QA=（P1×P2×P3×…×PN）+1。
这个新的数QA或者是101质数或者不是质数。如果它是质数，那么我们已经成功地得到一个新的更大的质数，于是原来的质数表不是完全的。另一方面，如果QA不是质数，那么它必定被任一质数整除。这个质数不可能是已知质数中的一个，因为用任何已知质数去除QA将不可避免会导致余数1。于是必定存在某个新的质数，我们将它记为PN+1。
现在我们面临这样的局面：或者QA是一个新的质数，或者我们有另外一个新的质数PN+1。无论哪种方式，我们都已经扩大了原来的质数表。在表中加入新的质数（PN+1或QA）以后，我们可以重复这个过程，又得到某个新的数QB。或者这个新的数将是另一个新的质数，或者必定存在某个另外的不属于我们的已知质数表中的新的质数PN+2。这个论证的结局是：无论我们的质数表多么长，总可以找到新的质数。于是，质数表是没有终端的，是无穷的。
但是，一个肯定比无穷量要少的量，怎么会也是无穷的呢？德国数学家大卫·希尔伯特（DavidHilbert）曾经说过：“无穷!还没有别的问题如此深地打动人们的心灵；也没有别的想法如此有效地激发人的智慧，更没有别的概念比无穷这个概念更需要澄清。”为了分析无穷这个似非而是的矛盾说法，必须明确定义无穷的意义。一直和希尔伯特并肩工作的格奥尔格·康托尔（GeorgCantor）将没有终端的自然数表（1，2，3，4，…）的大小定义为无穷。由此，任何大小与此可比的量都同样是无穷。
根据这个定义，直觉上似乎要少一些的偶数的个数也是无穷的。
容易证明，102自然数的数量和偶数的数量是可比的，因为我们可以将每一个自然数与对应的偶数配对：
1234567……2468101214…如果自然数表中的每一个数可以与偶数表中的一个数相匹配，那么这两张表的大小一定是相同的。这种比较的方法会引出某些惊人的结论，包括存在无穷多个质数这个事实。虽然康托尔是以形式化的方法处理无穷的第一个人，但是他的这个激进的定义从一开始就遭到来自数学界的严厉批评。到他生命的后期，这种攻击越来越成为人身攻击，这导致康托尔精神失常，得了严重的抑郁症。在他死后，他的思想终于作为唯一的关于无穷的恰当、准确和有效的定义被广泛地接受。希尔伯特赞颂道：
“没有人会把我们赶离康托尔为我们创造的这个天堂。”
希尔伯特接着设计了无穷的另一个例子，称为“希尔伯特的旅馆”，这个例子清楚地说明了无穷的奇怪性质。这个假想的旅馆有个讨人喜欢的特性，即它有无穷多个房间。有一天，来了个新客，他失望地知道，尽管旅馆的房间是无穷多的，但是房间都有人住着。
旅馆的接待员希尔伯特想了一下，然后向这位新来的客人保证他会找到一个空房。他请每一位住客都搬到隔壁的房间去住，结果1号房间的客人搬到2号房间，2号房间的客人搬到3号房间，依此类推。
原来住在旅馆中的每一位客人仍然有一个房间，而新来的客人则可以住进空出来的1号房间。103这表明无穷加上1等于无穷。
第二天晚上，希尔伯特必须对付的则是一个更大的问题。旅馆仍然是客满的，而这时无穷多辆马车载着无穷多个新客人来到了。
希尔伯特依然十分镇定，搓着他的双手，心里想着旅馆又将有无穷多的进账了。他请每一位住客搬到房号为他们现在住着的房间号两倍的房间中去。结果1号房间的客人搬到了2号房间，2号房间的客人搬到了4号房间，依此类推。原来住在旅馆中的每一位客人仍然有一个房间，而无穷多个房间，即奇数号的房间都空出来让新来的客人居住。这表明2倍的无穷仍然是无穷。
希尔伯特的旅馆似乎暗示所有的无穷都是彼此一样大的，因为各种各样的无穷似乎可以被挤进同样的无穷旅馆——全体偶数的无穷可以与全体自然数的无穷相匹配和对照，反过来也是如此。然而，某些无穷确实要大于别的无穷。例如，将每一个有理数与每一个无理数配对起来的企图最终会归于失败，事实上可以证明无理数组成的无穷集大于有理数组成的无穷集。数学家们已经不得不建立一整套的术语来处理各种不同等级的无穷，而设想这些概念则是目前最热门的课题之一。
虽然质数的无穷性使早期证明费马大定理的希望破灭，但质数的这种性质的确在诸如谍报活动和昆虫进化等别的领域具有比较积极的意义。在回到寻求费马大定理的证明之前，稍微研究一下质数的正常使用和滥用是值得的。
