又如，甲、乙、丙三队进行足球循环赛，胜一场得2分，负一场得0分，平一场各得1分，各队积分不同时，按积分多少决定名次；当两队积分相同时，按每队净胜球多少决定名次先后；若净胜球数又一样，再计算每队进球数的多少决定名次先后；若进球数又一样，最后由抽签决定名次先后。
现在三场比赛的结果是，甲比乙为6∶2，乙比丙为3∶2，丙比甲为5∶3。三队各胜一场，积分都是2分，为决定名次要算净胜球数。甲净胜球数为4-2=2，乙净胜球数为1-4=-3，丙净胜球数为2-1=1。因此甲队第一，丙队第二，乙队第三。
上面三场比赛的结果中，若甲比乙为3∶1，积分仍然都是2分，净胜球数却发生变化。甲净胜球数为2-2=0，乙净胜球数为1-2=-1，丙净胜球数为2-1=1。结果丙队第一，甲队第二，乙队第三。
虽然数学中6∶2=3∶1，但这里两种结果却不相同，因此这种比分是不能用数学方法约简的。
在商业销售中常可听到折扣的概念，这也是一种分母为10或100的分数。
例如，到了冬天，某商店夏天购进的电扇还没卖完，为了加快资金流转，商店贴出海报：“本店换季商品大减价，电风扇一律八折出售。”那么原来卖150元的，现在就只卖150×810=120元。
如果写的是按七五折出售，那就是按原价的75％出售。
有的商店宣布实行十点利销售，意思是薄利多销，售出的每一件商品所获利润不超过商品进价（商店买进商品的价格）的10％。例如一种商品采购进店花了100元，那么卖给顾客的价格是100×（1+10％）=110元。
从田忌赛马说起
在我国古代春秋战国时期，齐国国王与大将田忌赛马，看谁的马跑得快。田忌答应后，双方约定各自出上、中、下三个不同等级的马各一匹，每次比赛各出一匹马，一共比三次，输者要付给胜者千金。
可是田忌的各个等级的马，都比齐王同一等级的马差些，所以田忌每次从三种马中各出一匹参加比赛总是输。
我们从下面表中看出，齐王先出上马，接着出中马，最后出下马。在这种条件下，田忌的出马次序有6种：
齐王田忌：
上上上中中下下
中中下上下上中
下下中下上中上
比赛结果负负负负胜负
要是田忌每次随便安排一个出马次序，他获胜的可能性是16，负的可能性是56。
田忌的宾客孙膑发现齐王每次都按上、中、下的顺序出马，便建议田忌按下、上、中的顺序出马。结果获胜的可能性变成了100％。当然，要是双方不暴露出马的顺序，田忌取胜的可能，大致不过是16罢了。
乒乓球团体赛，比田忌赛马问题复杂得多。每队出三个人，谁拿下五盘谁就取胜。要是双方实力相当，怎样安排队员和出场次序，是领队和教练的大难题。首先，对方并不像齐王那样呆，预先把自己的出场队员和次序暴露出来，所以双方对阵的可能组合方案很多，并且也都在捉摸着怎样对付对方。其次，乒乓球员不是马，竞技状态起伏较大，而且因球路、风格的不同，往往有甲克乙、乙克丙、丙克甲的局面。第三，双方都可能有互不摸底的队员出场，这就增加了安排出场顺序的复杂性。
1944年，美籍数学家冯·诺伊曼和摩根斯特发表了《博弈论和经济行为》一书，把打牌、下棋等的格局研究，发展成为处理竞争性行为的数学方法。他们的成就，鼓舞数学家们努力探索这一方法，去处理种种复杂的问题。
除正当的“竞争”之外，也有一些不正当的“竞争”。
在城镇乡村的大路旁边，有时可见到各种碰运气、赌输赢的小摊。其中的一种，叫做转糖摊。
转糖摊是一个固定不动的圆盘，盘上画了偶数个扇形格子，按次序编了号；圆盘中心伸出一根可以转动的轴，轴的上端向外垂直伸出一根悬臂，悬臂端吊一根绳子，绳头上有一根针；在偶数格子里各放一小块糖，在奇数格子里分别放值钱的物品。
谁给摊主几角钱，就可拨动悬臂转动一次。等停转后，指针指到哪格，便根据那格的数，从下一格起，按格往下数这个数，数到哪一格，放在格里的糖或者别的物品就归谁。比如说停在2，就从第三格起数二格，4格里的物品就归谁。
粗心大意的人会想：盘子上，单数双数格子各占一半，数到双数得一块糖，当然亏了；数到单数得一盒彩色铅笔什么的，可就赚了。几角钱不多，可以碰碰运气。
