【概率论】
概率论是数学的一个分支，它是研究随机现象中有关事件规律性的学科，概率论是在17世纪产生的，近几十年来随着科学技术的迅速发展，在工农业生产、近代物理、地球物理、自动控制与通信理论、生物学和医学等方面都起重要作用。
【随机现象】
在一定的条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而且不能预先断言出现哪种结果的现象叫随机现象。例如在桌面上投一枚硬币，可能正面向上，也可能反面向上，而且在投掷之前不能预先断言哪一面向上；一门炮对一目标射击，尽管经过瞄准，炮弹却可能落在目标附近的各个位置。
【随机事件】
随机现象中的事件在条件实现时可能发生也可能不发生，称这个事件为在这个条件下的随机事件。例如“正面向上”是“往桌面上投一枚硬币”这个条件下的随机事件；“命中目标”是“大炮瞄准目标射击”这个条件下的随机事件。
【必然事件】
在一定的条件下必然要发生的事件，叫做必然事件。例如“水沸腾”是在条件“纯水，一个大气压，100℃”下的必然事件。
【不可能事件】
在一定的条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件。例如“水结冰”是在条件纯水，一个大气压、100℃”下的不可能事件。
【试验】
观察一定条件下发生的现象，通常叫做试验。条件实现一次就是一次试验，一个试验如果可以在相同的条件下重复进行，而且每次试验的结果可以不同，有偶然性，我们就称它为随机试验，为简单起见，也简称试验。
【频率】
在观察某一随机事件A时，共进行了n次试验，其中事件A发生了mA次，则mAn称为事件A发生的频率。
【概率】
在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mAn总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。概率是用来表示随机事件发生的可能性大小的一个量。由于任何事件A发生的次数mA总不能大于试验的次数n，因此事件A的概率P（A）满足0≤P（A）≤1。而必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0。
【等可能性事件的概率】
如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有mA种，那么事件A的概经P（A）=mAn。
例一个小正方体，六个面上分别写有数字1、2，3，4，5，6，投掷一次偶数数字朝上记为事件A，求事件A的概率？投掷两次时，两次都是偶数数字朝上记为事件B，求事件B的概率是多少？
解小正方体投掷一次有6种等可能性的结果，而偶数数字朝上有3种情况，故P（A）=36=12。
投掷两次小正方体，由乘法法则可知共有6×6=36种等可能的结果，而两次都是偶数数字朝上共有3×3=9种，故P（B）=936=14。
例将n个不同的球任意放到m（m≥n）个盒子中，每个盒子容纳球的个数不限。试求（1）指定的n个盒子中各放有一个球的概率P1；（2）有n个盒子各放有一个球的概率P2。
解（1）因为每一个球放入盒子中时都有m种方法，故由乘法原理可知，n个球全部放入盒子中时共有mn种放法，由于放法的任意性，这mn种放法都是等可能的。
指定的n个盒子中各放有一球，这种放法就是将n个球在n个指定的盒中的排列，有n！种，所以P1=n！mn。
（2）有n个盒子各放有一球，这种放法可按下述步骤来完成：先选出n个盒子（有Cnm种方法），然后将n个球分别放入n个盒子中，每盒一球（有n！种方）。所以，有n个盒子各放有一球的放法有Cnmn！种，从而得到P2=Cnmn！mn=m！mn（m—m）！
说明：等可能性事件概率的求法，基本上可用排列组合的有关知识解决，因此这部分内容是排列组合知识的直接应用。
【互斥事件】
在同一次试验中，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫做互不相容事件。如果事件A1，A2，……，An中任何两个都是互斥事件，那么就说事件A1，A2，……、An彼此互斥。例如：从52张扑克牌中抽出一张牌，设事件A代表抽到一张红桃，事件B代表抽到一张黑桃，事件C代表抽到一张红方块，事件D代表抽到一张梅花，则事件A，B，C，D彼此互斥。
【互斥事件有一个发生的概率】
如果事件A，B互斥，那么事件“A+B”发生（既A、B中有一个发生）的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P（A+B）=P（A）+P（B）。如果事件A1，A2，……，An彼此互斥，那么事件“a1+a2+……+An”发生（即A1、A2、……、An中有一个发生）的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P（A1+A2+……+An）=P（A1）+P（A2）+……P（An）。