质数理论是纯粹数学中已经在现实世界中找到直接应用的少数领域之一，它在密码学中有直接应用。密码学涉及将需要保密的信息打乱，104使得只有接收者才能整理出它们，而别的任何可能截获它们的人都无法做到这一点。这种打乱的过程需要使用密钥，而整理这些信息按惯例只需要接收者反过来使用密钥就行了。在这个程序中，密钥是保密环节中最薄弱的一环。首先，接收者和发送者必须约定密钥的详细内容，而这种信息的交流是一个有泄密风险的过程。如果敌方能截获正在交流的密钥，那么他们就能译出此后所有的信息。其次，为了保持安全性，密钥必须定期更改，而每一次更改时，都有新的密钥被截获的危险。
密钥的问题围绕着下面的事实展开：它的使用，一次是打乱信息，另一次是反过来整理出信息，而整理信息几乎与打乱信息同样容易。然而，经验告诉我们：在许多情况中整理要比打乱困难得多——打碎一个鸡蛋是相对容易的，而重新拼好它则困难得多。
在20世纪70年代，惠特菲尔德·迪菲（WhitfieldDiffie）和马丁·海尔曼（MartinHellman）提出了这样的思想：寻找一种按一个方向很容易进行，而按相反方向进行则不可思议地困难的数学程序。这种程序将会提供十分完美的密钥。举例来说，我可以有自己用的、由两部分组成的密钥，并且在公用指南中公开它的用于打乱信息的那部分。
于是，任何人都可以向我发送打乱过的信息，但是只有我知道密钥中用于整理信息的那一半。虽然人人都了解密钥中关于打乱信息的那部分，但是它和密钥中用来整理信息的那部分毫无联系。
在1977年，麻省理工学院一群数学家和计算机专家罗纳德·里维斯特（RonaldRivest）、艾迪·沙米（AdiShamir）和伦纳德·阿德里曼（LeonardAdleman）认识到质数可能是易打乱/难整理过程的理想的基础。105为了制成我自己的私人密钥，我会取两个大质数，每一个多达80个数字，然后将它们乘起来得到一个大得多的非质数。为了打乱信息所需要的一切，就是知道这个大的非质数，然而要整理信息则需要知道已经被乘在一起的原来的两个质数，它们称为质因数。现在我可以公开大的非质数，也即密钥中打乱信息的那一半，而自己保存那两个质因数，即密钥中整理信息的那一半。重要的是，即使人人都知道这个大的非质数，他们要判断出那两个质因数却仍然非常困难。
举一个简单的例子，我可以交出非质数589，这可能会使每个人都能代我打乱信息。然而，我将保守589的两个质因数的秘密，结果只有我能够整理信息。如果别的人能判断出这两个质因数，那么他们也能整理我的信息，但是即使是对这个不大的数，两个质因数是什么也不是显而易见的。在589这个情形中，在台式电脑上只要花几分钟就可算出两个质因数实际上是31和19（31×19=589），所以我的密钥的秘密不会持久。
然而，实际上我公布的非质数将会有100位以上的数字，这就使找出它的质因数的任务变得几乎是不可能的。即使用世界上最快的计算机来将这个巨大的非质数（打乱信息的密钥）分解成它的两个质因数（整理信息的密钥），也要花几年时间才能得到答案。于是，为挫败外国间谍，我仅仅需要每年一次更改我的密钥。106每年一次我宣布我的巨大的非质数，任何人要想尝试整理我的信息，就必须从头开始设法算出这两个质因数。
除了在谍报活动中发现应用外，质数也出现在自然界中。在昆虫中十七年蝉的生命周期是最长的。它们独有的生命周期开始于地下，蝉蛹在地下耐心地吮吸树根中的汁水。然后，经过17年的等待，成年的蝉钻出地面，无数的蝉密集在一起，一时间掩盖了一切景色。在几个星期中，它们交配，产卵，然后死去。
使生物学家困惑的问题是：“为什么这种蝉的生命周期如此之长？”以及“生命周期的年数是质数这一点有无特殊的意义？”另一种昆虫十三年蝉，每隔13年密集一次，也暗示生命周期的年数为质数也许有着某种进化论意义上的优势。
有一种理论假设蝉有一种生命周期也较长的寄生物，蝉要设法避开这种寄生物。如果这种寄生物的生命周期比方说是2年，那么蝉就要避开能被2整除的生命周期，否则寄生物和蝉就会定期相遇。类似地，如果寄生物的生命周期是3年，那么蝉要避开能被3整除的生命周期，否则寄生物和蝉又会定期相遇。所以最终为了避免遇到它的寄生物，蝉的最佳策略是使它的生命周期的年数延长为一个质数。由于没有数能整除17，十七年蝉将很难得遇上它的寄生物。如果寄生物的生命周期为2年，那么它们每隔34年才遇上一次；倘若寄生物的生命周期更长一些，比方说16年，那么它们每隔272（16×17）年才遇上一次。
