模型是对实际事物的一种简化，实物模型与数学模型都是如此。如果不作简化而想把现实的问题用数学式子表达清楚，几乎是不可能的。例如在物理学上讲火车的运动过程，认为火车是匀速行驶的，即它的速度保持不变，从而计算路程与时间的关系。但实际上火车不可能始终匀速前进，火车的起动、进站都要有速度上的变化。在认为火车是匀速前进的前提下，我们得到了一个式子：路程（Ｓ）＝速度（Ｖ）×时间（Ｔ）。
如果我们考虑了火车起动后速度是一点一点加上去的这一因素，而且认为这个加速度（ａ）是不变的，那么我们可以细化上１２面的数学公式，得到Ｓ＝ｖ０ｔ＋２ａｔ，其中ｖ０代表初速度，如果火车开始是停止的，认为ｖ０等于０，ｔ是时间，ａ是加速度。
可见上面二个数学模型虽然都反映了火车行驶这一实际生活中的问题，却有较大的差别。第一个模型粗糙一些，第二个模型精致一些。这就是对实际问题简化程度不同的结果。
那么是不是考虑得越细致，模型就越好呢？也不一定！虽然考虑得细致会更接近于实际情况，但是模型的复杂程度也会随之大大提高，给模型的使用带来很大困难，可能反而变得不适用了。所以一个好的数学模型，既要准确地反映实际情况，又不能太复杂。
建立一个适当的数学模型会给我们的日常工作，生产等各方面带来极大的方便，而要建立一个好的数学模型，除了要具备扎实的数学基础外，还要对所研究的问题有比较深入的了解，是很不容易的。
高效安排的运筹学
春节包饺子是中国民间习俗。包饺子的程序很多：洗菜切菜拌馅（约２０分钟），和面醒面（即将面团盖上湿布放一会儿）（约２０分钟），包饺子（约３０分钟），烧开水（约１０分钟），煮饺子（约１０分钟）。如果按照上述顺序，共需９０分钟。有经验的人不这样干，他先和面，在醒面的同时去做馅（节约１０分钟），然后在包饺子的当中烧开水（节约１０分钟），这样只需７０分钟就可以吃到饺子了。将做一件事情的几个过程合理安排，求得最佳效果，叫“运筹”，出自成语“运筹帷幄”，源于古代作战时策划战略，部署兵力。
朴素的运筹思想可以追溯到古代，中国古代齐王与田忌赛马的故事就体现了运筹思想。
“运筹学”作为新兴的应用科学，最早出现于英国。１９３８年在抵抗德国飞机的轰炸中首次使用了雷达，但是雷达与防空战斗机之间并未形成有效的防空体系，于是英国空军邀请数学家帮忙，用数学方法研究雷达警报和控制系统、防空战斗机的配合布置，并对某些未来战斗结果进行预测，立刻大见成效。１９４２年，美国因为运输船频遭德国潜艇袭击，也请来了数学家，数学家根据潜艇都是单独行动的特点，建议扩大运输船编队、适当配备护航舰队。这一招果然见效，大大减少了运输船的损失。战后工业生产的综合化和专业化程度加强，在管理上提出许多深层问题，运筹学开始渗入工业部门，借助建立数学模型，寻求综合性最优化安排，为系统决策和定量分析提供数量根据，以达到最佳效果。计算机技术为运筹学创造了快速发展的条件，利用计算机进行模拟运行，是广泛采用的数字仿真技术。运筹学的产生和发展充分反映了现代科技发展中各学科交叉渗透和新学科不断出现的趋势。
模糊数学
