学生在学习本节内容之前已经学习了函数的图像和性质，理解了函数图像与性质之间的关系，尤其熟悉二次函数，并且已经具有一定的数形结合思想，这为理解函数的零点提供了直观认识，并为判定零点是否存在和求出零点提供了支持；学生有一定的方程知识的基础，熟悉从特殊到一般的归纳方法，这为深入理解函数的零点及方程的根与函数零点的联系提供了依据。但学生对于函数与方程之间的联系缺乏一定的认识，对于综合应用函数图像与性质尚不够熟练，这些都给学生在联系函数与方程、发现函数零点的存在性时造成了一定的难度,又加上这种函数零点存在性的判定方法表述较为抽象难以概括。因此，教学中尽可能提供学生动手实践的机会,利用信息技术工具,让学生从亲身体验中掌握知识与方法，充分利用学生熟悉的二次函数图像和一元二次方程，通过直观感受发现并归纳出函数的零点概念；在函数零点存在性判定方法的教学时，应该为学生创设适当的问题情境，激发学生的思维，引导学生通过观察、计算、作图，思考，理解问题的本质。
三、教学目标
1知识技能：理解函数（结合已学的函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系，掌握零点存在的判定条件。
2过程与方法：通过学生自主探究求方程根的过程，渗透函数和方程思想。
3情感、态度、价值观：体验探究的乐趣,认识到万物的联系与转化,学会用辩证与联系的观点看问题。培养分析、解决和应用问题的能力。
四、教学重点、难点
重点：函数零点与方程的根之间的联系，及连续函数在某区间上存在零点的判定方法。
难点：理解函数零点与方程的根之间的联系，探究发现函数存在零点的判定方法。
五、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用启发式、探究式教学方法。
六、教学过程
1提出问题
问题一：求下列方程的根。
（1）2x-1=0（2）x2-2x-3=0
（3）x2-2x+1=0（4）x2-2x+3=0
问题二：方程lnx+2x-6=0的根怎么求？
设计意图：从学生熟悉的方程(一元一次、一元二次方程)出发,再提出稍难一点的方程,造成认知冲突，可激发学生的学习欲望。
2初步探究
问题三：作出下列函数的图像。
（1）y=2x-1（2）y=x2-2x-3
（3）y=x2-2x+1（4）y=x2-2x+3
问题四：各图像与以上方程的根分别有什么联系？
设计意图：
与问题1联系起来,结合一次、二次函数的图像,判断方程根的存在性及根的个数,为理解函数的零点,了解函数零点与方程根的联系作准备；且充分发挥学生主观能动性。
3形成概念
归纳：方程f(x)=0的实数根就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。
定义：对于函数y=f(x),我们把f(x)=0的实数x叫函数y=f(x)的零点(zeropoint)。
引出课题：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点。
设计意图：
让学生从熟悉环境中发现新知识,并与原有知识形成联系；利用方程与函数的联系,培养学生观察、归纳的能力,并渗透数形结合的数学思想。
练习1：求下列函数的零点。
(1)f(x)=2x+7
(2)g(x)=-x2+6x-8
(3)h(x)=lgx
练习2：利用函数图像判断下列函数有没有零点,有几个零点,并确定函数零点所在的大致区间。
（1）f(x)=-x3-3x+5（2）f(x)=2xln(x-2)-3
（3）f(x)=ex-1+4x-4（4）f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x
设计意图
培养学生对知识的转化应用能力，并给学生实践动手的机会,培养信息技术——《几何画板》的操作能力,且体会计算机在数学计算中的优越性,激发学生不断掌握新技术、新知识的愿望。
4组织探究
情境：请观察下图，这是气象局测得某地特殊一天的一张气温变化模拟函数图（即一个连续不间断的函数图像），由于图像中有一段被墨水污染了，现在有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他吗？
问题五：
（1）它有无可能出现0摄氏度？为什么？
（2）它可能出现几次0摄氏度？
设计意图：
看似简单的一个问题，却从直观上能揭示问题的本质，在学生尚缺乏高等数学知识的前提下，为学生充分理解这个抽象的判定方法提供了有利条件。这个问题以学生的经验为基础，并带有一定的趣味性和开放性，留给学生充分想象的空间，试图催生学生的深层思维，通过学生自身的思维碰撞揭示结论，对突破教材的难点有重要的意义。
归纳：若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根。
提问1：不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。
在《几何画板》下结合函数y=2x+2的图像说明。
