【教学目标】
一、了解含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式;二、理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;三、能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题;四、能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题;五、会用真值表判断相应的复合命题的真假;六、在知识学习的基础上,培养学生简单推理的技能。
【教学建议】
一、教材分析
知识结构
命题逻辑联结词复合命题真值表判断复合
命题的真假
二、重点难点分析
重点是判断复合命题真假的方法;难点是对“或”的含义的理解。
(1)复合命题
含“或”、“且”、“非”的命题有的不是复合命题。如:(1)实数的平方是正数或零;(2)若x>1或x<-1,则x>0。
不含“或”、“且”、“非”的命题有可能是复合命题。如:有两个解为45°的三角形是等腰直角三角形。
所以,判断一个命题是否为“或”命题、“且”命题、“非”命题,既要看它是否含有“或”、“且”、“非”,又要看它是否隐含着“或”、“且”、“非”,还要看“或”、“且”、“非”是否为两个命题之间的联结词或某一命题的否定;既要与集合运算中的“并”、“交”、“补”联系起来,又要与“或”、“且”、“非”命题的真值表联系起来;既要看原命题,又要看它的等值命题。
(2)真值表是根据简单命题的真假,判断由这些简单命题与逻辑联结词构成的复合命题的真假的工具,它并不涉及简单命题之间的具体内容。例如,已知命题p为“0是自然数”,命题q为“三角形的两边之和小于第三边”,尽管p和q的具体内容毫无相干,但仍不妨碍我们讨论和判断“p 或q”、“p且q”的真假,也不妨碍我们接受p真q假则“p或q”为真、“p且q”为假的结论,这里特别要注意对“或”的理解。
(3)要在理解的基础上记忆三个真值表:
pq非pp或qp且q
真
真
假
真
真
真
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
假
假
为了正确判断复合命题的真假,首先应该确定复合命题的形式,然后指出其中简单命题的真假,再根据真值表判断这个复合命题的真假。
三、教法建议
1.从学生在初中熟悉的一些例子引入,如:“三角形的中位线平行于第三边”是简单命题;“菱形的对角线互相垂直且平分”是“p且q”形式的复合命题;“不等式(a-b)2≥0”是“p或q”形式的复合命题,“π非有理数”是“非p”形式的复合命题。
在开始先给学生一个似乎熟悉的印象,学生容易接受,使得逻辑联结词这一节抽象的数学概念由易到难,方便逐步深入理解。
2.学习本节内容时,可以运用复合命题的结构形式,分析初中学过的一些定义和定理,既可加深对逻辑联结词的理解,增强对复合命题的认识,又可体现初、高中知识的衔接和知识的连贯性与实用性。
3.教科书中,三个真值表是按先易后难顺序编排的。先讲“非 p”形式复合命题的真假,再讲“p且q”形式复合命题的真假,“p或q”形式复合命题的真假理解起来最困难,放后面讲。
4.在讲述逻辑联结词“或”、“且”、“非”时,可以适当联系集合中的“并集”、“交集”、“补集”的概念,实际上它们的密切的关系。例如,并集、交集、补集的定义分别是:A∪B={x|x∈A或x∈B};A∩B={x|x∈A且x∈B};CSA={x∈S|xA}5.对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解,与判断复合命题真假分不开的。逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的,要直接讲清楚它们的意义,比较困难。例如,像3≥3与3≥2的关系式,初接触时,学生可能不容易接受。因此,开始时,不必深讲,可以在学习了有关复合命题的真值表之后,再要求学生根据复合命题的真值表,对“或”、“且”、“非”加以理解。
【教学设计方案】
教学过程:
一、新课导入
在当今社会中,人们从事任何工作、学习,都离不开逻辑。具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面。数学的特点是逻辑性强,特别是进入高中以后,所学的教学比初中更强调逻辑性。如果不学习一定的逻辑知识,将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误。其实,同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识。
初一平面几何中曾学过命题,请同学们举一个命题的例子。(板书:命题。)
(从初中接触过的“命题”入手,提出问题,进而学习逻辑的有关知识。)
学生举例:平行四边形的对角线互相平分。 ……(1)
两直线平行,同位角相等。……(2)
教师提问:“……相等的角是对顶角”是不是命题?……(3)
(同学议论结果,答案是肯定的。)
教师提问:什么是命题?
