胜吉十九年九月二十六，由于有了昨日的铺垫，沈方干脆在草庐中支起了黑板，给沈披、沈括及三个兄弟讲起了数学和音乐。
若说“理生气并寓于气中”、“理在气先”的最佳证据，非数学和音乐莫属。
沈方在昌国技术学院培训过大工基本的数学，其讲稿被收集起来，供沈披、沈括及沈家子侄学习，对于用数字计数及基本的四则运算，沈德等人已颇为熟悉，沈方快速复习一遍后，开始引入代数和方程的概念。用抽象的符号来代替数字，使难度一下子上升了许多，沈披、沈括自己可以很快适应，但沈德、沈封、沈朗三个兄弟却直挠头。沈方只好把x、y这些符号换成一筐苹果、一篮梨等，等三个兄弟熟悉了方程式后，再用x、y这些字母将具象化的苹果和梨取代回来。
“a、b、c、d、x、y这些符号仅仅代表一个数而已，大家死记住就行了。”沈方轻吐一口气，开始介绍一些最基本的最基本的几何定理。欧式几何从二十六个定义，五个几何公理，五个一般公理开始，由这十条公理推导出整个庞大的欧几里得体系。很显然《几何原本》并不适合沈德这样的小孩子学习，其严密的逻辑适合数学家去学习研究，一般人只需要学会使用其中的定理即可。
“勾股定理大家知道吗？”
“勾三、股四、弦五。”沈德大声说道。
“这是勾股定理的特例，”沈方一边点头，一边随手在黑板上画了一个直角三角形。“勾股定理是指直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。”
“那么，如何勾股定理如何证明呢？”
“通过青朱出入图。”沈括当然知道证明方法，便在黑板上直角三角形的基础之上，以长、短边各画了两个正方形，并注明青方、朱方，然后再以斜边画了一个正方形与两个小正方形相交。正方形相交部分，割出来六个大小不等的三角形，沈括将两个小正方形被割出的部分补进大正方形空下的部分，刚好补满。
沈括采取的方法是是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，通俗易懂，沈德等三人看了一会儿，终于看懂了，每个人都兴奋起来。
“勾股定理的证明方法有几百种，刚才爹爹用的是几何证明法，我这里也有一个几何证明法，乃是一名姓毕的数学家所发明。”
“可是毕昇的族人？”沈披问道。
沈方一愣，倒是没想到沈披会联想到前日提过的毕昇，“大伯，这毕氏却不是我华夏之人，乃是与孔圣人同一时期，极西之欧罗巴洲希腊国之人，全名叫毕达格拉斯，这毕氏认为世界皆可以用数字来描述，并把音乐当做数学的应用，用来展示数字的完美。当初，他发现并证明勾股定理后宰杀了一百头公牛来感谢神灵赐予灵感。”
小孩子们“哇”地叫出声来，不知道是赞叹毕氏的大手笔，还是惊讶于毕氏的残忍。
沈方在黑板上面了一个直角三角形，并顺着两条直角边延长至两条直角边之和的长度，并以这个长度画了一个正方形。然后再延着这个大正方形内侧画了三个与原来直角三角形相同的三角形，并构成了风车的形状。
“大家看，四个三角形的斜边正好构成一个正方形，这个面积就是斜边的平方，”沈方将四个三角形两两对应，形成两个长方形，并用这两个长方形，在大正方形里围成一大一小两个正方形，“大家看，这两个小正方形正好各是两条直角边平方。”
这个方法直观明确，比刚才沈括介绍的青朱出入图更容易理解，孩子们一下便看明白了，就连沈披、沈括也赞叹道，“果然巧妙，值一百头公牛。”
“上面两个是几何图形证明法，我再给大家介绍两个计算推理方法。”
沈方在刚才毕氏证明方法的图之上，标清a、b、c，其中a、b是直角边，c是斜边。
“这个大正方形的面积等于（a+b）的平方，同时也等于四块小三角形加中间小正方形的平方。三角形的面积公式刚才讲了是a乘b除以2，那么大家看这个方程式。”
