所以:d=|Ax0+By0+C|A2+B2(至此问题2已经解决)
公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2的完善。
容易验证(由学生完成):
当A=0,即L⊥y轴时,公式成立;
当B=0,即L⊥x轴时,公式成立;
当P点在L上时,公式成立。
公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2结构特点
师生一起总结:
(1)分子是P点坐标代入直线方程;
(2)分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根。
类似于勾股定理求斜边的长
三、检测与巩固
练习1
(1)P(-2,3)到直线的距离是。
(2)P(2,-3)到直线x+2y+4=0的距离是。
(3)用公式解P到直线2x+y-10=0的距离是。
(4)P(-1,1)到直线3x=2的距离是。
订正答案:(1)5;(2)0;(3)25;(4)53。
练习2
1.求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。
解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,如P(3,0),则两平行线的距离就是点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离。
因此,d=|2×3-7×0+8|22+(-7)2=1453=145353
问题3:
两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢?求两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离。
解:在直线上Ax+By+C1=0任取一点,如P(x0,y0)
则两平行线的距离就是点P(x0,y0)到直线Ax+By+C2=0的距离,(如图2)。
因此,d=|Ax+By+C1|A2+B2=|-C1+C2|A2+B2=|C1-C2|A2+B2
注意:用公式时,注意一次项系数是否一致。
四、小结作业
1.点到直线的距离公式及其推导;
师生一起总结点到直线距离公式的推导过程:|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2
2.利用公式求点到直线的距离。
3.探索两平行直线的距离
4.探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离。
作业:P54 13、14、16思考研究:运用多种方法推导点到直线的距离公式。
【习题精选】
1.k1k2+1=0是两条直线l1,l2互相垂直的()。
(A)充分但非必要条件
(B)必要但非充分条件
(C)充要条件
(D)既不是充分条件也不必要条件
2.若两条直线2x-y+a=0和x-12y+b=0平行,则a和b的取值可能是()。
(A)a=2,b=1(B)a=52,b=54
(C)a=0,b=0(D)a=7,b=3
3.直线nx-y=n-1与ny-x=2n的交点在第二象限,则实数的取值范围是。
4.过点(-1,4),且与原点距离等于1的直线方程式是。
5.△ABC点A(3,6),B(-1,5),C(1,1),求BC边上的高所在直线的方程。
6.求直线l1:x-y-5=0,l2:4x-y-11=0,l3:2x+y-7=0所围成的三角形的面积。
7.三角形的一个顶点为(2,-7),由其余顶点分别引出的高线和中线分别为3x+y+11=0,x+2y+7=0。求三角形三边所在直线的方程。
8.一条直线l点P(2,3)且和两条直线l1:3x+4y+8=0和l2:3x+4y-7=0相交于A、B两点,且|AB|=32,求直线l的方程。
9.已知:x-y+cn=0,c1=2,且c1<c2<……<cn(n∈N),这n条平行线中相邻两条间的距离顺次为2,3,4,……,n。
(1)求cn
(2)求x-y+cn=0与x=0,y=0,这三条直线围成的三角形的面积Sn。
(3)证明直线x-y+cn-1=0,x-y+cn=0分别与直线x=0,y=0围成的两个图形的面积之差等于n3。
(4)设Tn=1×2S1+2×3S2+…+n×(n+1)Snn×(n+1)Sn,求Tn
参考答案:
1.A;2.D;3.0<n<12;4.x=-1和15x+8y-17=0;5.x-2y+9=0;6.3;7.4x+3y+13=0 7x+9y+19=0,x-3y-23=0;
8.x-7y+19=0或7x+y-17=0;
9.(1)n1+n2;(2)n(n+1)24;(3)略;(4)4-4n+1。
【典型例题】
例1已知点A(-1,3),B(3,1),点C在坐标轴上,且∠ACB=90°,则满足条件的点C的个数是()
(A)1(B)2(C)3(D)4
略解:点C在坐标轴上,可有两种情况,即在x轴或y轴上,点C的坐标可设为(x,0)或(y,0)
由题意,∠ACB=90°,直线AC与直线BC垂直,其斜率乘积为-1,可分别求得x=0或2,y=0或4,所以满足条件的点的坐标为(0,0),(2,0),(0,4)。
