下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号f（x）说起。
4.对函数符号f（x）的理解。（板书）
首先让学生知道y=f（x）与f（x）的含义是一样的，它们都表示y是x的函数，其中x是自变量，f（x）是函数值，连接的纽带是法则f，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体。下面我们举例说明。
例3已知函数f（x）=3x-2，试求f（3），f（a）。（板书）
分析：首先让学生认清f（3）的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算。
含义1：当自变量c取3时，对应的函数值即f（3）；含义2：定义域中原象3的象f（3），根据求象的方法知f（3）=3×3-2=7。而f（a）应表示原象a的象，即f（a）=3a-2。
计算之后，要求学生了解f（a）与f（x）的区别，f（a）是常量，而f（x）是变量，f（a）只是f（x）中一个特殊值。
最后指出在刚才的题目中f（x）是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数f（x）不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究。
三、小结
1. 函数的定义。
2. 对函数三要素的认识。
3. 对函数符号的认识。
四、作业
略
五、板书设计
2.2函数
例1.例3.
一、 函数的概念
1. 定义
2. 本质例2.小结：
3. 函数三要素的认识及作用
4. 对函数符号的理解
【习题精选】
（1）在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是。
（A）f（x）=x-1，g（x）=x2-1x＋1
（B）f（x）=|x＋1|，g（x）=x＋1 x≥-1
-1-xx＜-1
（C）f（x）=x＋1，x∈R，g（x）=x＋1，x∈Z（D）f（x）=x，g（x）=（x）2 。
（2）设M=｛x|-2≤x≤2｝，N=｛y|0≤y≤2｝，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图像可以是。
（3）给定映射f∶（x，y）（x，x＋y），在映射f下象（2，3）的原象是（a，b），则函数f（x）=ax2＋bx-3的顶点坐标是。
（4）求下列函数的定义域：
①y=（x-1）0-x2＋x＋2； ②y=1|2x＋1|＋|x-1|；③y=x＋2|x|-x。
（5）已知f（x）=x-5x≥6
f（x＋2）x＜6，则f（3）=。
（6）求下列函数的值域：
① y=-x2＋x＋2；
② y=3-2x，x∈[-2，9］；
③ y=x2-2x-3，x∈[-1，2］；④ y=x-10x≥6
8-2x-2≤x＜6。
（7）已知函数f（x）满足f（a）＋f（b）=f（ab），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）等于。
（A）p＋q（B）3p＋2q
（C）2p＋3q（D）p3＋q2
（8）已知函数f（x）=ax2＋abx＋b的定义域为｛x|1≤x≤2｝。则a，b的值分别为。
（9）已知f（x）=|x＋1|-|x-1|，且f[f（m）］=f（1998）-72，则实数m的值为。
（10）半径为R的圆内接等腰梯形ABCD，它的下底AB是圆直径，上底CD的端点在圆周上， 写出这个梯形周长y和腰长x之间的函数式，并求它的定义域。
答案：
（1）B； （2）B； （3） 18，-116；（4）① （-1，1）∪（1，2）②R ③ （-∞，0）； （5）2；（6）①-∞，94 ②[-15，7］ ③[-4，0） ④[-4，＋∞）；（7）B；（8）-32，-3 ； （9） -38；（10） f（x）=-x2R＋2x＋4R，x∈（0，2R） 。
【典型例题】
例1判断下列各组的两个函数是否相同，并说明理由。
（1） y=x-1，x∈R与 y=x-1，x∈N；（2） y=x2-4与y=x-2·x＋2；（3） y=1＋1x与u=1＋1v ；
（4） y=x2与 y=xx2；
（5） y=2|x|与y=2xx≥0
-2xx＜0 。
分析：判断两个函数是否相同，应着眼于两个函数的定义域和对应法则的比较，而求定义域时应让原始的解析式有意义，而不能进行任何非等价变换，对应法则的判断需判断它的本质是否相同而不是从表面形式上下结论。
解：（1）不同，因为它们定义域不同。