沈方在黑板上写下：
1/2（a*b）*4+c^2=（a+b）^2
2ab+c^2=a^2+2ab+b^2
最后沈方将等式两边的2ab划掉，说道，“把两边的2ab删掉，正好得到两边长的平方之和等于斜边的平方。”
沈披和沈括看得很清楚，包括其中的计算过程也非常简单，他们竟然看呆了，孩子们也发出惊叹声，“这么简单！？”
“发明这个证明方法的人后来成了一个国家的国王，他的名字叫加菲尔德，也是很远地方的外国人。”
“还有一个方法吗？！”沈括有些急切得问道。
“最后再讲一个方法，也很巧妙，发明这个方法的是一个十二岁的外国少年，名字叫爱因斯坦。”沈方没有提加菲尔德和爱因斯坦的年代，也没有办法提，只好让孩子们认为同样是古人。
沈方在黑板上面画了一个大点的直角三角形，并将两条直角边标上a、b，将斜边标上c。然后将每条边对应的顶点，标上大写的ABC，然后从C点，向AB边画了一条垂线，与AB边相交，交点标明为D点。
“从直角的这个点，C点向斜边画一条垂线，这时形成两个小三角形，三角形ACD和三角形BCD，这两个三角形和三角形ABC是相似三角形。根据相似三角形的性质，不同相似三角形各边的比例相同，可以得到以下公式。”
沈方在黑板上写下：
AB/AC=AC/AD
AB/BC=BC/BD
AC^2=AB*AD
BC^2=AB*BD
AC^2+BC^2=AB*AD+AB*BD=AB*(AD+BD)=AB^2
“AC和BC分别是两条直角边b和a，AB是斜边c，两边长的平方之和等于斜边的平方。“
虽然这个证明方法比加菲尔德证明方法稍难一点，但是只要认真看清楚线段之间的对应关系，还是很容易就理解了，这个证明方法只添加了一条垂线，便用纯代数的方法证明了勾股定理，让沈括、沈披两人对爱因斯坦这个小孩子产生了兴趣。
“此子十二岁便有如此急智，日后必不可限量，他后来有什么成就？”沈括问道。
“他吗？”沈方犹豫了一下，还是决定稍微提一下，“爱因斯坦提出了一个有名的公式，能量等于质量乘以光速的平方。”
“光还有速度？”这下小孩子们都有了疑问。
“有，一秒几十万里，太阳离地球很远，太阳光到地球大约要走八分十三秒。”
“这么高的速度还有平方，那岂不是能量将非常大。”
“爱因斯坦的这个公式只对少数情况有用，比如太阳，太阳为什么能有巨大的能量，便是因为太阳内部发生剧烈的反应，损失了许多质量，从而释放出能量。”
“那太阳如果损失质量太多，那会有什么结果。”
“太阳最终也会毁灭，不过在太阳毁灭之前，地球早就被烧没了。”
沈披、沈括还有几个孩子都无法接受太阳和地球迟早将要毁灭的事实。
“那我们怎么办？”沈德问道。
“还得十几亿年呢。人类历史也不过几万年，再过几万年，整个人类就消失了，何必考虑这么多。”
“几万年？不是说还有十几亿年吗？”沈括喃喃道。
“益州路、吐蕃、河东路等地都由盆地构成，那盆地可不是天生就有的，是由太阳的小行星撞击而成。每一次撞击便足以毁灭地球上绝大多数生物，并将太阳遮蔽，进入冰河时期，地球历史上这样的文明已经历过许多次。以后，地球同样会遭遇到足以毁灭所有生物的撞击，只不过这个时间足够长，长到人类无需担忧。人类最需要担心还是自己，特别是战争。昌国现在开发的武器威力已经无敌于天下，但是为了争夺资源和土地，迟早会出现一次足以毁灭一座城市的武器，为了避免这种情况的出现，就需要将华夏文明泽被全世界，让所有的资源和土地都得到有序的控制，只有这样才能避免更大的灾难。”
沈方骇人听闻之言并没有加深沈括等人的恐惧，他们的脑海中现在已经被冷冰冰的现实挤占，原来不仅人身是短暂、脆弱的，甚至连地球和太阳都不是永恒的。