说明:①本题还可以有另外两种解法:一种是利用勾股定理,另一种是直角三角形斜边AB与y轴交点D恰为斜边AB中点,则由D到A、B距离相等的性质可解。②本题易错,可能只解一个坐标轴;可能解方程时漏解;也可能看到x、y各有两解而误以为有四点。
例2已知△ABC的一个定点是A(3,-1),∠B、∠C的平分线分别是x=0,y=x,求直线BC的方程。
分析:利用角平分线的轴对称性质,求出A关于x=0,y=x的对称点,它们显然在直线BC上。
解:A(3,-1)关于x=0,y=x的对称点分别是(-3,-1)和(-1,3),且这两点都在直线BC上,由两点式求得直线BC方程为2x-y+5=0。
例3求经过两条直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点,并且垂直于直线3x+4y-7=0的直线的方程。
略解一:解得两直线2x+3y+1=0和x-3y+4=0的交点为(-53,79),由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为43,进而所求直线方程为4x-3y+9=0。
略解二:设所求直线方程为4x-3y+m=0,将所求交点坐标(-53,79)代入方程得m=9,所以所求直线方程为4x-3y+9=0。
略解三:所求直线过点(-53,79),且与直线3x+4y-7=0垂直,所以,所求直线方程为
4(x+53)-3(y-79)=0
即4x-3y+9=0。
略解四:设所求直线得方程为
(2x-3y+1)+m(x-3y+4)=0
即(2+m)x+3(1-m)y+1+4m=0(1)
由于该直线与已知直线3x+4y-7=0垂直
则3(2+m)+4·3(1-m)=0
解得m=2
代入(1)得所求直线方程为4x-3y+9=0。
例4在△ABC中,BC边上的高所在的直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标。
解:解直线x-2y+1=0和直线y=0的交点得(-1,0),即A的坐标为(-1,0),
∴kAB=2-01+1=1,
又∵轴为∠BAC的平分线,
∴kAC=-kAB=-1
又∵直线x-2y+1=0为BC边上的高,由垂直得,
kBC=-2
设C的坐标为(a,b),则ba+1=-1,b-2a-1=-2,
解得a=5,b=-6,
即C的坐标为(5,-6)
例5已知定点A(3,1),在直线y=x和y=0上分别求点M和点N,使△AMN的周长最短,并求出最短周长。
分析:由连接两点的线中,直线段最短,利用对称,把折线转化为直线,即转化为求两点间的距离。
解:如图1,设点A关于直线y=x和y=0的对称点分别为B(1,3),C(3,-1)
∵|AM|+|AN|+|MN|=|BM|+|CN|+|MN
又|BM|+|CN|+|MN|≥|BC
周长最小值是:|BC|=25
由两点式可得BC方程为:
2x+y-5=0
而且易求得:M(53,53),N(52,0)
此时,周长最短,周长为25
例6已知实数a,b满足a+b=1,求证:(a+2)2+(b+2)2≥252。
简解:本题的几何意义是:直线a+b=1上的点(a,b)与定点(-2,-2)的距离的平方不小于252。因为直线外一点与直线上任一点连线中,垂线段距离最短,而垂线段的长度即距离d=|-2-2-1|12+12=52,
所以(a+2)2+(b+2)2≥52,即。(a+2)2+(b+2)2≥252
说明:本题应为不等式的题目,难度较大,证明方法也较多,但用解析几何的方法解决显得轻松简捷,深刻地体现了数形结合的思想。
例7在平面直角坐标系中,∠xOA=α,π2<α<π,点B在OA上|OA|=a,|OB|=b,(a>b>0),试在x轴的正半周上求一点C,使∠ACB取得最大值。
分析:要使最大,只需最大,而是直线到直线的角(此处即为夹角),利用公式可以解决问题。
解:如图2,设点C(x,0)(x>0)
∵∠xOA=α,|OA|=a,|OB|=b,
∴A(acosα,asinα),
B(bcosα,bsinα),
于是直线CA、CB的斜率分别为:
kCA=tan∠xCA=acosαacosα-x,
kCB=tan∠xCB=acosαacosα-x。
∴tan∠ACB=kCB-kCA1+kCBkCA=bsinαbcosα-x-asinαacosα-x1+absin2α(bcosα-x)(acosα-x)
=bsinα(acosα-x)-asinα(bcosα-x)(bcosα-x)(acosα-x)+absin2α
=(a-b)x sinαab-(a+b)x cosα+x2
=(a-b)sinαabx+x-(a+b)cosα
∵abx+x≥2ab
∴tan∠ACB≤(a-b)sinα2ab-(a+b)cosα
当且仅当abx=x即x=ab,C点的坐标为(ab,0),由π2<α<π可知∠ACB为锐角,所以此时∠ACB有最大值arctan(a-b)sinα2ab-(a+b)cosα。
说明:本题综合性强,是三角、不等式和解析几何知识的交汇点。另外本题也是足球射门最大角问题的推广。