提问2：若f(a)f(b)＞0，函数y=f(x)在区间在［a,b］上一定没有零点吗？
提问3：若f(a)f(b)＜0，函数y=f(x)在区间在［a,b］上只有一个零点吗？可能有几个？
提问4：f(a)f(b)＜0时，增加什么条件可确定函数y=f(x)在区间在［a,b］上只有一个零点？
提问5：函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点f(a)·f(b)＜0对吗？
5尝试练习
已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表：
x123456
f(x)123562145-7821157-5376-12649
函数在区间［1,6］上的零点至少有个。
设计意图：巩固零点存在性定理
6例题研究
例1已知函数f(x)=lnx+2x-6
(1)f(x)是否存在零点?若有零点则有几个？
(2)指出函数零点所在的大致区间。
（原题为：求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数）
设计意图：
例1改为问题序列，以追问形式出现，问题由浅入深形成序列，即是对这节课知识的应用，也是对下堂课二分法的一个辅垫，同时考虑了学生的实际情况，留给学生解决问题的不同思考途径。这样抓住教学的关键分层来预设问题，有利于对学生思维深刻性的培养。
巩固练习：指出下列函数零点所在的大致区间。
（1）f(x)=-x3-3x+5。
（2）g(x)=ex-1+4x-4。
7收获体会
（1）函数的零点与方程的根的关系。
（2）判断连续不间断的函数零点存在性的方法。
（3）函数与方程转化思想、数形结合的思想。
8布置作业
（1）课本P102习题31：T1，T2
（2）发现与探究：利用计算机探究f(x)=lnx+ax-6(a∈R)的零点个数。
《单调性与最大（小）值（一）》教学设计
一、教材分析
“函数的单调性”是人教A版高中《数学》必修1第一章第三节的内容，是函数研究的重要内容之一，是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的第一个重要性质，它揭示了函数自变量与函数值之间的数量变化规律，反映了函数图像的增、减性，体现了数形结合的数学思想，是学生后面学习指数函数、对数函数、三角函数、不等式等重要知识的铺垫，函数单调性是培养高一学生逻辑推理能力的重要素材，对提高学生的数学能力有着重要影响，同时对培养学生的探索精神和创新意识有着重要意义。
二、教学目标
根据课程标准的要求，本节教材的特点和高一学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：
1知识目标
（1）理解函数单调性的概念，把握函数单调性的实质；
（2）掌握判断和证明一些简单函数单调性的方法和步骤。
2能力目标
（1）培养学生由特殊到一般，由直观到抽象的抽象概括能力；
（2）通过函数单调性的证明，培养学生的逻辑推理能力；
（3）通过函数单调性的应用，培养学生的发散思维和创新精神。
3情感目标
（1）在揭示函数单调性实质的同时渗透辩证唯物主义思想；
（2）通过教师与学生、学生与学生的交流，让学生体会交流的重要性，培养团队精神，建设融洽的、激励式的课堂文化。
三、教学重点和难点
对高一学生来说，由于初中平面几何的学习使其具备了一定的推理能力，但初中代数主要是具体运算，因而代数推理能力较弱，许多学生甚至弄不清楚代数形式证明的意义和必要性，因此本节课的重点确定为：
1教学重点
掌握函数单调性的概念，会判断和证明一些简单函数的单调性。
2教学难点
领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念。
而领会单调性实质的关键是抓住实例，结合直观图形，充分发挥数形结合思想的功能，从感性知识提高到理性认识。
四、教学过程
1新课引入
问题一：你们知道老师的身高是多少吗？
（教师展示自己部分年龄段的直方图如图1）
我们以老师的年龄为自变量，老师的身高为函数值建立一个函数关系，能否得到以下结论——身高随年龄增加而增高？
设计意图：学生有的说对，有的说不对，教师不急于揭示答案，而是把学习的目标引向了函数关系中两个变量变化大小的相互依赖关系上，学生所熟悉的生活实例既是激发学生学习兴趣的手段，也是学生理解单调性概念的现实背景。
2概念构建
让学生观察函数y=x2(x≥0)图像（如图2）的x值与y值的动态变化效果，得出如下结论：
（1）函数的图像向坐标系右上方延伸；
（2）随x取值的增大，y的值越来越大。
师生总结：这种随x的增大、y也越来越大的函数我们称为增函数。类似地，在学生观察了函数y=x2(x≤0)图像（如图3）的动态效果后，得出这种随x的增大，y越来越小的函数我们称为减函数。
设计意图：通过一个生活背景的实例和对函数y=x2图像的直观观察，产生了增、减函数的生活语言的描述性定义。尽管这种定义不严格，但学生初步理解到的是两个变量之间具有依赖性的增减关系，这是函数单调性中最为基本和初始的思想，是根本性的要素，也是从生活中原初思想迈向数学概念的关键性的第一步。
