刘徽在全面论证《九章算术》的公式、解法的同时，指出了其中的许多错误和不精确之处，并给以纠正或提出改善建议，他对许多问题的补充解法，大大丰富了《九章算术》的内容。但用对《九章算术》作注的形式展现自己的数学思想，在一定形式上也限制了刘徽数学创造的展开及其数学思想对后世的影响，或许这该是最让人引以为憾的事情了。
◎故事感悟
刘徽注《九章算术》，充分体现了他作为一个数学家应有的科学态度。他实事求是，不仅开创的数学联系实际的传统，更重要的是他没有盲目崇拜古人取得的成就，勇于开拓创新，极大地丰富和发展了中国古代的数学成就。他的这种孜孜不倦为事业所努力的态度正是其事业成功的源泉。
◎史海撷英
中国古代数学体系的形成
秦汉时期，是我国封建社会的上升时期，经济和文化都得到了迅速的发展。而中国古代的数学体系也正是形成于这个时期。它的主要标志，就是算术已成为一个专门的学科及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。
《九章算术》是我国战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，堪称为世界数学名著。例如，其中的分数四则运算、今有术（西方称三率法）、开平方与开立方（包括二次方程数值解法）、盈不足术（西方称双设法）、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法（特别是勾股定理和求勾股数的方法）等，都具有极高的数学水平。而其中的方程组解法和正负数加减法，更是位于世界数学发展上的领先地位。它也形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
《九章算术》采用按类分章的数学问题集的形式，算式都是从筹算记数法发展起来的，以算术、代数为主，很少涉及图形性质，重视应用，缺乏理论阐述等。秦汉时期，主要强调数学的应用性。而东汉初年成书的《九章算术》则排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法。
到了隋唐时期，《九章算术》曾传到朝鲜、日本等国，成为这些国家当时的数学教科书。
◎文苑拾萃
《海岛算经》
《海岛算经》为算经十书之一，成书于三国魏景元四年（263年），由著名数学家刘徽岁编撰。本为《九章算术注》的第十卷，题为《重差》，后来此卷单行。由于第一题是测量海岛的高和远的，故而得名。内文中所有的问题，都是利用两次或多次测望所得的数据，从而来推算可望而不可即的目标的高、深、广、远。
全书共九题，这里选两题：
（1）今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？答曰：岛高四里五十五步；去表一百二里一百五十步。
术曰：以表高乘表间为实；相多为法，除之。所得加表高，即得岛高。求前表去岛远近者：以前表却行乘表间为实；相多为法。除之，得岛去表数。
（2）今有望松生山上，不知高下。立两表齐，高二丈，前后相去五十步，令后表与前表参相直。从前表却行七步四尺，薄地遥望松末，与表端参合。又望松本，入表二尺八寸。复从后表却行八步五尺，薄地遥望松末，亦与表端参合。问松高及山去表各几何？答曰：松高一十二丈二尺八寸；山去表一里二十八步、七分步之四。
术曰：以入表乘表间为实。相多为法，除之。加入表，即得松高。求表去山远近者：置表间，以前表却行乘之为实。相多为法，除之，得山去表。
数学泰斗祖冲之
◎用功如远行，迟半日则程途少半日。——赵世显
祖冲之（429—500年），我国杰出的数学家、科学家。南北朝时期人，汉族，字文远。生于宋文帝元嘉六年，卒于齐昏侯永元二年。祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县）。为避战乱，祖冲之的祖父祖昌由河北迁至江南。祖昌曾任刘宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖冲之的父亲也在朝中做官。祖冲之从小接受家传的科学知识。青年时期进入华林学省，从事学术活动。一生先后任过南徐州（今镇江市）从事史、公府参军、娄县（今昆山市东北）令、谒者仆射、长水校尉等官职。其主要贡献在数学、天文历法和机械三方面。