（2）不同，前者的定义域是x≥2 或x ≤-2，后者的定义域是 x≥2。
（3）相同，定义域均为非零实数，对应法则都是自变量取倒数后加1。
（4）不同，定义域是相同的，但对应法则不同。
（4）相同，将y=2|x|利用绝对值定义去掉绝对值结果就是2xx≥0
-2xx＜0 。
说明：此题的目的在于强化函数是三要素构成的整体，且三要素中值域是由定义域和对应法则共同确定的，判断时可以只考虑定义域和对应法则是否相同，同时提醒学生，认识函数对应法则必须认清它的本质，而不是从表面上做判断。
例2已知集合p=｛（x，y）|y=2x2＋3x＋1，-2≤x≤3｝，Q=｛（x，y）|x=a，y ∈R｝，那么集合P∩Q中所含元素个数为。
（A）0（B）1（C）0或1（D）1或2
分析：此题是以集合语言表述的问题，解决问题的第一步在于集合语言的翻译与理解，然后结合函数概念在运动变化过程中进行研究，求解时，可以先从形的角度，再从数的角度提高认识。
解：从函数观点看，两个集合的交集中所包含的元素的个数，从数的角度即在y=2x2＋3x＋1，x∈[-2，3］中，令x=a，看有几个相应的y与之对应；从形的角度即y=2x2＋3x＋1，x∈[-2，3］的图像与直线x=a有几个公共点，由于a是不确定的，于是当a∈[-2，3］时，有一个交点，当a[-2，3］ 时，则没有交点，所以应选（C）。
说明：此题目的在于进一步认识函数概念本质，纠正只注意对应法则而忽视定义域作用的毛病，而且还应从数和形两角度认识问题，解决问题。
例3求下列函数的定义域，要求把结果写成区间形式。
（1） y=3x-2-x22x-3；
（2）y=3-x2x＋1 ＋9-x2；
（3） y=35x-3|x|＋6；
（4） y=2x0≤x≤1；
21＜x＜2
3x≥2；
（5） f（x）=x2-2，（2≤x≤8）；（6）f（x）=2πr ，（r为圆的半径）。
分析：求定义域即使y=f（x）的解析式有意义，其中要注意有实际背景的问题和人为限制因素对定义域的影响。
解：（1）使f（x）有意义应满足
3x-2-x2≥0
2x-3≠01≤x≤2
x≠32
故函数的定义域为1，32∪32，2。
（2）使f（x）有意义应满足3-x2x＋1≥0
9-x2≥0--12＜x≤3。故函数定义域为 -12，3。
（3）使f（x）有意义应满足x∈R。故函数定义域为（-∞，＋∞）。
（4）分段函数的定义域为[0，1］∪（1，2）∪[2，＋∞）=[0，＋∞）。
（5）由于2≤y≤8，所以2≤x2-2≤8-10≤x≤-2或2≤x10 。
故定义域为 [-10，-2］∪[2，10］。
（6）从f（x）有意义的角度对r没有限制，但由于r是圆的半径，应是非负数，故函数定义域为[0，＋∞）。
说明：此题的目的一方面掌握求定义域的基本方法，熟悉用区间表示集合，另一方面包含对分段函数定义域的认识及有人为限制的问题求定义域应注意的问题。
例4 画出下列函数的图像
（1） y=x2-2，x∈Z且|x| ≤2；（2）y=-2x2＋3x，x ∈（0，2］；（3）y=x|2-x| ；
（4） y=3x＜-2
-3x-2≤x＜2
-3x≥2
分析：对于常见函数由于其特征学生很熟悉，故一般只要选几个关键点，但要注意人为限制的定义域对图像的影响。对分段函数可先处理为若干段常见函数，在转折点的取舍上格外注意。
解：如图所示：
例5某商场饮料促销，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠。若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x与所支付的费用y之间的函数关系，并画出其图像。
分析：阅读理解题意是解此题的第一步，其次注意题目的限制条件对定义域的制约。
解：由题意可得，y=48×0.9x=1
48×0.85x=2
48×0.8x=3
48×0.753＜x≤10如图：
说明：一方面提高应用意识，另一方面体会函数图像的特点可以是一群孤立的点。
例6若f（x）=f（-x）·x＋10，求f（10）的值。
分析：既然求f（10），当然应在已知中令x=10得f（10）=（-10）10＋10，从方程的观点看，把f（10）和f（-10）都当作未知数而要求得f（10）的值，还须再找出另一个f（10）与f（-10）的方程。
解：另x=10 得f（10）=（-10）10＋10，另x=-10，得f（-10）=f（10）·（-10）＋10。由此消去f（-10），解得f（10）=1。
说明：把抽象函数记号与方程思想融于一体，深刻体会两者之间的关系是此题的主要目的。
