在一般人看来，无穷、无限就是没完没了，没有尽头，没有止境。过去，有人把无限看成是神秘的、不可捉摸的东西；也有人把无限看成是崇高的、神圣的东西。诗人哈莱曾写诗颂扬无限：
我将时间堆上时间，世界堆上世界，将庞大的万千数字，堆积成山，假如我从可怕的峰巅，晕眩地再向你看，一切数的乘方，不管乘千来遍，还是够不着你一星半点。
也有人觉得无限是不可理解的。德国哲学家康德，就曾经为无限苦恼过。他说，无限像一个梦，一个人永远看不出前面还有多少路要走。看不到尽头，尽头是摔了一跤或者晕倒下去。
但是，尽管是摔了一跤或者晕倒下去，也不可能到达无限的尽头。
微积分恰恰是运用这种被看作是不可理解的无限，创造出一种崭新的数学方法，为解决大量的实际问题，为科学技术的发展，作出了十分宝贵的贡献。
现在，微积分这棵参天大树，已经是枝叶繁茂，果实累累，正在为人类作出更大的贡献。
六、惊人的预言
自牛顿和莱布尼兹创立微积分到现在，已经三个世纪了。恩格斯说：在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样，被看作是人类精神的最高胜利了。
下面，讲几个早期的例子，看看微积分是怎样推动自然科学向前发展的。
地球的模样
18世纪的欧洲，随着科学的进步，人们逐渐认识到地球不是一个很圆的球体，而是有一点扁，是一个扁球体。地球是怎样扁法的呢？在那时却有着两种截然不同的认识，形成了两个对立的学派。
一派是以法国巴黎天文台台长卡西尼为首的法国科学家。他们根据法国哲学家笛卡儿的宇宙学说，认为地球在南北两极是伸长的，像一个直立的鸡蛋。但是，牛顿利用力学原理，用微积分等数学工具，对地球的形状进行了计算，算出地球的形状在两极是扁平的，扁平率为1230。这就形成了另一派。两派争论激烈，谁也说服不了谁。
为了让事实作出回答，1735年，法国巴黎科学院同时派出两支测量远征队，进行大地测量，以便判定谁是谁非。一支测量队到南美秘鲁的别鲁安，另一支测量队到北方的拉普兰德。测量的结果，表明了地球是扁平的。
地球扁平形状的确定，是牛顿力学的胜利，也是微积分的胜利。
哈雷的功绩
彗星是一种特殊的天体。它有一颗明亮的彗头，拖着一条美丽的彗尾。在很长的时期里，人们不了解彗星是什么东西，以为它在天上一出现，地上就要发生大灾大难。
科学从它产生的那天起就是反对迷信的。1682年，英国天文学家哈雷，对那一年出现的一颗彗星进行了计算，又整理了从1337年以来有关彗星的记录。他根据微积分计算出来的结果，宣布这颗彗星在1758年还要回来的。
1743年，法国数学家克雷罗，考虑到木星和土星对这颗彗星的影响，用微积分重新进行了计算。克雷罗指出：这颗彗星由于受木星和土星的影响，将不在1758年，而是在1759年再一次出现。到了1759年，这颗美丽的彗星果然又一次出现在夜空中。
这颗彗星的按期出现，证实了哈雷预言的正确，为了表彰哈雷的功绩，后来，人们就把这颗彗星叫做“哈雷彗星”。
在我国史书上，有这颗彗星出现的最早和最完整的记载，第一次是在公元前611年。
把数算错了
细心的科学家有时也会算错数。根据推算，哈雷彗星将于1910年再一次出现。可是，因为在计算哈雷彗星轨道时算错了数，他们曾预言在1910年，哈雷彗星会与地球迎面相撞，一起毁掉。于是，教会乘机大作文章，说什么1910年是“人类的末日”。有的人害怕地球与哈雷彗星相撞，赶忙卖掉财产，吃喝玩乐之后，跳楼自杀了。后来科学家发现轨道计算错了，又重新进行了计算，结果是地球并不会与哈雷彗星迎面相撞，而只是穿过哈雷彗星的尾部。
一波未平，一波又起。又有人造谣说哈雷彗星的尾部是由剧毒气体组成，人类即使不被哈雷彗星撞死，也会被剧毒气体熏死。有人出主意，让每家准备好大水缸，装好水，等哈雷彗星一到，人立刻钻进水缸里去。还有的药店，兜售什么“彗星药丸”，说吃了就可以不被毒死。
1910年，人们怀着紧张的心情，等来了哈雷彗星。可是，除了看见美丽明亮的哈雷彗星外，全世界安然无恙。
根据计算，哈雷彗星下一次将于1985年末出现。
发现海王星
太阳系有九大行星。由里往外数，最外面的三颗，依次是天王星、海王星和冥王星。这三颗行星，因为离地球越来越远，不容易看到，所以一个比一个发现晚。
1781年，英国天文学家赫歇耳，用望远镜发现了天王星。在研究天王星运行轨道时，发现实际观察的轨道，与根据力学原理，用微积分等数学工具计算出来的轨道不相符合。这是为什么呢？当时就有人预言：在天王星的外面，可能还存在着一颗尚未发现的新行星。可是，在无边无际的天空，到哪儿去找这颗新行星呢？