说明：上述内容中涉及到“和事件”的概念，在一般情况下，设A与B是同一试验下的两个随机事件，则“A或B有一个发生”的事件记作“A+B”事件，即只要事件A，B中有一个发生，都表示事件“A+B”发生。
例某电话总机一分钟内：呼叫次数为0至5次的事件A概率为012，呼叫次数为6至10次的事件B的概率是032，呼叫次数为11至15次的事件C的概率是035，呼叫次数为16至20次的事件D的概率为013，试计算每分钟呼叫的次数在0至20次的事件E的概率。
解显然事件A，B，C，D是彼此互斥的，所以P（E）=P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=012+032+035+013=092。
【对立事件】
在一次试验中，如果两个互斥事件必然有一个发生，那么这两个事件叫做对立事件（或叫做互补事件）。一个事件A的对立事件记作A—。显然A+A—是必然事件，它的概率为1。又因为A与A—互手，所以P（A）+P（A—）=P（A+A—）=1，即P（A—）=1—P（A）。
例在上例条件下，求每分钟呼叫次数在20次以上的概率。
解显然每分钟呼叫次数在20次以上这一事件是每分钟呼叫0至20次的事件E的对立事件，记为事件E—，
则P（E—）=1—P（E）=1—0。92=0。08，
即每分钟呼叫的次数在20次以上的概率为008。
【相互独立事件】
两个相互独立的事件首先是对两个不同的试验来说的，如果第一个试验中事件A是否发生，对第二个试验中事件B发生的概率没有影响，反之，第二个试验中事件B是否发生，对第一个试验中事件A发生的概率也没有影响，就说事件A和B是相互独立事件。
说明：学习相互独立事件概念时，要注意与两个互斥事件概念区别开来，前者是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，后者是指一次试验中，两个事件不会同时发生。
【相互独立事件同时发生的概率】
两个相互独立的事件A，B同时发生记为事件A·B，则事件A·B的概率等于事件A、B概率的积，即P（A·B）=P（A）·P（B）。
一般地，如果事件A1，A2，……，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2………An）=P（A1）·P（A2）·……P（An）。
例对同一目标进行三次射击，第一、二、三次射击的命中概率分别是04、05、07，试求（1）三次射击都命中的概率；（2）三次射击恰有两次命中的概率。
解（1）设“第一次射击，击中目标”为事件A，“第二次射击，击中目标”为事件B，“第三次射击，击中目标”为事件C，三次射击都击中目标就是事件A·B·C。
由题意可知三次射击互不相响，即事件A、B、C互相独立，所以P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=04×05×07=014。
即三次射击都命中的概率是014。
（2）“三次射击恰有两次命中”（用A表示）包括三种情况：第一次命中（用A1表示），第二次命中（用A2表示），第三次未命中（用A3表示）；第一、三次命中，第二次未命中；第二、三次命中，第一次未向中，所以A=A1A2A—3+A1A—2A3+A—1A2A2，由于三次射击是独立的，因此P（A）=P（A1A2A—3）+P（A1A—2A3）+P（A—1A2A2）=P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A2）×P（A3）=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41。
即三次射击恰有两次命中的概率是0.41。
【独立重复试验】
将只有两种可能性的试验（也叫贝努里试验）独立地重复n次的随机试验，叫独立重复试验，也叫做n次重贝努里试验。这种试验有两个特点：
（1）试验的内容是重复n次某一种试验，每次试验有两个可能的结果：
Ai（成功），Ai（失败）且P（Ai）=P，P（Ai）=1—P，与试验的序号i无关。
（2）n次试验是独立进行的，即每次试验结果出现的概率不受其他各次试验结果的影响。
在n重贝努里试验中，事件Bk——在n次试验中恰好有K次成功——的概率P（Bk）=CknPk（1—P）n—k，（K=0、1、……、n）。
说明：独立重复试验是同一试验的n次重复，如同一门炮独立地射击4次；不过也可以应用到n次不同的独立试验，只要每次试验中“成功”的概率相同，如4门炮独立地向目标各射击一次，如果每门炮命中的概率相同，也可以看作是4重贝努里试验。
例10名射手命中概率都是15向同一目标彼此独立地各射击一次，试求：
（1）10人中全没命中目标的概率；
