2人们走进花园，第一个人摘下一个石榴，第二个人摘二个，第三个人摘三个，以此类推，即给每一个人增加一个。当所有的石榴刚好摘完后平均分配，每人得到六个石榴。请问人数是多少？
3有两棵棕榈树垂直于地面，其中一棵高20肘，另一棵高25肘，这两棵树之间的距离是60肘。它们之间有一条河或水池。在每一棵棕榈树上停留一只鸟，它们看见水中有一条鱼，于是都向着鱼的方向用相同的速度沿直线飞去，同时获得了鱼。它们飞行相遇在两树根之间的直线上。我们想要求出：每一只鸟飞行了多少时间，以及它们原来的地点与相遇地点之间的距离，也就是鱼的所在地与每棵树根之间的距离。
(三)代数学
公元820年，花拉子模写了一本《代数学》。它的阿拉伯文书名是《ilm al-jabr wa’lmuqabalah》。比较流行的一种说法认为现在西文中代数学一词algebra由此书名中的al－jabr脱胎而来。al－jabr原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端变成正项，方程才能平衡。muqabalah意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去相同的项或合并同类项。书名直译应为《还原与对消的科学》。al－jabr译成拉丁文是algebra，而muqabalah被省略了，algebra则逐渐成为代数学这门科学的名称。这一名称的起源完全符合代数学本身的特点。代数的基础就是脱离具体数字以一般的形式来考虑算术运算，它的课题首先是提出解方程的变形规则。花拉子模正是以某种变形规则的名称来为自己的书命名，从而体现了代数学的真髓。
《代数学》用十分简单的例题讲述了解方程的一般原理。它的条理清楚、通俗易懂。正象花拉子模在序言中所说：“在这本小小的著作里，我所选取的材料是数学中最容易和最有用途的。是人们在处理下列事物中经常需要的：在继承遗产、分配财产、审理案件、商品交易，以及丈量土地、挖掘沟渠等各种场合中，……”《代数学》由三部分组成：第一部分讲述现代意义下的初等代数，第二部分论及各种实用算术问题，最后一部分(也是最大的一部分)列举了大量的关于继承遗产的各种问题。
在第一部分里，花拉子模系统地论述了六种类型的一次和二次方程的解法。这些方程由下列三种量构成：根、平方、数。根相当于现在的未知数x，平方就是x2，数是常数项。《代数学》完全用文字叙述，没有出现任何字母和缩写符号。为了表达方便起见，我们同时用现代的符号来表示这六种方程：
1平方等于根ax2=bx
2平方等于数ax2＝c
3根等于数ax=c
4平方和根等于数ax2＋bx=c
5平方和数等于根ax2＋c＝bx
6根和数等于平方bx＋c＝ax2
《代数学》的前六章，依次讨论了上述六种类型方程的解法。例如，第四章有这样一个问题：“一个平方数及其根的十倍等于三十九”。此问题即方程：
x2＋10x＝39
花拉子模把求解过程叙述为：“取根数目之半，在这里就是五，然后将它自乘得二十五，同三十九相加得六十四，开平方得八，再减去根数的一半，即五，余三。这就是根。”
在第五章，花拉子模求出了方程x2+21＝10x的两个正根，这相当于指出我们现在称之为判别式的必须非负。
以上六种类型包括了具有正根的一次、二次方程的所有可能情形。作者的讲解是如此地详尽和系统，使读者很容易掌握其解法。在这种意义上，花拉子模后来被冠以“代数学之父”的称号。
从第七章开始，花拉子模转向方程的根的几何证明。
花拉子模的几何证明明显地受希腊几何学的影响，许多证明都可以在欧几里得《几何原本》的第Ⅱ篇中找到原型。
花拉子模之后，埃及学者艾布卡米尔首先继承了他的代数学并使之发扬光大。关于艾布卡米尔的生平，现在知道得很少。据有关传记材料记载，艾布卡米尔是伊斯兰文化全盛时期(9世纪中至11世纪)著名的数学家。他在算术、代数和实用几何方面都有很大贡献。