(学生进行回忆、思考。)
概念总结:对一件事情作出了判断的语句叫做命题。
(教师肯定了同学的回答,并作板书。)
由于判断有正确与错误之分,所以命题有真假之分,命题(1)、(2)是真命题,而(3)是假命题。
(教师利用投影片和学生讨论以下问题。)
例1判断以下各语句是不是命题,若是,判断其真假:答案
1.对顶角相等(真命题)
2.内错角相等(假命题)
3.画线段AB=CD(不是命题)
4.对顶角相等吗?(不是命题)
命题一定要对一件事情作出判断,(3)、(4)没有对一件事情作出判断,所以它们不是命题。
初中所学的命题概念涉及逻辑知识,我们今天开始要在初中学习的基础上,介绍简易逻辑的知识。
二、讲授新课
大家看课本(人教版,试验修订本,第一册(上))从第25页至26页例1前,并归纳一下这段内容主要讲了哪些问题?
(片刻后请同学举手回答,一共讲了四个问题。师生一道归纳如下。)
(1)什么叫做命题?
可以判断真假的语句叫做命题。
判断一个语句是不是命题,关键看这语句有没有对一件事情作出了判断,疑问句、祈使句都不是命题。有些语句中含有变量,如x2-5x+6=0中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假(这种含有变量的语句叫做“开语句”)。
(2)介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”。
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词。逻辑联结词除这三种形式外,还有“若…则…”和“当且仅当”两种形式。
对“或”的理解,可联想到集合中“并集”的概念。A∪B={x|x∈A,或x∈B} 中的“或”,它是指“x∈A”、“x∈B”中至少一个是成立的,即x∈A且xB ;也可以x∈B且xA ;也可以x∈A且x∈B。这与生活中“或”的含义不同,例如“你去或我去”,理解上是排斥你我都去这种可能。
对“且”的理解,可联想到集合中“交集”的概念。A∪B={x|x∈A,且x∈B}中的“且”,是指“x∈A”、“x∈B 这两个条件都要满足的意思。
对“非”的理解,可联想到集合中的“补集”概念,若命题P对应于集合P,则命题非P就对应着集合P在全集U中的补集CUP。
(3)命题的分类简单命题
复合命题
命题可分为简单命题和复合命题。
不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。简单命题是不含其他命题作为其组成部分(在结构上不能再分解成其他命题)的命题。
由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题,如“6是自然数且是偶数”就是由简单命题“6是自然数”和“6是偶数”由逻辑联结词“且”构成的复合命题。
(4)命题的表示:用 p,q ,r ,s ,……来表示。
(教师根据学生回答的情况作补充和强调,特别是对复合命题的概念作出分析和展开。)
我们接触的复合命题一般有“p或q”、“p且q”、“非p”、“若p则q”等形式。
给出一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题,应能说出构成它的简单命题和弄清它所用的逻辑联结词;应能根据所给出的两个简单命题,写出含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题。
对于给出“若p则q”形式的复合命题,应能找到条件p和结论q。
在判断一个命题是简单命题还是复合命题时,不能只从字面上来看有没有“或”、“且”、“非”。例如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”,此命题字面上无“且”;命题“5的倍数的末位数字不是0就是5”的字面上无“或”,但它们都是复合命题。
三、巩固新课
例2判断下列命题,哪些是简单命题,哪些是复合命题。如果是复合命题,指出它的构成形式以及构成它的简单命题。
(1)12≥5;