过了许久，沈德才苍白着小脸问道，“三哥，你不害怕吗？”
“我刚开始听说时，也害怕过，后来习惯了就不害怕了。我们能把这一辈子活得精彩已经足够，何必考虑几百年、上千年之后的事呢？”
沈德重重地点了点头，沈封、沈朗也相视一眼，从对方眼中看到了一丝轻松。
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残酷的现实没有人愿意面对，但是万物生住坏空，也是理的一部分，如果能深入理的真谛，获得了精神世界的自由，物质世界的毁灭又有何防？沈披、沈括用理气论来说服自己，稳固略微松动的思绪，反到是几个小孩到草庐外面跑闹了半个小时，呼吸了新鲜空气之后，把不愉快的事通通忘在了脑后。
“大家知道声音是什么吗？”
“声音？不就是耳朵听到的声音吗？有什么好说的？”沈德问道。
沈方知道这个时代的人根本无法深入思考声音产生的原因，便直接说道，“声音的本质是物体的振动。人之所以能听到声音，是因为物体振动后，引起空气的振动。大家现在应该知道空气中有各种分子，这些分子会因物体振动，在声音的传播方向发生波动，最后使耳朵内部的耳膜发生振动，使人听到声音。”
“因为所有物体的振动都会发出声音，所以耳朵听到的是各种嘈杂的声音。在这些噪音中，有一些特殊的声音，我们称之为乐音。”
“五弟，有哪些乐音，你知道吗？”
“宫商角徵羽！”沈德朗声回答道。
“那这些声音是怎么确定的？”
沈德沉默了。
“通过三分损益法。”沈括说道。
“商角徵羽，四音是根据宫音通过损益方法确定的。但宫这个原始音如何确定？”
“此音本来如此！”
“宫此音，古今中外无数乐师都把同样的音高认做是宫音，这确实是一种巧合，看来人类对美好的声音有相同的感知。”沈方点头道，“乐音也是物体的振动，振动频率越快，音越高。以古琴为例，相同的材质弦越长，频率越慢，音越低；弦越短，频率越快，音越高。假设在一把古琴之上，拨动此弦，其声音频率是100，那么当它的弦长减少为一半时，它的频率将变成200，这时拨动频率为100的弦，频率为200、400、800的弦会发生共振。很显然，每一个频率，都会有这种翻倍的频率组合，但只有频率为261.6的声音才是乐师们共同认定的标准的宫音。”
“频率261.6至可以与之发生共鸣的523.2之间称之为一个八度。宫商角徵羽就是此八度中间的五个标准的声音。乐师们在长期的实践中，发现频率之比为2比1，3比2，4比3时，不同的乐音组合弹奏起来更加悦耳。2比1就不必说了，一个八度，可以形成共鸣。那么为什么3比2，4比3更加悦耳呢？这是由频率的性质所决定的。”
“昌国技术学院曾经有一节课是关于钟摆规律的，我只说出结论。钟摆的快慢和钟摆的重量、幅度无关，只和钟摆的长短有关，频率有同样的规律。”沈方在黑板上面画了一个正弦波的图形，“大家看上面这个图形，这个图形模拟钟摆的一次摆动，同时也模拟了声音的一次振动。所谓频率为261.6，就是指在一秒钟以内振动了261.6次。很明显，波长越长，频率越低，波长越短，频率越高。”
“根据这个特性，我们在黑板上的这个频率内部，画比这个频率高一倍的频率波形，可以清楚地看到频率在横线上有重合的部分。而比这个频率高2分之一的波形，就是现在这个，原频率有一次波峰、一次波谷，而新频率有两次波峰、一次波谷，频率在横线上也有重合的部分。比这个频率高3分之一的波形，就是这个，原频率有两次波峰、一次波谷，而新频率有两次波峰、两次波谷，频率在横线上也有重合的部分。”沈方一边在黑板上画图形，一边讲解。
“当然5比4、6比5也可以画出这样的图形，但在实际实用中，有3比2、4比3的规律就足够用了。”