从东晋到南北朝的这段历史时期内，由于经济文化生活的迅速发展，科学也获得了前所未有的进步。在这一时期，出现了许多杰出的科学家，祖冲之便是其中最为杰出的人物之一。
祖冲之生活的年代在南朝宋、齐之间。当过，南徐州从事史公府参军等职，祖冲之的故乡范阳在西晋末年的战乱中遭到破坏，他全家随北方居民一起迁居到江南。据《隋书》记载，他的祖先有几代人研究历法，祖父祖昌当过刘宋王朝的大匠卿，是管理土木建筑工程的官，也懂一些科学技术。祖冲之生长在科技世家，从小受到良好的家庭教育，对自然科学、文学和哲学都有浓厚的兴趣，尤其喜欢数学、天文学和机械制造等。
青年时期的祖冲之一面苦心钻研、继续家学，一面学习古人的科学成就。他饱览群书，兼学百家，为后来的科研工作奠定了深厚的基础。在一生当中，祖冲之虽然也曾担任过一些官职，但他却更热衷于科学，几十年都孜孜不倦地从事科学研究。他还重视实践，批判地接受前人的科学遗产。经过勤勉的工作，祖冲之对前人的研究仔细推敲、驳正错误，推导出了许多极有价值的科学成果。
祖冲之对我国科学事业的最大贡献，就是对圆周率值的计算精确到了小数点后的第六位。圆周率的计算，对于现代人来说已不算是数学上的什么大问题了，但在15世纪以前，许多国家的数学家都曾寻找更加精确的圆周率。因此，圆周率的精确程度可以看做是衡量一个国家数学发展水平的重要标志。
在圆周率的近似计算方面，当古希腊数学家将圆周率算到3.1416时，我国还停留在“古率”为3上面，而且一直沿用到汉代时，圆周率的计算才为较多的数学家所注意。刘歆所算得的圆周率为3.1547或3.166，有效数字仅为3.1。数学家刘徽的计算在中国数学史上给圆周率的计算打下了坚实的基础，而在这个基础上建造大厦的巨匠便是祖冲之。
祖冲之利用刘徽的计算方法，对圆周率进行了更为细密深入的计算。他通过计算内接正1536边形的面积，算出圆周率为3.1416，这在当时已经是够精确的了。但是，祖冲之并不满足于这一成就，而是进一步提出了3.1415926＜π＜3.1415927。
祖冲之一下子就把圆周率的精确度提高了一万倍，而且他用不足和过剩近似值表示无理数值的变化范围更是十分了不起的，这也正是现代关于无理数表示的一个基本方法。而欧洲一直到1573年才得到这一数值，比祖冲之要晚上一千多年。
祖冲之还为后人留下了一本数学专著——《缀术》。这部书内容博大精深，十分精彩。祖冲之去世后，他的儿子又将自己的研究成果添加进去，续写了《缀术》。可惜的是，这部很有价值的科学著作在北宋中期就散失了，现在只能从历代有关文献和评论中找到一些线索。
在唐朝时期，《缀术》曾被国立学校列为必读的教材，要学习四年，是学习期限最长的“算书”，由此可见《缀术》一书的内容之深奥。中世纪的朝鲜和日本的一些学校中，《缀术》也都被列为必读的书籍之一。
祖冲之还创造了“开差幂”、“开差立”等算法。“开差幂”是已知长方形的面积及长宽之差求其长及宽。“开差立”是已知长方体的体积及最短棱与其他两棱之差求其长、宽、高。这分别相当于解二次方程x（x＋a）＝A和三次方程x（x＋a）（x＋b）＝V。他还和儿子祖暅一道，在世界上最早发现了“等积原理”。
祖冲之在天文历法方面也有很多创造性的贡献。他发现当时通行的《元嘉历》有三大错误，于是他上书宋孝武帝，建议采纳他编制的《大明历》。这部《大明历》是他经过长年观测天象和认真分析研究，精密而科学地推算出来的，它开辟了历法史的新纪元。遗憾的是，这套先进的历法遭到保守权臣的百般诋毁和阻挠。祖冲之不畏强权，据理辩争，写出了著名的《驳议》。这篇理直气壮的论文，将保守派的谬论驳得体无完肤，反映了祖冲之不畏权势敢于坚持真理的高贵品质，也显示了他横生洋溢的才华。但宋朝统治者始终未能采用《大明历》，直到祖冲之死后10年，在他儿子祖暅的再三推荐之下，梁武帝才批准施行，一直沿用了80年。
