“习题”叫做“练习”或者“常规问题”，这并不是说我们提倡把它们从课程中除去，它们服务于一种目的，为着这种目的它们是应当被保留着，它们揭示了问题类别，提供了使用算法的实践和有关的数学过程的训练。因此对于学习数学的人来说，这是需要做的重要工作。然而，教师不应当认为学生在使用仔细推敲过的典范解法或者算法，解决了这些常规问题，便掌握了“问题解决”。
二、何谓问题解决
问题解决是由处理问题时所涉及的种种心理活动和行为活动构成的，一般说来，问题解决办法是由现有观念的新的排列组合构成的。这就是说，它需要利用已习得的概念、命题和规则，并作出一定的组合，从而达到一定的目的。显然，一个人所拥有的知识技能越多，对信息作出更多组合方式的可能性就越大，从而问题解决的机会也就越多。
尽管人们在分析问题解决时，总是关注认知这一方面，但是还应看到，问题解决既涉及思维或认知成分，也涉及情感或动机成分，还涉及行为或行动的成分。例如解答数学问题，是思维或认知成分的一个例子；但该学生是否相信自己有能力解决该问题，这是种情感成分；学生把解答过程写下来，则是种行为成分。后两种成分对问题解决也是至关重要的。如果教师让学生解一道趣味题，可是学生并不感兴趣，认为不值得花时间去解决，他就不会去从事这一活动，因而也就不可能解决这一问题。
综上所述，并结合数学本身的特点，我们认为，中学数学中的问题解决，应是指学生接受所谓“真正的”问题，并试图解决它的过程。在这个过程中，学生不仅需要找到具体的解决办法，而且更需要学会如何搜集信息和资料(找出有关的条件和概念，选择合适的定理寻找适当的隐含物)，如何提出计划(构思解决问题的思路)，如何实施计划(包括使用已经掌握的知识和技能)，以及如何评估计划。因此，问题解决作为个体的一个心智过程，应是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程，借助它学生可以使用原先掌握的知识、技能以及对问题的理解来适应一种不熟悉的状况，并把它们用到解决新的困难中去。基于对问题解决的这一认识，我们认为，问题解决的教学则是指一种活动，一种教师激发学生接受问题的挑战，并在学生寻求问题解答的过程中给予必不可少的指导的活动。这种教学同概念、命题等有关知识的教学不同，它处理的是过程——即心智技能学习的教学。
问题解决与通常人们对解题的理解是大相径庭的。传统的解题活动，注重的是结果、答案，甚至答案的唯一性，而问题解决注重的是解决问题的过程、策略以及思维方法。在教学实践中，有人认为解题就是问题解决，以为大量地讲解题目、大量地布置习题就是重视问题解决的教学，这些观点是明显错误的而且也是有害的。诚然，对于数学习题及解数学习题的重要性是不容置疑的，而且由于各种考试通常都是以数学题的形式出现，数学习题添加了应试的目的，所以我们鼓励学生做适量的习题。然而正是由于上述原因，近年来在中学数学中一度出现了“题海战术”的现象，这种题海战术暴露出来的弊端是有目共睹的。例如，这种题海战术舍本逐末，离开基础知识和基本技能，只注重既定的模式和相应的解法，以非基本的结构代替基本结构，抛去问题本来具有的启迪学生独立思考、创新的功能，因而无助于学生创造性思维能力的培养。这种题海战术使学生深受其害，苦不堪言，学生要耗费很多时间和精力去做一批批的题目，去熟悉一套套的解题模式，而很少受到问题解决的活的灵魂的熏陶，贻误了学生分析问题、解决问题能力的培养和发展。
(第二节 )问题解决的理论模式
从某种意义上讲，教学的最终目的是要使学生能自如解决各种问题。问题解决的过程是如何展开的？怎样才能培养学生问题解决的能力？这历来是教育学家和心理学家探讨的重点，下面我们分别介绍几种较具代表性的问题解决的理论或模式。
一、几种有代表性的问题解决的理论模式
1．问题解决过程的信息加工模式
随着计算机技术的迅速发展，许多人开始尝试用信息加工模式来分析人的问题解决的过程。计算机通过编好的程序可以下棋、诊断病情、为宇宙飞船导航、解答各种复杂的数学问题等，其中许多活动都是与人的问题解决的过程极为相似的。特别是计算机信息加工很像人解决问题过程的思维活动，这启发人们可以利用信息加工理论来探讨问题解决过程，诸如，怎样搜集信息，加工信息，利用信息解决问题。数学活动中，解题思路的寻找过程较好地符合这种观点。