艾布卡米尔的一些数学手稿和译文已经保存下来，其中最重要的一部论著是大约写于公元900年的《代数书》。《代数书》问世后，在很长时间内被广泛利用，在传入西方各国之后产生很大影响，因此在数学史界被认为是艾布卡米尔硕果仅存的著作。
《代数书》主要讨论二次方程。艾布卡米尔继承了花拉子模关于二次方程的理论，并使之得到进一步的发展。书中有大量题目出自花拉子模的《代数学》。此外，艾布卡米尔还用相当大的篇幅研究那些不同类型的方程并给出多种解法。花拉子模的《代数学》中列举了40个问题，而艾布卡米尔的《代数书》中共有69个问题。
艾布卡米尔是第一个随意使用未知数的高次幂的伊斯兰数学家。在他的著作中，出现了直至x8的各次方幂(x7除外)。他称x3为“立方”，称x4为“平方平方”，称x5为“平方平方，根”，x6——“立方立方”，x8——“平方平方平方平方”。事实上，艾布卡米尔对这些方幂所采用的名称是按指数相加的原则施行的。
在《代数书》中，艾布卡米尔用大量篇幅阐述了代数运算法则。包括单项式、二项式及其他各种形式的代数运算。他还提出了求两个二次根式的和与差的一般运算法则。
有趣的是，这些公式又多次出现在后世数学家的著作中。例如，在11世纪阿拉伯数学家凯拉吉，印度12世纪数学家婆什迦罗，以及意大利著名数学家斐波那契的书中都出现了完全一样的公式。
艾布卡米尔不仅专门讨论了二次根式的运算法则，而且把这些结果运用到二次方程的理论中去。他所列举的方程，不仅根可以是无理数，而且方程的系数也可以是二次根式。他这样毫无顾忌地使用无理数，在花拉子模之后是绝无仅有的。正因为出现了无理数系数，而使解题过程十分复杂，艾布卡米尔也不得不放弃几何证明。《代数书》中，出现了许多十分高超的解题技巧和复杂的运算过程。
艾布卡米尔的代数著作在两个方面比花拉子模的《代数学》有明显的进步。一方面，理论水平有所提高。如前所述，艾布卡米尔不仅对各类方程的解法都指出其任意性，而且还十分注意用代数恒等式来化简方程，他还特别指出了代数恒等式的普遍意义。另一方面，艾布卡米尔的代数学更具有一般性。他引进了大量的繁琐的代数运算(也用文字叙述)，在具无理数系数的方程中，已放弃了几何解法，这无疑是一大进步。
艾布卡米尔的《代数书》问世后产生了重要的影响。传入欧洲后对宣传花拉子模的代数学起到很大作用。它的部分内容还被斐波那契收入其《实用几何》中，这是一部专门讨论代数在几何中的应用的著作。
继花拉子模、艾布卡米尔之后，另一个对代数学有重要贡献的是11世纪巴格达的学者凯拉吉。
凯拉吉以两部数学著作闻名于世。一本是《算术全书》，其中有关代数学的章节可以认为是他写于1010年的内容极其丰富的代数著作的序篇。这部代数书的书名是《发赫里》。根据凯拉吉的自述，他在写这本书的过程中，忍受着苛政与暴力的干预，久久未能完成。后来遇到一位有远见的执政者——发赫里，他是学术的庇护者。在他的支持下凯拉吉才写完了这本书。为了纪念这位恩主，就以他的名字来命名这本书。
《发赫里》包括卷头语和两大部分。在卷头语中，凯拉吉阐明了借助于已知量求未知量是代数学这门学科的宗旨。并指出，具有一般性的代数运算法则是求未知量的有力工具。这就进一步明确了解方程是代数学的基本课题。
11世纪，阿拉伯学者已经熟悉了丢番图的《算术》书。凯拉吉在《发赫里》中大量地引用《算术》书的内容，他不仅把先辈们关于二次方程的理论网罗殆尽，而且无论在理论还是应用方面都出现了一系列新内容。他引进的代数运算比艾布卡米尔的更丰富、更系统，他所选用的习题比花拉子模甚至丢番图的更多样化。特别引人注意的是，凯拉吉系统地研究了含有三项式的由未知数的任意次幂及其平方所组成的方程，如
axn2+bxn=c
