【教学目标】
一、理解不等式的性质，掌握不等式各个性质的条件和结论之间的逻辑关系，并掌握它们的证明方法以及功能、运用；
二、掌握两个实数比较大小的一般方法；
三、通过不等式性质证明的学习，提高学生逻辑推论的能力；
四、提高本节内容的学习，培养学生条理思维的习惯和认真严谨的学习态度；
【教学建议】
一、教材分析
（1）知识结构
本节首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了5个定理和3个推论，并给出了严格的证明。
知识结构图
（2）重点、难点分析
在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。
不等式的性质是穿越本章内容的一条主线，无论是算术平均数与几何平均数的定理的证明及其应用，还是不等式的证明和解一些简单的不等式，无不以不等式的性质作为基础。
本节的重点是比较两个实数的大小，不等式的5个定理和3个推论。难点是不等式的性质成立的条件及其他的应用。
①比较实数的大小
教材运用数形结合的观点，从实数与数轴上的点一一对应出发，与初中学过的知识“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”利用数轴可以比较数的大小。
指出比较两实数大小的方法是求差比较法：
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号。
②理清不等式的几个性质的关系
教材中的不等式共5个定理3个推论，是从证明过程安排顺序的。从这几个性质的分类来说，可以分为三类：
（Ⅰ）不等式的理论性质：a＞bb＜a（对称性）
a＞bb＞ca＞c（传递性）
（Ⅱ）一个不等式的性质：a＞ba+c＞b+c
当c＞0时，a＞bac＞bc；
当c＜0时，a＞bac＜bc
a＞b＞0an＞bn(n∈N，n＞1)
a＞b＞0na＞nb．(n∈N，n＞1)
（Ⅲ）两个不等式的性质：a＞bc＞da+c＞b+d
a＞b＞0c＞d＞0ac＞bd
二、教法建议
本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力。为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础。
授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式。通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点，再由讲授形式解决疑问。（即：解疑）。主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑。
教学过程可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理。采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路，解决一些较简单的证明题。
【教学设计示例】
第一课时
教学目标
1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；
2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；
3．强调数形结合思想.
教学重点：比较两实数大小
教学难点：理解实数运算的符号法则
教学方法：启发式
教学过程
一、复习回顾
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。
若a＞b，则a-b是正数；逆命题也正确。
类似地，若a＜b，则a-b是负数；若a=b，则a-b=0.它们的逆命题都正确。
这就是说：（打出幻灯片1）
a＞ba-b＞0
a=ba-b=0
a＜ba-b＜0
由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容。
二、讲授新课
1．比较两实数大小的方法——求差比较法
比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则。
比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号。
接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法。
2．例题讲解
例1比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小。
分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小。
解：(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)
=（a2-2a-15)-(a2-2a-8)
∴(a+3)(a-5)＜(a+2)(a-4)
例2已知x≠0，比较（x2+1）2与x4+x2+1的大小。
分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略。
解：（x2+1)2-(x4+x2+1)
=x4+2x2+1-x4-x2-1
=x2
由x≠0得x2＞0，从而
（x2+1）2＞x4+x2+1
请同学们想一想，在例2中，如果没有x≠0这个条件，那么比较的结果如何？
［学生回答：若没有x≠0这一条件，则x2≥0，从而(x2+1)2大于或等于x4+x2+1］
为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习。
三、课堂练习
1．比较(x+5)(x+7)与(x+6)2的大小。
2．如果x＞0，比较（x-1）2与（x+1）2的大小。
3．已知a≠0，比较（a2+2a+1)(a2-2a+1与(a2-a+1)(a2-a+1)的大小。
要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目。
课堂小结
通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则，掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小。
课后作业
习题6.11，2，3。
板书设计
§6.1.1不等式的性质
1．求差比较法
例1学生板演
例2学生板演
第二课时
教学目标
1．理解同向不等式、异向不等式概念；
2．掌握并会证明定理1，2，3；
3．理解定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，定理3是移项法则的依据；
4．初步理解证明不等式的逻辑推理方法。
教学重点：定理1，2，3的证明的证明思路和推导过程
教学难点：理解证明不等式的逻辑推理方法
教学方法：引导式
教学过程
一、复习回顾
上一节课，我们一起学习了比较两实数大小的方法，主要根据的是实数运算的符号法则，而这也是推证不等式性质的主要依据，因此，我们来作一下回顾：
学生回答：a＞ba-b＞0
a=ba-b=0
a＜ba-b＜0
这一节课，我们将利用比较实数的方法，来推证不等式的性质。
二、讲授新课
在证明不等式的性质之前，我们先明确一下同向不等式与异向不等式的概念。
1．同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如：a2+2＞a+1，3a2＞2a是同向不等式。
异向不等式：两个不等号方向相反的不等式。例如：a2+3＞2a，a2＜a-5是异向不等式。
2．不等式的性质：
定理1：若a＞b，则b＜a
，若b＜a，则a＞b，即a＞bb＜a
定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向。在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性。
证明：∵a＞b，
∴a-b＞0
由正数的相反数是负数，得
-(a-b)＜0
b-a＜0
∴b＜a
说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用。
定理2：若a＞b，且a＞c，则a＞c。
证明：∵a＞b，b＞c
∴a-b＞0，b-c＞0
根据两个正数的和仍是正数，得
(a-b)+(b-c)＞0
a-c＞0
∴a＞c
说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数。
定理3：若a＞b，则a+c＞b+c
定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向。
证明：∵（a+c)-(b+c)
=a-b＞0
∴a+c＞b+c
说明：（1）定理3的证明相当于比较(a+c)与(b+c)的大小，采用的是求差比较法；
（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若a+b＞c，则a+b+(-b)＞c+(-b)即a＞c-b。
定理3推论：若a＞b，且c＞d，则a+c＞b+d。
证明：∵a＞b，
∴a+c＞b+c①
∵c＞d
∴b+c＞b+d②
由①、②得a+c＞b+d
说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；
（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；
（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；
（4）定理3的逆命题也成立。（可让学生自己证）
三、课堂练习
1．证明定理1后半部分；
2．证明定理3的逆定理。