(2)0.5非整数;
(3)内错角相等,两直线平行;
(4)菱形的对角线互相垂直且平分;
(5)平行线不相交;
(6)若ab=0,则a=0。
(让学生有充分的时间进行辨析。教材中对“若…则…”不作要求,教师可以根据学生的情况作些补充。)
例3写出下表中各给定语的否定语(用课件打出来)。
若给定语为
等于
大于
是
都是
至多
有一个
至少
有一个
至多
有n个
其否定
语分别为
分析:
“等于”的否定语是“不等于”;
“大于”的否定语是“小于或者等于”;
“是”的否定语是“不是”;
“都是”的否定语是“不都是”;
“至多有一个”的否定语是“至少有两个”;“至少有一个”的否定语是“一个都没有”;“至多有n个”的否定语是“至少有n+1个”。
(如果时间宽裕,可让学生讨论后得出结论。)
置疑:“或”、“且”的否定是什么?(视学生的情况、课堂时间作适当的辨析与展开。)
4.课堂练习:第26页练习1,2。
5.课外作业:第29页习题1,2。
【习题精选】
一、填空题
1.如果命题“p且q”与命题“非p”都是假命题,那么命题q一定是。
2.举一个反例,说明命题“方程2x+12x+1的解集是R”是假命题:。
3.命题“x=±2 都能使2x2-x-7有意义”是形式的复合命题,用真值表判断,它是命题。
二、解答题
1.分别指出由下列命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式复合命题的真假:p:由澳门回归祖国的日期组成的数19991220是3的倍数;q:由澳门回归祖国的日期组成的数19991220是4的倍数。
2。命题“π≥3”是由哪两个p,q构成的什么形式的命题?判断此命题的真假。
参考答案
一、填空题
1.假命题。2。如x=-12,则方程无意义。3.p或q;真。
二、解答题
1.“p或q”、“p且q”都为真,“非p”为假。
2.p:π>3 ;q:π=3“p或q”是真命题。
【典型例题】
例1下列语句中,哪些是命题?哪些不是命题?
(1)若xy=0,则x=0,且y=0;
(2)若x2+y2=0,则x=0,且y=0;(3)任何集合都有一个子集;
(4)若x=5,或x=-4,则(x-5)(x+4)=0;(5)x2-9≥0。
解:(1)由xy=0,只能推出x=0,或y=0,x=0,且y=0不一定成立。所以此语句是假的,则它是命题。
(2)由x2+y2=0,则得x与y必同时为0(若x、y中至少有一个不为0,那么x2+y2>0),即x=0且y=0。此语句为真,则它是命题。
(3)因为空集是任何集合的子集,所以任何一个集合必有一个子集。此语句为真,则是命题。
(4)由x=5,或x=-4都能推出(x-5)(x+4)=0,所以此语句为真,则是命题。
(5)因为x2-9与0的关系随x取值的变化而变化,所以不能判断x2-9>0的真假,则不是命题。
例2分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式复命题的真假:(1)p:x2+1≥1;q:3>4
(2)p:3是163的约数;q:-3是方程x2+5x+6=0的解。
(3)p:四边形两组对边分别平行;q:四边形两组对边分别相等。
(4)p:x2+x+1≥0;q:四边形两组对边分别相等。
解 (1)因为p真q假,所以,“p或q”为真,“p且q”为假,“非p ”为假。
(2)因p假q真,所以,“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真。
(3)因为p假q假,所以,“p或q”为假,“p且q”为假,“非p”为真。
(4)因为p真q真,所以,“p或q”为真,“p且q”为真,“非p”为假。
例3填空题:分别用“p或q”“p且q”“非p”填空,并指出命题的真假。
(1)命题“1997年7月1日是中国共产党的生日,又是香港回归祖国的日子”为形式,此命题为。
(2)命题“方程2x-12x-1=1没有实数根”为形式,此命题为。
(3)命题“矩形有外接圆或有内切圆”为形式,此命题为。
(4)命题“A(A∪B)”为形式,此命题为。