axn2+c=bxn
bxn+c=axn2
axn2+m=bxn+m+cxn
其中a，b，c都是正数。这类方程原则上都能化为二次方程，卡拉吉分别以4次、6次和7次方程为例说明求xn的方法。当然，零解他没有考虑在内。为了求出上述各方程的根，凯拉吉还给出了开任意n次方根的方法。
在凯拉吉的著作中，可以发现大量的来源于印度和希腊的材料，也有相当多的内容体现了伊斯兰各民族古老的文化传统。总之，《发赫里》一书由三种文化汇合而成，我们还很难估计出各种文化所占的比例。
作为方程学说的代数学，它的发展在波斯数学家奥马海亚姆的著作中达到了新的高度。他在自己的代数著作中，明确地把代数学定义为解方程的科学：“代数学是一门有技巧的科学，它的研究对象是纯粹的数(正有理数)和可度量的量(指几何上的各种量：线、面、体等)。虽然这些数和量是未知的，但可以通过已知的‘东西’来确定它们。精通这门科学在于掌握确定算术的和几何的未知量的方法。”奥马海亚姆的这种定义，直到19世纪末都保持着它的意义。
在阿拉伯的代数学文献中，还有大量的不定方程问题。例如，艾布卡米尔就写过专门论述线性不定方程整数解的著作——《算术技术珍品》。
有三种情形：唯一，无解，多组解。对每一种情形他都给出了具体的例子。
值得注意的是，艾布卡米尔所举的6个例子都以中国古代算书《张丘建算经》中“百鸡问题”的形式出现。印度9世纪的数学家也曾研究过“百鸡问题”，因此，人们猜测，“百鸡问题”是从中国经印度传入阿拉伯国家的。
阿拉伯代数学也有很大的局限性。首先，阿拉伯人没有引进负数(艾布瓦法的著作中出现了唯一的例外)。为了避免负数，他们对方程进行了细致的分类。解方程过程中，放弃了负根和零根。其次，阿拉伯人没有使用字母或缩写符号，他们的代数著作完全用文字叙述。这两方面都比印度人倒退了一步。
(四)三角学
三角学在阿拉伯数学中占有重要地位。它的产生与发展和天文学有密切关系。三角学的发展也推动了其他数学分支特别是各种近似计算方法的发展。
在阿拉伯人所掌握的科学遗产中，与三角学有关的著作有印度天文学名著《悉檀多》、托勒密的《天文集》和门纳劳斯的《球面论》。这三种著名文献是阿拉伯三角学发展的基础。
亚历山大的天文学家只引进一个三角量——弧的弦。希腊人的弦表是以托勒密定理(等价于两角和的正弦定理)和半弧的弦之定理为基础的。门纳劳斯关于完全四边形的定理更适合于解球面三角形。印度人则以半弦代替全弦，引入了正弦线和正矢线，制造了正弦表。阿拉伯的数学家们在这些工作的基础上引进了新的三角量，揭示了这些三角量的性质及其关系，给出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了一系列三角函数表。他们的三角计算水平达到了很高的精确度。三角学通过阿拉伯数学家的工作逐渐地从天文学中分划出来发展成为一门独立的学科。
土库曼学者哈巴士与花拉子模是同时代人。他长期在巴格达智慧馆工作，是巴格达天文台的成员。他写了很多关于天文学的论文并编制了许多积尺（即天文表)：《小型阿什——沙赫积尺》《大马士革积尺》《马蒙积尺》《论星盘的效用》《论密切圆》《论距离和物体》等。他还是一位出色的数学家。
哈巴士最早把正切和余切作为直角三角形两个直角边的比提出来。他利用日晷仪确定了正切和余切的值。当日晷垂直放置时，他取h＝1，则h的影长t＝h·ctgα=ctgα。
类似地，当日晷水平放置时，取h=1，则其影长τ＝htgα=tgα。
他制造了当确定太阳高度的角α＝1°，2°，3°，…时两种影长的表，即正切表和余切表。哈巴士称余切为“直阴影”，称正切为“反阴影”。它们被译成拉丁文成为“umbra recta”和“umbra varsa”。16世纪末，“直阴影”变成“余切”“反阴影”变成“正切”。
