19世纪后期，由于科学技术的领域发生了一系列革命性的重大事件，促使现代数学飞速发展，取得了一系列重大成果。较之近代数学，现代数学更加抽象、复杂，应用范围愈来愈广，尤其是与计算机紧密结合，产生了一系列新的分支。由于现代数学内容广泛，体系庞杂，本章主要就现代数学的特点及发展、现代数学的主要新分支等内容作了简要的概括和介绍。
19世纪以来，纯粹数学出现了集合论、非欧几何、拓扑学、泛函分析、抽象代数、数理逻辑等一系列新的分支学科；应用数学增加了优选法、规划论、对策论、可靠性理论等运筹类学科；19世纪末到20世纪初集合论悖论的发现，导致了数学基础问题研究的展开；伴随电子计算机的出现，计算数学从应用数学中独立出来；到20世纪60年代，又出现了模糊数学、突变理论和非标准分等新的数学理论。
现代数学的主要特征
1.纯粹数学更加抽象和深刻，分支增多且相互渗透
纯粹数学主要研究数学自身的规律、内在联系和数学理论的公理化、系统化和形式化等问题。主要分支有几何、代数和分析。其特点是具有高度的抽象性。19世纪以来，人们对纯粹数学进行进一步的抽象，形成了现代纯粹数学的三个主要分支：拓扑学、抽象代数和泛函分析。一方面，它们相互独立，有着各自的领域；另一方面，它们又相互渗透，互相借鉴，交错发展，产生了许多边缘学科。
2.数学的应用更加广泛和深入
20世纪以来，数学的应用发展很快，不仅概率论、运筹学等应用数学有广泛的市场，而且许多极其抽象的数学理论也找到了它的用武之地。数学向其他科学领域渗透从而产生一些边缘学科，是数学的应用向更高阶段发展的标志。生物数学、经济数学等边缘学科，已不再是一些数值解法的简单应用，而是应用数学工具探求有关学科的某些规律。
3.以集合论为基础，以结构为研究对象，重视数学基础研究，探索数学哲学问题
20世纪初，集合论的思想方法运用到纯数学的各个部门，而且广泛应用到其他自然科学领域，特别是物理学之中。奉行结构主义观点的法国布尔巴基学派把现代数学定义为研究结沟的学科，犹如古代数学主要研究常量，近代数学主要研究变量一样。他们认为，全部数学基于三种结构，即代数结构、序结构和拓扑结陶。同时，以1902年的“罗素悖论”为切入点，不同的数学家接受了数学历史上的不同数学思想和数学哲学观点，并由此产生了研究数学基础的不同学派，各自提出了不同的数学观点和改造数学的方案。
4.数学和计算机结下了不解之缘
电子计算机的发展为数学的运用和发展开拓了新的场所。首
先，电子计算机可以承担一些繁杂的计算任务，把人从繁琐的计算任务中解脱出来，数学在国民经济、科学技术各领域发挥更重大的作用。其次，电子计算机成了数研究的有力工具，例如美国数学家阿佩尔（K。Appel）与哈肯（H。Haken。1929～）在美国伊利斯大学的两台不同计算机上用了1200多小时，终于了完成“四色问题”的证明。最后，电子计算机的发展，使计算数学走向成熟，并从应用数学中独立出来。
纯粹数学的若干进展
1.拓扑学
拓扑学形成于19世纪，起初叫形势分析学。1851年，德国数学家黎曼庄研究复变函数时认为，要研究函数和积分。就必须研究形势分析学（即图形的性质、纽结与嵌入等方面的问题），拓扑学的系统研究从此开始。现在已发展成为组合拓扑、分析拓扑和点集拓扑在内的现代数学理论，同时在泛函分析、群论、微分方黎曼程等数学分支中有广泛的应用。拓扑学用代数的方法研究几何图形在拓扑变换下保持不变的性质，即几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小或任意变形下仍然保留的性质，而且在这种变化过程中原来不在一起的点不能粘在一起，原来在一起的点也不能断开而产生新的点。也就是说，在原来图形上的点与变换了的图形上的点之间存在着一一对应关系，并且邻近的点仍为邻近的点。拓扑变换就是指几何图形在空间中一种连续的变形，同时变形中还要满足一定的条件。几何图形在拓扑变换下保持不变的性质称为拓扑性质。
（2）抽象代数
现代抽象代数开端的标志是德国女数学家诺特（E。Noether，
1882～1935年）在1921年发表的《环中的理想论》。抽象代数也称为近世代数，包括群论、环论和域论等分支。
群论是最早提出的抽象代数分支，产生于人们对五次以上代数方程求解问题的讨论过程中。群可以看作是一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于通常加法或乘法那样的关系。它要满足以下条件：①具有封闭性。集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合。②满足结合律。对于集合中的任意三个元素a，b，c满足结合律（a·b）·c=a·（b·c）。③存在单位元素e，使对该集合中任意元素a，有e·aa·e=a。④存在逆元素。对于集合中任意元素a。存在逆元素a-1，使得a·a-l=a-1·d=e。群论是建立在群概念的基础上的数学分支。群论的主题之一是寻找群的生成子，使得该群中的每一个元素都有可以表示这些生成子及其逆的方幂的乘积。此外，还研究如何将复杂的群分解单群，以及一切单群的种类，从而弄清所有群的结构问题。把群论的基本原理同运动的具体对称性阳结合，就成为研究物质微粒的一种有力工具。现在，群论已有效地应用于物理学、化学、结晶学等到学科中。
环论是建立在环概念基础上数学分支。环也可以看成一类对象的组合，不过这些对象之间都存在着两种运算关系。域论是建立在域概念基础上的数学分支。域有时叫做体，它是个特殊的环。
除了这几个概念之外，还有模、代数、格以及范代数、同调代数、范畴等。
（3）泛函分析
泛函分析起源于对变分法的研究和积分方程的研究，同时得益于非欧几何对空间的推广。这时，数学中“空间”是指由某种对象所构成的集合，维是指构成这种空间基本元素的个数。无限空间是N维空间一种推广。关于泛函的抽象理论是在19世纪初首先由意大利数学家伏尔泰（V。Volterra，1860～1940年）和法国数学家阿达玛（J。Hadamard，1865～1963年）在研究中开创的。“泛函”一词由阿达玛在1903年首先采用，伏尔泰称之为线函数，即曲线的函数。
泛函数概念的形成是泛函分析的关键。数学家冯·诺依曼通过对希尔伯特空间上对称算子的研究，确立了算子理论。
研究无限维线性空间的泛函分析和算子理论，就产生了一门新的分析数学——泛函分析。其特点是它不但把古典分析的基本概念一般化了，而且把这些概念和方法几何化了。
泛函分析是研究现代物理学的一个有力工具。连续介质力学、量子力学等部属于无限自由度系统，对于这些系统只能用无限的空间的几何学和分析学研究，而这正是泛函分析的基本内容。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学以及工程技术上也有广泛的应用。
