2.5.1 问题求解路径向量空间的基本表示
对于每一个问题的求解，都存在着一定的求解路径。前面已经指出，由于同一个问题可能有多种求解方法，故求解路径不止一个。而一个特定的问题求解路径除了总问题及各层子问题的求解顺序外，还包括求解策略、求解方法等多个不同的求解要素，因此一个问题的求解路径也可以表示为多维向量空间：
其中，Li（i=1，2，……，o）表示某个问题求解路径向量，lij（i=1，2，……，o；j=1，2，……，n）表示其中的某个求解要素。它们分为三类：
（1）求解策略：包括用模型求解还是凭主观判断、集中式求解还是分布式求解、单人决策求解还是群体决策求解等；
（2）求解模型和方法：主要是指对应的模型或方法的名称、类别等；
（3）求解的顺序：即问题中包含的子问题及其联结关系和联结顺序。
2.5.2 问题求解路径向量空间的基本特征
根据问题求解路径与子问题和问题属性的关系，可得到其向量空间的基本特征：
1.同一问题有不同的求解路径
由于对同一问题可以采用不同的求解策略，运用不同的模型和安排不同的子问题联结顺序，因此会有不同的求解路径。我们用A、B、C、D、E代表一个问题P的五种状态，M1～M6代表不同的问题求解方法，其中A表示问题属性值不明数最多的状态，即问题的初始状态；E表示问题属性值不明数为0的状态，即问题完全被解答状态；而B、C、D表示问题属性值不明数目介于A和E之间的状态，即问题被部分解答的状态。
由图中可知，为求解问题P，可以选择三条不同的路径：L 1：M 1、L2：M2 M3和L3：M4 M5 M6.至于选择哪条路径，取决于对应不同属性状态的子问题的分解和方法的可行性（或子问题的可解性）。如果直接有一种方法M 1支持在状态A下可求解问题P，则显然应该走最简捷路径L 1，否则就要将问题P分解成走路径L 2甚至是路径L3.因此，一个问题的求解路径向量空间会包含多个求解路径向量。
2.求解问题只需要用到其中一条有效路径
尽管从逻辑上看求解问题有不同路径，但并不是每一条路径都可以使问题由初始状态达到被解状态。当求解方法所需的条件不满足或方法本身有缺陷而导致一条路径不通时，我们称其为无效路径；反之称其为有效路径。即假设As1和As2为问题P的两种n维属性状态向量空间，且As1≠As2，L为以As1为起点、以As2为终点的有向路径，对于问题P和S2i⑨As2，若存在f：P→L，使得∏n i=1 S 2i=1，则称L为一条有效路径。
由于总问题和子问题的属性状态不同，所以要求解总问题必须要有若干条与子问题对应且首尾相连的有效路径，且末端方法要达到总问题的被解状态。
当问题P存在多条有效路径时，只需要用其中一条有效路径即可求解问题。为了对不同路径的求解结果进行评价，在实际的DSS中，有时需要求出其所有的路径。
3.问题的求解路径形成于问题的属性分析和问题的分解
问题的求解路径向量空间与属性向量空间和子问题向量空间密切相关。其中，问题的类型属性向量的取值维度决定了问题的求解策略和方法，也就是说决策者通常是根据问题的类型来选择问题的求解策略和应使用的求解方法的。因此，问题的类型属性向量VAt与问题的求解路径向量VL存在某种映射关系。
而问题的所有子问题的父问题这一属性向量组合起来将决定问题的求解顺序。事实上，问题的求解顺序是从其最下一层子问题开始，通过其求解使其父问题的相应的条件属性状态变为“已知”。当该父问题的所有条件属性状态均为“已知”时，它便可以被求解，然后再到再上一层父问题。如此循环直到最终的总问题被求解。
2.5.3 属性分析、问题分解策略与求解路径搜索
当决策问题被分解成若干的子问题后，就可以对子问题寻求求解方法。通常是根据子问题的属性来搜索模型管理系统（MMS）和知识管理系统（KMS）中的相关字典，因为在这些字典中有对模型和知识方法的说明和求解所需要的条件参数，这样可以找到子问题求解的方法，从而形成其解决方案。但在这个过程中，有几个问题是值得探讨的：