人类认识事物，开始时总是模糊的，逐渐才达到清晰，比如对数量的认识，原始社会人类并不认识“数”，通过比较知道有多少之分。而多又有许多、很多、非常多等模糊不清的概念。后来有了数，才能清晰地区分数量，准确地进行计算。数学上一直追求“精确”，它的答案应该是“是”或者“不是”，二者只居其一。然而世界是复杂的，人们认识事物也不是任何事都需要准确无误，也不一定都能够准确无误；生活中经常有“很年轻”、“大部分”、“胖子”等等不能明确表示状态范围的模糊概念。有意思的是，这些模糊概念通常并不妨碍对某些事物的判断，多年不见的老朋友相遇时很快就能认出来，就是凭借一些模糊特征的帮助。可是要让一台计算机认识这个人，就要先输入许多条这个人面部特征的信息、数据。如果此人有一条信息（如胖瘦、皱纹）发生变化，计算机马上就翻脸不认人。再如每个人的声音都是不相同的，如果计算机只能准确地识别某一个人的声音，那么要实现普遍的人机直接对话，在实践上是不可能的。怎样才能把这些信息模糊化，使计算机根据不甚确切的信息就可以判断这个人是谁，或能够接受所有人的口语指令？模糊数学就是研究和处理模糊性现象的学科。
模糊数学打破普通集合论中元素对集合的绝对隶属关系，在“此”与“彼”之间考虑中间状态，运用模糊逻辑和模糊控制将模糊概念以准确的形式表现出来。１９６５年美国加利福尼亚大学教授查德发表《模糊集合》，为模糊数学铺平了道路。在模糊集合中，给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况，而是用介于０和１之间的实数来表示隶属程度，还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念，７０岁的肯定属于老人，它的从属程度是１，４０岁的人肯定不算老人，它的从属程度为０，按照查德给出的公式，５５岁属于“老”的程度为０５，即“半老”，６０岁属于“老”的程度０８。指明各个元素的隶属集合，就等于指定了一个集合。当隶属于０和１之间值时，就是模糊集合。模糊数学的产生是科学技术与数学密切结合的必然结果。模糊数学的研究正在世界各国迅速发展，广泛应用于家用电器、高精度过程控制、宇航系统、机器人等人工智能控制领域。
用模糊数学排除假警报的克星
有意的假警报，在军事上有时是被作为一种谋略手段来战胜敌人，有时候也用它来提神静气，振奋精神。前者运用较为频繁，后者用的就不多了，美军在一次战斗中就曾使用过。那是１９４２年１０月２６日，美军特遣舰队与日军在圣克鲁斯打了一场大海战。在这次遭遇中，美军损失惨重，旗舰也受了重伤。美军士兵在这次海战中被日军打怕了，他们时刻担心日军飞机和潜艇会突然出现，战斗情绪十分低落。看着自己的这些惊魂未定的部下，舰队指挥官十分忧虑，决心尽快恢复士气。
一天，天色昏暗，乌云滚滚。突然，舰上的警报全响了。舰队指挥官通报说，舰队右侧发现了敌人潜艇，要大家做好迎击的准备。士兵们慌作一团。正当官兵们十分恐惧地等待着敌人的攻击时，舰队的警报解除了。广播里宣告说这是一场误会，刚才发现的不是敌人潜艇，而是一只鼠海豚。听到这个消息，士兵们哄然大笑。通过这次玩笑，士兵们低落的士气一扫而光。
幽默是一种力量。这个小小的玩笑，不仅松弛了大家的恐惧及紧张的心理，也使士兵们看到了自己与男子汉气概不相称的风声鹤唳、草木皆兵的情绪。
无意的假警报后果往往不堪设想。１９８０年６月，美国高级军用电子计算机两次发出警报：苏联的洲际弹道导弹向美国飞来了。这个权威性的“发言”，谁也不敢等闲视之。于是，地面上一片惊慌，将近１５０架Ｂ－５２轰炸机的驾驶员，立即开动了引擎，等待信号起飞，眼看一场大打出手的场面就要来临。可是，信号始终没有发出。事后检查，是一个集成电路发生了故障，计算机计算错了，发出了假警报。