解:(1)“p或q”的形式,其中p:1997年7月1日是中国共产党的生日;q:1997年7月1日是香港回归祖国的日子。因为p真q 真,所以“p或q”是真命题。
(2)“非p”的形式,其中p:2x-12x-1=1 有实数根。因为p真,所以“非p”是假命题。
(3)“p或q”的形式,其中p:矩形有外接圆;q:矩形有内切圆。因为p真q假(为什么),所以“p或q”是真命题。
(4)“非p”的形式,其中p:A(A∪B)。因为p真,所以“非p”是假命题。
例4分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题,并判断它们的真假。
(1)三个角相等的三角形不是直角三角形;(2)A∩B的元素既是A的元素又是B的元素;(3)若x是A的元素或x是B的元素,则x是A∪B的元素;(4)两条对角线垂直的平行四边形是菱形或正方形;(5) x=3不是方程|x-4|=1的解。
解:(1)这个命题是“非p”的形式,其中p:三个角相等的三角形是直角三角形。
因为p是假命题,所以这个命题是真命题。
(2)这个命题是“p且q”的形式,其中p:A∩B 的元素是A的元素,q:A∩B 的元素是B的元素。
因为p、q都是真命题,所以这个命题是真命题。
(3)这个命题是“p或q”的形式,其中p:若x是A的元素,则x是A∪B的元素,q:若x是B的元素,则x是A∪B的元素。
因为p、q都是真命题,所以这个命题是真命题。
(4)这个命题是“p或q”的形式,其中
p:两条对角线垂直的平行四边形是菱形,
q:两条对角线垂直的平行四边形是正方形。
因为p是真命题,q是假命题,所以这个命题是真命题。
(5)这个命题是“非p”的形式,其中
p :x=3是方程|x-4|=1的解。
因为p是真命题,所以这个命题是假命题。
例5分别指出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假。
(1)p:2 在集合{x|0<x<2}中,q:2在集合{x|x>1.5}中。
(2)p:方程x2-3x-1=0有两正根,q:方程x2-3=0有两实数根。
(3)p:集合{x|1<x<2}是集合{x|x>0}的子集,q:集合{x|1≤x<2}是集合{x|1<x<4} 的子集。
解:(1)因为p为真,而2<1.5,q为假,所以“p或q”为真,“p且q”为假,非p为假。
(2)因为方程x2-3x-1=0中两根之积为负,所以p为假,q为真,所以“p或q”为真,“p且q”为假,“非p”为真。
(3)因为p为真,而1{x|1<x<4},所以,{x|1≤x<2}{x|1<x<4} ,即q为假。
注:(1)当p、q均为真命题时,“p且q”才为真命题。(2)只要p或q中有一个为真命题,“p或q”必为真命题。即“p或q”为真命题的要求“不高”。
例6选择题
1.p和q都是简单命题,那么下列结论正确的是
A.p真,则“p且q”一定真
B.p假,则“p且q”不一定假
C.“p且q”真p一定真
D.“p且q”假,一定假
2.命题“ 且 ”与命题“ 或 ”都是假命题,那么下列结论正确的是
A.命题“非p”与命题“非q”其值不同
B.命题“非p”与命题“非q”至少有一个为假命题C.命题“非p且非q”是真命题
D.命题q与命题“非p”真值相同
3.若命题“p或q”与命题“p且q”都是真命题,那么下列四个结论中正确的个数是
①命题q一定是真命题
②命题q不一定是真命题
③命题p不一定是真命题
④命题p与q的真值相同
A.1B.2C.3D.4
分析:由真值表知:
(1)“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反;(2)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况均为真;(3)“p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真,其他情况均为假。
解:(1)选(C);(2)选(C);(3)只有①、④正确。选(B)。