为了回击，寄生物只有选择两种生命周期可以增加相遇的频率——1071年期的生命周期以及与蝉同样的17年期的生命周期。然而，寄生物不可能活着接连重新出现达17年之久，因为在前16次出现时没有蝉供它们寄生。另一方面，为了达到为期17年的生命周期，一代代的寄生物在16年的生命周期中首先必须得到进化，这意味着在进化的某个阶段，寄生物和蝉会有272年之久不相遇!无论哪一种情形，蝉的漫长的、年数为质数的生命周期都保护了它。
这或许解释了为什么这种假设的寄生物从未被发现!在为了跟上蝉而进行的赛跑中，寄生物很可能不断延长它的生命周期直至到达16年这个难关。然后它将有272年的时间遇不到蝉，而在此之前，由于无法与蝉相遇它已被赶上了绝路。剩下的是生命周期为17年的蝉，其实它已不再需要这么长的生命周期了，因为它的寄生物已不复存在。
勒布朗先生
到19世纪初，费马大定理已经成为数论中最着名的问题。自从欧拉的突破性工作以来，还没有进一步的进展，但是一个年轻的法国女性的激动人心的声明又使寻找费马的遗失的证明这件事再度活跃起来。索菲·热尔曼（SophieGermain）生活在一个充满偏见和大男子主义的时代，为了从事她的研究工作，她不得不采用假身份，在恶劣的条件中进行研究，在与学术界隔绝的情形下工作。
多少世纪以来，妇女研究数学一直未受鼓励，但是尽管有这种歧视，108还是有几位女性数学家与传统社会抗争并在数学编年史上不可磨灭地刻上了她们的名字。已知的对这门学科起过推动作用的第一位女性是公元前6世纪的西诺，109她开始是毕达哥拉斯的一名学生，接着成为他的最杰出的信徒之一，最终与他结婚。毕达哥拉斯被称为“主张男女平等的哲学家”，因为他积极地鼓励女性学者，西诺只是毕达哥拉斯兄弟会的28名姐妹中的一个。
在后来的几个世纪中，苏格拉底和柏拉图苏格拉底（公元前469-前399），古希腊哲学家。柏拉图（公元前427-前347），古希腊哲学家，苏格拉底的学生。——译者等人也继续邀请女性参加他们的学派，但直到公元4世纪才有一位女性数学家建立了自己有影响的学派。希帕蒂娅（Hypatia）是亚历山大大学一位数学教授的女儿，她的演讲极受欢迎，并且还是最优秀的解题者，她因此而出名。一些数学家在对某个问题久攻不下时就会写信给她寻求解法，希帕蒂娅很少使她的崇拜者失望。她着迷于数学和逻辑证明，当被问及为什么她一直不结婚时，她回答说她已和真理订了婚。她对理性主义事业的忠诚最终使她突然倒下，当时亚历山大的教长西里尔（Cyril）开始压制哲学家、科学家和数学家，称他们为持异端者。历史学家爱德华·吉本（EdwardGibbon）对西里尔阴谋反对希帕蒂娅并煽动民众反对她后发生的一幕提供了逼真的描绘：
神圣的封斋期日子里，致命的一天，希帕蒂娅从她的马车里被拉了出来，剥光了衣服，拖到教堂，被一群野蛮人和毫无仁慈之心的狂热者惨无人道地宰割了；她的肉从她的骨头上被锋利的牡蛎壳刮了下来，她颤抖着的断臂残肢被扔进火中。
希帕蒂娅死后不久，数学进入了停滞时期。直到文艺复兴时期才有另一位女性作为数学家而闻名于世。玛丽亚·阿涅西（MariaAgnesi）于1718年出生在米兰，110与希帕蒂娅一样是数学家的女儿。她被公认为欧洲最优秀的数学家之一，尤其以她关于曲线的切线的论文而着名。在意大利语中，曲线称为versiera，出自拉丁文vertere，意为“转弯”，但是它也是avversiera（意为“魔王的妻子”）一词的缩写。阿涅西研究过的一条曲线（uersieraAgnesi）翻译成英语时被误译为“阿涅西的女巫”，经过一段时间后，人们也就以同样的头衔称呼女数学家本人。
虽然全欧洲的数学家们公认阿涅西的才能，但许多科学机构，特别是法国科学院，却拒绝给她研究职位。研究机构对妇女的歧视一直持续到20世纪，当时，被爱因斯坦誉为“自妇女开始受到高等教育以来最杰出的、富有创造性的数学天才”的埃米·诺特（EmmyNoether）被拒绝授予她格丁根大学的授课资格。大部分的教授反对道：“怎么能允许一个女人成为讲师呢？如果她成了讲师，以后就会成为教授，成为大学评议会的成员……当我们的士兵回到大学时，发现他们将在一个女人的脚下学习，他们会怎么想呢？”她的朋友和导师大卫·希尔伯特回答道：“我的先生们，我不认为候选人的性别是反对她成为讲师的理由，评议会毕竟不是澡堂。”