电子计算机正在多方面代替人的繁重劳动。近年来，它的存储容量越来越大，计算速度越来越快，准确性越来越高，功能越来越完善，甚至已发展到能识别图像、分辨声音和嗅认气味。导弹和宇宙飞船的跟踪和控制，要是没有计算机帮忙，事情就很不好办。另外，它工作起来又是多么任劳任怨，埋头苦干。叫人最不放心的，是它的可靠性，万一某一个或者几个元件、电路发生故障，计算机就会“乱弹琴”，发出荒诞的结论或者古怪的信息。据报导，在比利时布鲁塞尔召开的一次世界博览会上，电子计算机承担了办理饭店座位分配的任务，因机器故障，竟使几万客人找不到位置吃饭，闹了一个大笑话。
怎样进一步提高计算机的可靠性，当务之急是提高元件质量，使机器少出毛病。从长远来说，计算机应该“再学习”，向人脑学习。
人的脑子有１００多亿个神经元，每年约有８００多万个神经元的功能失调，累计起来，一个活到８０岁的人，就有７亿个神经元不能工作，约占人脑总神经元的十分之一。可是，这并不影响人的正常思维。要是计算机的电子元件和电子线路，能像人脑的神经元和神经系统那样，即使一部分元件发生故障，也能保证计算机正常工作，可靠性就会大大提高，不致出现前面说的笑话了。
你也许会说，那我们就按人脑结构设计计算机好了。谈何容易。别的不说，神经元互相之间是怎样联系的，现在还无法说清楚。人对自己脑子的结构还了解得很不够，又怎样能着手设计人脑式的计算机呢？
在信息密度和存储容量方面，计算机也要向人脑学习。现在计算机存储装置的信息密度相当高。可是，人脑的信息密度和记忆容量，却比计算机高亿倍。
再有，计算机的进一步微型化是有光明前途的。１９６４年，美国的第一台计算机是一个重３０吨、占地１７０平方米的庞然大物；现在采用固体线路，安装密度可达１０４元件／厘米３，真是进步很大。可是，人脑每立方厘米有１０７个神经元，是微型机的１０００倍。
计算机用来作识别机的时候，往往一点不通人情。比如我们见到一个好久未见的熟人，他可能比以前胖些或者瘦些，不管怎样，我们仍旧能认识他。计算机可不是这样，它只能把这人现在的身长、体重、胖瘦等，与以前储存的资料作比较，稍有差别，就会作出“不认识”的判断。
计算机有个力求精确的习惯，要使它模仿人脑的功能进行一些识别和分类，倒希望它有一定程度的模糊。这就用得上模糊数学了。
模糊数学是１９６５年创立的。现已发展成模糊集合、模糊代数、模糊拓扑、模糊逻辑、模糊规划等学科。随着计算机的发展，应用也越来越广。模糊数学处理的是模糊的东西，可模糊数学本身并不模糊。
我们接触和使用电子计算机的机会越来越多。大家都很关心的是：将来能设计出像人脑一样的电子计算机吗？不少科学家是抱乐观态度的。他们认为，可以设计出一种能用来设计的较复杂的计算机，而较复杂的计算机，又能设计出更复杂的计算机。这样下去，最后设计出像人脑那样的计算机是可能的。正因为这样，也有人担心头脑发达的机器人，将来会不会对它的主人采取不礼貌的行为。许多科学家是不相信这点的。
对策论的运用———田忌赛马
齐王与大将军田忌商议赛马。他们约定：双方各出上、中、下三种等级的马各１匹。每次举行三场比赛，输者每输一场就要付给对方１０００两黄金。由于齐王的马比田忌同等级的马匹都要稍胜一筹，而在每一比赛中，双方都用同等级的马参加对抗，结果齐王连胜３场，得到了３０００两黄金。
没过多久，齐王又邀请田忌参加赛马。田忌感到左右为难，一方面齐王旨意不好违抗，另一方面再次参赛又必输无疑。田忌帐下的军师孙膑，是一位很有才华的军事家。他替田忌出了一个主意：用自己的下等马去和齐王的上等马比赛；用自己的上等马去和齐王的中等马比赛；用自己的中等马去和齐王的下等马比赛。比赛开始，齐王的第一匹马遥遥领先。齐王见对方的马匹竟如此不堪一击，高兴不已。不料好景不长，在第二、第三场比赛中，田忌的赛马都取得了胜利。齐王反而输给田忌１０００两黄金。