不错，单数格子确实有一半。可是，按照这样的数法，是怎样也数不到奇数格子上去的。
为什么呢？
道理很简单，因为
奇数+奇数=偶数；
偶数+偶数=偶数。
这就是说，不管指针指在奇数还是偶数，最后数到的总是偶数格，赚的可能性是零。
还有一种猜扑克的赌摊。赌主拿出5张不同花色点子的扑克牌，抽出一张给你看看，比如是红桃K；然后，他把5张牌的牌面朝下，在那里把5张牌颠来倒去、东插西放地调换位置，着实拨弄了一番后，叫你猜哪一张是红桃K。猜错了，你给他一块钱；猜对了，他给你两块钱。
粗心大意的人，看见有人猜中，以为有利可图，也去碰碰运气。仔细一想，不对了。就算赌主没有作弊，猜对的可能性是15，平均每次可以赢25角；输钱呢？五次输四次，平均每次输45角。赌的次数越多，每次输的平均值就越接近45，而4〖〗5>；25。
象棋残局摊的赌博要复杂一些。摊主摆了一付象棋残局，吆喝别人与他对弈。表面看来，这是业余爱好，高尚娱乐。其实，下输了要付一块钱；下和或者下赢，他就送你价值二块的一盒象棋。你以为自己的棋下得不错，想去显显本事，往往一输到底。
红蓝两方，听凭选择，为什么会老输呢？
原来这付象棋残局是经过精心挑选的，要是双方都走棋无误，绝大可能是和局。每一步棋应该怎样走法，摊主早背得滚瓜烂熟。
我们假定这个残局，从开局到定局共有10个回合，又假定你每一步棋走对的可能性是12，走错的可能性也是12。
这样，你能够与摊主弈和的可能性是（12）10=11024。
即使你每步走对的可能性是910，和棋的可能性还远远不到1〖〗4。
或许你会认为低估了你的棋艺水平。对大多数人来说，12已经是十分宽大的估计了。
不可否认，能够与摊主弈和的人也是有的，那是极少数对中国象棋有造诣的人。可是，这样的人很少去光顾这类场所，摊主大可不必担心。
在81个零件中要找出一个废品，至少要称几次
现在有81个零件，其中有一个因为原材料内部有砂眼，是个废品，需要把它找出来。这个废品虽然从表面上看不出来，但由于内部有空洞，所以比别的零件要轻。因此，我们可以采取称量的方法。那么怎样使称量的次数最少呢？
一般的方法应该是，在天平的两边各放一个零件，如果平衡，那么都不是废品；如果不平衡，那么较轻的一个就是废品。因此，称一次能决定在2个零件中有没有废品。那么如果是3个零件，是不是也可以只称一次呢？答案是肯定的。因为如果3个零件中有一个是废品，那么任取两个放在天平的两端，如果平衡，那么另外的一个就是废品；如果不平衡，当然较轻的一个是废品。
那么，如果是在9个零件中，需要称几次呢？我们首先把9个零件等分成3堆，每堆3个，随便取其中的2堆，分别放在天平的两端，称一次就可以决定废品在哪一堆。然后再把有废品的那一堆，按照上面的方法再称一次，就可以找到废品，因此只需要称2次。
根据同样的道理，我们可以把81个零件先等分成3堆，每堆27个，任取其中的2堆称1次，就可以确定废品在哪一堆。再把这一堆27个等份成3堆，每堆9个，取其中的2堆再称1次。这样下去，总共只要称4次，就可以在81个零件中找出废品来。
那么如果零件的个数更多呢？例如243、729、……，所以需要找出这其中的规律来。也许你已经看出来了，零件的个数如果等于3n，那么最少的称量次数就是n，例如81=34，那么在81个零件中要找出一个废品，至少要称4次。由于243=35，729=36，因而对于243和729个零件来说，最少的称量次数分别是5次和6次。如果零件的个数并不正好等于3n，又如何来安排呢？这个问题留给大家自己去思考。
不查日历，推算某一天是星期几
如果你想要知道历史上的某一重要日子或者未来的某一天是星期几，不查日历，能算出来吗？
事实上，有许多公式可以用于计算某月某日是星期几。
例如：
S=x-1+x-14-x-1100+x-1400+C
这里x是公元的年数，C是从元旦数起到这一天为止（包括这一天）的天数，方括号表示一个数的整数部分。求出S后，再用7除，其余数便表示这一天是星期几：余数为0，则为星期日；余数为1，则为星期一；依此类推。