1.多种求解方法的选择
如前所述，对同一个问题往往存在多种求解方法。以模型求解的问题为例，预测问题可以用时间序列预测、线性回归预测、非线性预测、马尔科夫预测、灰色预测等预测方法，而在时间序列预测中又有算术平均法、移动平均法、一次指数平均法、二次指数平均法等方法。这样在模型搜索中将有可能找到多个模型来求解同一个问题。对于模型的选择，可以采取以下几种途径：
第一，根据已知条件。每种模型求解所需要的已知条件是不同的，那么在模型选择的时候，可以根据子问题现有的条件属性与模型所需条件的匹配关系来选择模型。
第二，根据模型评价系统。当有多个模型的求解条件均满足时，需要根据模型求解的效果来进行选择。通常可以利用模型检验方法来设计一个模型评价系统，以找出求解效果最好的模型。
第三，根据总问题的求解特征。对原子问题而言可能是最好的求解方法，对总问题来说却不一定是最好的，因为各层问题之间或各原子问题之间的属性可能存在相互影响。为此，可以用多种模型把同一原子问题求解出来并记录其结果，然后再根据其他问题的求解情况选择其中的某个结果，也就是选择某种模型，不过基于这种方法的PMS设计是比较复杂的。
第四，根据历史求解路径。也就是根据以前对同类问题的模型选择。
对于用知识方法求解的问题，多种方法的选择策略也与模型选择相似，在此就不赘述。
2.方法选择与属性分析和问题分解
在PMS中，每一类问题的属性分类和属性项目是由领域专家确定的，领域专家会把这类问题求解所需要的条件都作为这类问题的求解条件属性，当决策者遇到这类问题时，再来对这些属性进行分析。由此会产生出这样一个问题，就是针对于一些求解方法来说其条件均为已知，但对另一些求解模型来说则存在“不明”状态条件属性。这时还需不需要对这些属性产生子问题呢？这取决于决策者以哪种方式选择求解方法。
如果是前面的第一种方式，就不需要再对问题进行分解，因为他完全可以根据已知的属性求出这个问题。采用这种方式时，在生成子问题前首先就要对方法进行检索，如果根据“已知”状态属性就能找到求解模型，则不需再对这个问题进行分解。此时问题属性分析、问题分解与求解方法选择的过程。
如果采用前述第二和第三种方式选择模型，则需要对该问题的“不明”状态条件属性产生子问题，尽管这些条件属性对某一种求解模型而言是多余的。因为只有这样才有可能找出问题求解的所有有效路径，并对它们进行比较。此时问题属性分析、问题分解与求解方法选择的过程。
如果采用第四种方式，则首先需要找到与求解问题相似的并且有现成求解路径的问题，如果找到了，则直接使用它的求解方法；如果没找到，仍然需要使用其他几种方式。
3.问题求解路径分析
问题求解路径由求解策略、求解方法或模型和求解顺序组成，求解模型的选择只是其中一个重要的部分。在PMS中，问题求解路径分析的一般过程。
求解路径分析和问题分解与问题求解是密不可分的，它首先从原子问题开始，根据原子问题的类型和专业领域来判断其结构化程度，并决定是用的模型求解还是用知识方法求解、是集中求解还是分布式求解等求解策略。如果是模型求解，则对模型库的模型字典进行搜索，如果能找到可应用的模型，则运用模型选择方法选择合适的模型求解问题。如果在模型库中找不到可应用的模型，则需要利用模型管理系统创建模型。如果在求解策略分析中选择用知识方法解答，则利用知识库选择合适的知识方法来解答问题。
当原子问题的答案求出后，再用这一结果去填充其上一级子问题的属性值，同时改变该属性的状态。当该子问题的下一级子问题全部被解答以后，即其除求解目标以外的其他属性均为“已知”状态属性时，将回到这一分解层级，系统将分解层级i减去1，再对该子问题重复上述过程，求解出该子问题。然后逐级往回退，最后回到问题分解树的顶部总问题，使总问题得以求解。每一级子问题所选择的求解策略、模型和方法跟属性回退顺序一起构成一条完整的有效求解路径。