（2）恰有一人命中目标的概率；
（3）至少有两人命中目标的概率。
解由于10名射手的命中率相同，所以可以看成10重贝努里试验。设“射手射击一次命中目标”记为事件A，即P（A）=15。
（1）设“10人中全没命中目标”记为事件B，
则P（B）=C010P0（1—P）10=4510=01074。
（2）设“恰有一人命中目标”记为事件C，
则P（C）=C110P0（1—P）9=10×15×459=2×459=02684。
（3）设“至少有两人命中目标”记为事件D，则D=（B+C）
P（D）=1－P（B+C）=1－P（B）－P（C）
=1－01074－02684=06242。
例设有两架高射炮，每一架击中飞机的概率都是06，试求同时射击一发炮弹而命中飞机的概率是多少？又若一架敌机侵犯，要以99%的概率击中它，问需要多少架高射炮？
解两架高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机，包括两种情况：两发炮弹恰有一发命中或两发炮弹都命中。
P（命中飞机）=C12p（1—p）+C22P2=2×06×04+062=084，即两架高射炮同时发射一发炮弹，命中飞机的概率是084。
也可用两发炮弹至少有一发命中的对立事件（即两发炮弹均未命中）来处理，即P（命中飞机）=1—P（未命中飞机）
=1—C02P0（1—p）2=1—042=084。
设需有n架高射炮，同时发射一发炮弹命中飞机的概率为99%，则P（命中飞机）=1－P（均未命中飞机）=1—C0np0（1—p）n=1—04n。
即1—04n=099，04n=001。
n=lg0。01lg0。4=—2—0。3979=5。
所以要以99%的概率击落敌机，需要5架高射炮。
【总体和个体】
要考察的对象全体叫做总体，是一个集合的概念。
总体中每一个对象叫做个体，个体是总体的元素。
【样本】
从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本。
说明：样本是集合的概念。它和总体的关系是样本是总体的真子集，有样本总体的关系。
【样本的容量】
样本中个体的数目叫做样本的容量。
【平均数】
如果有n个数x1，x2，x3………xn，那么x=1n（x1+x2+x3+……+xn），叫做n个数的平均数，有时写成x=1n·ni=1xi。
说明：这里所说的平均数也叫算术平均数。
【总体平均数】
总体中所有个体的平均数叫做总体平均数。
【样本平均数】
样本中的所有个体的平均数叫做样本平均数。
【公式x=x’+a】
从一组数据x1，x2……xn，同时减去一个适当的常数a，即x’1=x1—a，x’2=x2—a，……，x’n=xn—a，
则x=1n（x1+x2+……+xn）
=1n［（x’1+a），+（x’2+a）+……+（x’n+a）］
=1n［（x’1+x’2+……+x’n）+na］
=x+a。
【加权平均数】
如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，……xk出现fk次（这里的f1+f2+……fk=n）时，
x=xf1+x2f2+xkfkn=1nki=1xifi，
其中，f1，f2，……，fk叫做权。
【样本方差】
样本中各数据与样本平均数之差的平方的平均数s2=1n［（x1—x）2+（x2—x）2+……+（xn—x）2］叫做样本方差，即s2=1n（xi—x）2。
说明：样本方差是来衡量样本的数据偏离样本平均数的大小的一种方法。
【总体方差】
当样本容量很大时，样本方差很接近反映总体波动大小的特征数，叫总体方差。
【样本标准差】
样本标准差是指样本方差的算术平方根。
【样本方差计算公式】
s2=1n［（x21+x22+……+x2n）—nx2］=1nni=1x2i—nx2，当样本的容量是n时，可写成s2=1n［（x’21+x’22+……+x’2n）—nx’2］=1n（ni=1x’2i—nx’2）
说明：样本方差的计算，为解决总体方差的估计，公式的变形，是为了计算的简化。
【频数】
对统计数据进行分组处理，对属于每个小组内的数据进行累计，在各个小组内的数据的个数叫做每一小组的频数。
【频率】
每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率。
【频率分布直方图】
用样本分组界值做为横坐标，以频率与组距的比值做为纵坐标，做出的统计图表，并以邻界的样本与其频率与组距的比值做成长方形。
长方形的面积=组距×频率组距=频率，
长方形的高=频率组距=1组距×样本容量×频数，
其中，1组距×样本容量是一个常数。
注意各小长方形面积的和为1。
【累积频率】
数据小于某一数值的频率叫做该数值的累积频率。
根据算出的累积频率可以绘出累积频率分布图。它的横轴表示样本，纵轴表示累积频率，它的图形是一条折线。