例11921年7月1日，中国共产党在上海成立。这天是星期几？
按上面公式：
S=1921-1+1921-14-1921-1100+1921-1400+（31+28+31+30+31+30+1）=1920+480-19+4+182=2567用7除2567所得的余数是5，所以1921年7月1日是星期五。
上面的公式有一个缺点，它不是直接把月和日代入公式，而是要计算这一天是全年的第几天。下面的蔡勒公式避免了这个麻烦：
W=c4-2c+y+y4+26（m+1）100+d-1
这里c是公元年份的前两位数：y是公元年份的后两位数；m是月数，不过1月和2月分别看成上一年的13月和14月；d是日数。按蔡勒公式求出W后，再求其除以7的余数，便得到星期数。
你可以用蔡勒公式试求1921年7月1日是星期几，并与例1比较。
例21949年10月1日，中华人民共和国成立。这一天是星期几？
这个日子c=19，y=49，m=10，d=1。用蔡勒公式求得：
W=194-2×19+49+494+26（10+1）10+1-1
=4-38+49+12+28
=55
用7除55得余数6，所以1949年10月1日是星期六。
例32000年元旦是星期几？
2000年元旦应该看成1999年13月1日，所以c=19，y=99，m=13，d=1。用蔡勒公式求得：
W=194-2×19+99+994+26（13+1）10+1-1
=4-38+99+24+36
=125
用7除125得余数6，所以2000年元旦是星期六。
怎样把250只苹果巧装在8只篮子里
问题是这样的：假设每只篮子的容量都足够大，可以让你装入250只以内的任意数量的苹果，怎样把250只苹果巧装在8只篮子里，然后不管你要多少只苹果，都不需要一只只地数，只要拿几只篮子就可以了。
怎样才能做到呢？仔细思考一下，如何把250分解成8个数的和，使得1到250之间的每个自然数都可以用这8个数中若干个数的和来表示。
我们首先把8只篮子进行编号①、②、③、……⑧，然后依次装入1、2、4、8、16、32、64、123只苹果，这样250只苹果刚好全部装进去。现在，不论我们要拿多少只苹果，只要计算一下，然后拿几只篮子就可以了。例如55=32+16+4+2+1，因此只要拿走①②③④⑤⑥号篮子，就正好是55只苹果。不信的话，你可以试试看，1到250之间所有的数字，都可以不重复地由上面8个数字相加得到。
答案还不止这一个呢！例如，如果⑦号篮子改成装62只，⑧号装125只，其余的不变，这也是一个正确的答案。
但是，如果苹果的数目是255只，那么答案便只有一个：
1+2+4+8+16+32+64+128=255
为什么要这样来分解数字呢？这里我们依据前面介绍的二进制原理。
我们来看看十进位制和二进位制之间的换算。例如55，是32、16、4、2、1的和，用二进位制表示就是110111。而110111换算成十进制等于1×20+1×21+1×22+0×23+1×24+1×25=1+2+4+16+32=55现在我们容易理解上面问题的答案了，分解的数字分别为20、21、22、23、24、……，因为这样分解以后，每一个篮子也就相当于二进位制的每一位，它只有两种选择：1和0，也就是说这个篮子是“要拿”还是“不要拿”。而拿的篮子的只数也正是二进位制数从右向左数的位数，例如55就等于二进位制的11111，也就是如果拿第1、2、3、5、6只篮子，就正好拿了55只苹果，与我们上面的答案相同。
松鼠妈妈采松子
松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天采了112个松子，平均每天采14个。请问，这几天当中有几天有雨？
解法（1）松鼠妈妈采112个松子共用了
112÷14=8（天）
如果8天都是晴天，就能采到松子
20×8=160（个）
一个雨天比一个晴天少采松子
20-12=8（个）
现在共少采了
160-112=48（个）
因此雨天有48÷8=6（天）。
解法（2）