除了在数学和天文学方面的成就，祖冲之在机械方面还有许多贡献。他曾经发明了指南车，这辆车无论怎样行走转动，车上铜人的手总是指向南方。他还发明过水礁（磨）、千里船等。祖冲之对古代的经典著作还多有涉猎，他曾论述或注释过《易经》《老子》《庄子》《论语》等。他甚至还写过小说，并且精通音乐。祖冲之确实可称得上是一位博学多才的科学家。
祖冲之的科学成就，在我国的科学技术发展史上将永放光芒，他的卓越贡献也已经被载入了世界科学史的史册。20世纪60年代初，人类第一次发现的月球背面的一个环形山谷，于是就以“祖冲之”的名字来命名。
◎故事感悟
祖冲之勤于治学，善于分析思考。他治学态度严谨，博访前故，远稽昔典，搜集自古以来的大量文献资料和观测记录，并对之进行系统深入的分析研究，从前人的科学思想和成就中吸收了丰富的营养。他不虚推古人，富于批判的精神和探索的勇气。他在掌握大量资料的同时，坚持实际考核验证，既发扬了前人的成就，又纠正了前人的错误，用心求索，攻克了一个又一个科学难关。他这种精益求精、勇于探索的精神也是科学家和发明家所应具备的宝贵品质。
◎史海撷英
祖冲之引入岁差
祖冲之在历法研究上的一项重大成就，就是第一次应用了“岁差”。
根据物理学的原理，物体在做旋转运动时，如果丝毫不受外力影响的话，旋转的方向和速度应该是保持一致的；相反，如果受到了外力影响，它的旋转速度就要发生周期性的变化。而地球就是一个表面凹凸不平、形状不规则的刚体，在运行时经常受到其他星球吸引力的影响，因而它的旋转速度也总要会发生一些周期性的变化，不可能保持绝对的均匀一致。因此，每年太阳运行一周（实际上是地球绕太阳运行一周），也就不可能完全回到上一年的冬至点上，总要相差一个微小的距离。按现在天文学家的精确计算，大约每年会相差50.2秒，每71年8个月向后移一度。这种现象就是岁差。
随着天文学的发展，我国古代科学家们也渐渐发现了岁差的现象。西汉的邓平、东汉的刘歆、贾逵等人，都曾经观测出冬至点后移的现象。不过，他们那时候都没有明确地指出岁差的存在。
到了东晋初年，天文学家虞喜才开始肯定岁差现象的存在，并且首先主张在历法中引入岁差。他给岁差提出了第一个数据，算出冬至日每50年退后一度。到了南朝宋的初年，何承天认为岁差为每100年差一度，但他在他所制定的《元嘉历》中并未应用岁差。
祖冲之在继承前人科研成果的基础上，不仅证实了岁差的存在，而且还算出岁差是每45年11个月后退一度，并在他制作的《大明历》中应用了岁差。由于所依据的天文史料不够准确，所以他提出的数据也不可能十分准确。尽管如此，祖冲之还是将岁差应用到了历法当中，这在天文历法史上是一个创举。
到了隋朝以后，岁差才逐渐为更多的历法家所重视了，像隋朝的《大业历》、《皇极历》中，都曾应用了岁差。
◎文苑拾萃
大明历
大明历也称“甲子元历”，是南北朝时期的一部先进的历法，为祖冲之所创制。
大明历成历于刘宋大明六年（462年），祖冲之时年33岁。大明历规定，一回归年为365.2428日。这也是我国赵宋统天历（1199年）以前最理想的一个数据。在制历时，祖冲之首先考虑到了岁差。
所谓“岁差”，也就是地球在运行过程中受到其他天体的吸引作用，地球自转轴的方向发生缓慢而微小的变化。因此，从这一年的冬至到下一年的冬至，从地球上看，太阳并没有回到原来的位置，而是岁岁后移。这也就会引起二十四节气位置的变动。
祖冲之经过研究，确定地球自转每45年11个月差一度，这个“岁差值”虽然不是很精确，但引进“岁差”编制历法却让历法有了更为科学的基础，而且在天文学中“回归年”和“恒星年”两个概念被区分开来。
大明历也是我国历法史上的第二次大改革。祖冲之将天文学家何承天提出的旧历中每19年7闰改为每391年144闰，使之更符合天象的实际。在我国首次求出历法中通常称为“交点月”的日数为27.21223日，与近代测得的数据（27.21222）极其相近。所谓“交点月”，就是月亮在天体上运行的路线有两个交点（也叫黄白交点），月亮两次经过同一交点的时间叫交月点。
历成后，上表给宋孝武帝刘骏，却遭到了宠臣戴法兴之流的压制和反对。祖冲之所著的《历议》一文也被驳斥。祖冲之死后10年，即天监九年（510年），该历法才得以施行，并沿用达80年之久。