问题二：那么y=x2究意是增函数还是减函数呢？
学生很快指出：函数y=x2在区间（-∞，0）上为单调递减函数，在［0，+∞）上为单调递增函数，即函数单调性与自变量的范围有关，函数不一定在定义域内是单调函数，但在定义域的某个子集上可以是单调函数。
教师再次定义：如果函数f(x)在某个区间上满足，随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数，该区间叫做函数f(x)的增区间；如果函数f(x)在某个区间上满足，随自变量x的增大，y也越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数，该区间叫做函数f(x)的减区间。
教师回顾关于自己身高的话题，有学生指出老师的身高不可能随年龄的增长而不断长下去，因为到一定年龄以后，人的身高不会再增长，而且到一定年龄以后身高还会变矮。因此，老师身高与年龄的关系严格地说应该是：老师在某年龄段身高随年龄增长而增高。
设计意图：让学生对单调性的理解从图像的直观体验向数学化的严格性迈进了一步。
问题三：如何用代数方法证明函数y=x2在区间［0，+∞)上为单调递增函数？
学生尝试证明问题三，可能会用列举等方法，但还是不能证明。
教师进一步梳理思路：
（1）由图像知函数y=x2在区间［0，+∞)上确实是增函数；
（2）因为不可能把区间［0，+∞)上“所有的”实数都一一列举验证，所以我们要考虑用字母符号表述；
（3）所选的字母必须能代表（或表示）区间内的所有实数。
为了启发学生获得证明思路，突破思维瓶颈，设计了下面的问题。
问题四：我们国家召开全国人民代表大会的时候，是不是全国老百姓都去北京开会呢？
（学生：通过人大代表）
师生共同活动：证明问题三。
证明关键在于我们选取了x1、x2是［0，+∞)上的“任意”两个实数，这里“任意”二字使它们有资格“代表”［0，+∞)上的所有实数。
教师再次给出增函数和减函数的定义：对于给定区间上的函数y=f(x)，如果对属于这个区间上的自变量的任两个值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上为增函数；对于给定区间上的函数y=f(x)，如果对属于这个区间上的自变量的任两个值x1、x2，当x1＜x2，时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在这个区间上为减函数，如果一个函数在定义域的某个区间内为增函数或减函数，则我们称这个函数在该区间上为单调函数。
（教师借用“人大代表行使权力”的事例让学生理解了“代表全部”的含义，虽然不很贴切：因为人大代表一旦选定，具有确定性，而且“全体中国人”是个有限集合；函数中的x却始终是通过任意性来代表全部的，而且区间内的点是个无限集合，根本的原因还在于这里有一个学生理解上“有限”到“无限”的过渡，但这个问题设计的意义在于让学生感受到，通过用任意的点x1和x2的大小关系来判断f(x1)和f(x2)的大小关系，可以得到函数单调性的性质，这既让学生理解了教师最终给出的严格的单调性定义的含义，也让学生体验到了如何用局部的点的任意性推演到函数的整体单调的性质这一数学思想方法，做到了“知其然也知其所以然”）
3概念应用
例1图4所示的是定义在闭区间［-5，5］上的函数f（x）的图像，根据图像说出f（x）的单调区间，并回答在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？
解：略
例2证明函数f(x)=3x+2在（-∞,+∞）上是增函数
师生共同证明，并归纳证明函数单调性的一般步骤。
练习：判断函数f(x)=x1+x在（-1，+∞）上的单调性，并加以证明。
（请一位学生到黑板前板演，其余学生自己动手练习，教师可在下面查看学生练习情况。把一些比较典型的问题放到多媒体上展示，从正反两方面加深学生对概念的理解以及所学方法的运用，完成证明后，教师把函数的图像在多媒体上演示，以加深学生对本题的理解）
设计意图：通过练习，巩固所学，同时为思考题建立函数思想，利用函数单调性解决思考题作了铺垫。
4归纳小结
（1）函数单调性是对定义域内某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。
（2）判断函数单调性的方法：利用图像——在单调区间上增函数的图像是上升的，在单调区间上减函数的图像是下降的；利用定义判断函数单调性的一般步骤，任取、作差、变形、判断符号。
设计意图：通过师生合作总结，体现“教师为主导，学生为主体”的教学思想，同时使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识，以利于课后复习。
5布置作业
（1）必做题：P45习题T1、T2、T3。
（2）思考题：设a、b、c为三角形的三边，求证a+b1+a+b＞c1+c。
五、设计理念