可笑的是，齐王输了钱还弄不清自己是怎么输的呢。
实际上，齐王出马的等级和顺序总共有六种：（上、中、下）（上、下、中）（中、上、下）（中、下、上）（下、中、上）（下、上、中）。田忌的对策也同样有这六种。这样，搭配起来共有３６种对抗格局。齐王赢３０００金的格局共有６种，赢１０００的格局有２４种，只有６种才会输１０００。从总数来看，齐王取胜的机会有６＋２４３０５６１３６＝３６＝６，输的机会只有３６＝６。
那么，田忌是如何取胜的呢？原来孙膑摸清了齐王的对策，他认定齐王上一次赢了比赛之后，便不会轻易改变出马顺序，仍然按（上、中、下）的次序出马参赛。于是，孙膑就采取了相应的对策，根据田忌的马比齐王次一等级的马稍快一些的优势，放弃一场而抓住另两场的机会，取得了最后的胜利。孙膑的策略之所以能成功，就在于他正确估计了对方的策略。
田忌赛马虽然是战国时期的历史故事，但它体现了新兴的数学分支———对策论的思想。
计算机代码中的数学问题
在数学历史中，存在着许多成对的分支。它们的相对重要性时而兴盛，时而衰退，例如像算术与几何学的关系或者纯数学与应用数学之间的关系。另外一对动态对立物可以在算法与分析数学中看到。后者所研究的是基础结构和“完美的定理”；与此相应，前者的目标是达到实际解所需要的过程。例如，我们已经看到在各种数制中求２的平方根这样的无理数的各种算法。研究哪一个过程更有效，换言之，用最少的步骤达到所需的精确度，是算法的一项主要研究项目。
术语“算法”本来是指用阿拉伯数字进行计算，以区别在算盘上所进行的计算。由于算盘的使用在欧洲的衰退，同时随着计算量变得越来越大，对于机械计算器的需求也越来越强烈。１７世纪，帕斯卡、笛卡儿、莱布尼兹都梦想着可以对所有数学问题进行编码，而且可以机械地生成求解方法的通用语言。这些人本身也制造了各种机械的计算器。莱布尼兹设计的通用计算法已经超越了微积分的范畴，包括了可以判定伦理及法律问题的形式规则。任何有效的算法都可以通过使用计算器来增强计算能力。但是直到２０世纪，软件和硬件才结合到了一起。
巴贝奇（ＣｈａｒｌｅｓＢａｂｂａｇｅ，１７９１—１８７１）于１８１９年设计了“差分机”，并于１８２２年制造出可动原型。他希望这台机器能够提高乘法速度和改进对数表等数字表的精确度。英国政府出资赞助制造一台全功能差分机，使之有能力计算出保险精算、行政管理及科学研究等所需的高精度的数据表。但是，到了１８３４年，巴贝奇的这项方案大大超出了预算，而且进程也落后于预期的日期。虽然巴贝奇的智能以及资金约定额没有问题，但是政府延缓了进一步的资助。从那时起，巴贝奇把注意力转移到了“分析机”的设计上来。实际上，这就是现代计算机的前身。其最主要的特征是把存储器和运算器分离开来：存储器在计算过程中存放数字，而运算器进行算术运算。通过在穿孔卡片上编码进行输入和输出操作，而控制器控制着程序。他也曾设想将结果直接输出到打印机上，这样分析机就能像蒸汽机那样自动运算了，但是分析机没有被实际制造出来。到了１８４２年，政府停止了对差分机的资助。巴贝奇对英国科学界的怀疑得到进一步的证实。在大学学习期间，巴贝奇和他人联合创建了分析协会，其主要目的是使剑桥的数学教学达到欧洲大陆的水平。１８３０年，他写了一篇抨击英国科学现状的文章，强烈指责了皇家科学院封闭的思想状况，这导致了不列颠科学促进协会的建立。不幸的是，巴贝奇计算机的高昂造价使他的计算机沉睡了将近１００年。