2．问题解决的过程总趋向
20世纪40年代，德国心理学家敦克尔以大学生为对象进行实验，观察他们如何解决问题。根据实验的结果，他认为问题解决过程的总趋向是：先确定问题的范围、指出可能的解决方向，再逐步缩小范围，提出问题解决的一般方法和具体特殊方法，一步步地进行推理，以逼近问题的解决。教学中，学生解答数学习题的部分思维策略较吻合这种观点。
3．智力结构问题解决模式
美国心理学家吉尔福特以他的智力结构模式为依据，提出了这一模式。这一模式认为，记忆储存是一切心理运演活动的基础，问题解决的过程，开始来自环境和身体内部的输入，而进入问题解决的流通系统后，首先经过“注意”这个过滤的过程，选择信息，进入大脑，从而认识到问题的存在和问题的性质；接着到了寻找发现问题解决办法阶段，经过求异运演的过程，设想一个又一个可能的解决办法，与此同时，评价过程始终在起作用。来自记忆储存的许多信息在沿途中受到评价。经过评价，有些想法得到肯定，有些想法可能被否定，在不能解决时，有时要退回原处，甚至是退回到环境中，进行其他事实的调查，有时要求换个角度去考虑问题。在重新认识之后，通过大量创造性思维活动，重新寻找各种可能的解决办法。因此，在获得问题解决办法之前，可能会有一系列重复往返，在解决的过程中，记忆储存不仅为每一项心理运演提供已有的信息，而且始终不断地记录着这个过程中正在出现的各种情况。数学中，学生对数学问题的确定、解决方法的寻找都比较符合这种模式。
二、数学问题解决的过程或阶段
问题解决的理论和模式，是从总体上探讨解决问题的过程及其理论依据，对实际教育工作者来说，常常会遇到如何把握问题解决过程的阶段问题。尽管问题本身是各式各样的，问题解决的过程不完全雷同，但是问题解决作为一个过程，也并不都是“偶发事件”。许多教育学家和心理学家都提过各种问题解决过程的步骤和图式。
例如，美国的施科因特尔德通过实验观察，将一般的数学解题思考过程分为六个步骤：
①读题：了解问题的条件、结论及其清晰程度；
②分析：尝试理解整个问题，并选择一种观点来表达它，考虑可能应用的原理和技巧；
③探索：寻找和探索有关的信息及各种可能的方法，试探一些思路；
④新信息和局部评价：思考和进一步认识前面未注意到的信息和细节，注意到有潜在价值的过程，并对思考的当前状态作宏观估计；
⑤计划-实施：列出解题计划和目的，并按此进行解题；
⑥证实：对所做的实施过程和结果进行检验。
又如，有人对众多心理学家和教育学家提出的问题解决阶段进行了概括，把数学问题解决过程分为以下四个阶段：
①明确问题。在这一阶段，学生在感受到困难或令人困惑的环境后，需要探寻其他的信息，以明确问题之所在。在课堂教学情境中，教师需要了解学生的情况，仔细思考教材的某些事实。搜寻其他的有关资料，有时甚至还要进行实验，才能发现所教问题的性质。人们只有熟悉了问题的特征后，才有可能明确问题的界线，对相关事实和无关事实作出区分，从而用一种便于操纵的方式对现有信息加以排列组合。
②形成各种备择的问题解决办法。在明确了问题及其各个方面之后，人们需要提出各种可以检验的备择的问题解决办法或可能站得住脚的假设。
一般说来，成功的问题解决是受两条原则指导的。第一条是层次结构的原则，就是说需要把复杂的问题分解成一系列小问题，直到每一个小问题都是可以解决的。第二，问题解决是受启发式原则支配的，也就是说需要使用各式各样的捷径、经验估计和其他手段，以便集中搜寻有前途的备择的问题解决办法，从而避免无休止地在黑暗中摸索。
③实施形成的问题解决办法。这一阶段涉及到选择最有前途的观念和解决办法，并加以实施，人们必须选择按适当秩序排列过程和活动的策略。没有效益的排列活动，不仅导致浪费时间和精力，而且结果也很糟，因此人们必须对问题解决过程进行检索，以确定各种行动方针是否一致，是否与问题本身的要求相关，还必须权衡证据的轻重，对哪些事情会导致最成功的解决办法作出评估。
④回顾。当人们完成某一任务时，必须回顾自己做过的事情，展望自己将要做的事情，在把观念付诸实践时，通常要求沿途作出某些改变，必须始终不断地重新形成观念，以使这些观念适合于现实的问题情境。如果问题解决办法失败了，那就需要部分地或全部地重复问题解决的整个过程。