64年过去了。到了1845年，英国剑桥大学数学系学生亚当斯，根据力学原理，利用微积分等数学工具，进行了一系列困难的计算，算出了这颗新行星的轨道。这年10月21日，他把计算的结果，寄给了英国格林威治天文台台长艾利，可惜没有引起重视，也没有人用望远镜去寻找这颗新行星。
比亚当斯稍晚，法国巴黎天文台青年科学家勒威耶，用微积分等数学工具，计算了由几十个方程组成的方程组，算出了这颗新行星的轨道。1846年9月18日，勒威耶写信给当时拥有详细星图的柏林天文台的伽勒。他在信中写道：“请你把你们的天文镜指向黄经326°外的宝瓶座内的黄道的一点上，你就将在离此点的1°左右的区域内，发现一个圆面显明的新行星。”伽勒于1846年9月23日夜间，就在离所指点相差52′的地方，发现了这颗新行星。人们给它取名海王星。
这颗新行星的发现，完全是根据力学原理，用微积分等数学工具算出来的。因此，人们称海王星为一颗笔尖上的行星。
1915年，美国天文学家洛韦耳，用同样方法算出了太阳系中最远的一颗行星——冥王星的存在。1930年，美国的汤波真的发现了这颗行星。
利用微积分进行计算，人们还解决了月亮会不会撞到地球上的问题。
当时天文观测的结果表明，月亮的轨道正在不断缩小。人们开始担心是不是有那么一天，月亮会和地球相撞呢？后来用微积分计算，证明了月亮轨道的缩小是周期性的，缩到一定程度后还要开始膨胀，根本用不着杞人忧天，担心月亮和地球相撞。
一门生命力强的学科，必须有坚实的理论基础。微积分的基础是极限理论。微积分创立于17世纪，可是极限理论的提出却相当晚，它是在19世纪，由法国的柯西和德国的维尔斯特拉斯提出来的。
在极限理论产生之前，人们对微积分的基础有着各种不同看法和争论。当时，虽然在科学研究中广泛使用微积分，可是对于什么是微积分的基础，却没有一个共同的认识。恩格斯说过：大多数人进行微分和积分，并不是由于他们懂得他们在做什么，而是出于单纯的相信，因为直到现在得出的结果总是正确的。
极限理论的产生，统一了人们的认识，推动了微积分的发展。
1960年，美国数学家鲁滨逊运用数理逻辑的科学方法，把微积分建立在一种新的数学理论之上。科学家为了区别以极限理论为基础的微积分，把在新基础上建立起来的微积分叫做“非标准分析”。
非标准分析问世20年来，引起了数学界的广泛注意，也产生了一些不同的看法。有的数学家认为，非标准分析比传统的微积分更严谨，更适用于进行理论上的探索。也有的数学家认为，非标准分析把传统微积分中丰富的思想砍掉了；个别人甚至把传统微积分比做一个美女，说非标准分析是一具“美女的骷髅”。
认识在争论中提高，科学在争论中发展。明天的微积分，一定会更加完善、充实和有用！
七、二十世纪数学的领航人
19世纪最后一年——1900年的夏天，在巴黎塞纳河畔举行的第二次国际数学家代表大会上，一位30多岁的年轻数学家在他所做的报告《数学问题》中，提出了23个数学问题，总结他那个时代的数学研究。在此后的数十年里，这23个问题几乎完全左右着数学发展的方向，对20世纪的数学发展产生了巨大的影响，为许许多多的数学家们带来欢乐，也带来苦恼。这个提出23个问题的人，便是德国数学家希尔伯特（1862～1943，1888年他以独创方式发展了不变量的数学，证明了不变系的基的有限性）。后来，这23个问题被称为“希尔伯特问题”。
希尔伯特于1862年1月23日生于德国的哥尼斯堡（现今为俄罗斯的加里宁格勒）。希尔伯特的母亲是一位对哲学和天文学极有兴趣的女性。希尔伯特从小便受到母亲的熏陶，这为他后来的成长产生了良好的作用。
希尔伯特幼年时记忆力很差，理解概念的反应速度也极慢，经常受到老师的批评。后来上中学时，他结识了犹太人闵可夫斯基家才华出众的三兄弟。希尔伯特希望自己能像闵可夫斯基兄弟那样，受到人们的尊重。他努力克服自身的弱点，深入体会数学中的概念，在闵可夫斯基兄弟的影响下，希尔伯特找到了他喜爱的科目——数学。
后来，他分别在哥尼斯堡大学、海德堡大学学习。数学名家富克斯的数学思想深深影响了希尔伯特，后来他又返回哥尼斯堡大学。不久，闵可夫斯基、希尔伯特和年龄稍大一些的赫维茨，成了哥尼斯堡数学圈子里著名的“三剑客”。他们几乎讨论了数学各个领域的问题，相互交换获得的研究成果，交流彼此间的想法和研究设想。
希尔伯特大学毕业以后，进行了一次成效显著的学习旅行，这次旅行使他弥补了因身居哥尼斯堡小城而造成的孤陋寡闻的缺憾。希尔伯特拜访了德国数学界的传奇人物克莱因。希尔伯特选听了克莱因的课，还参加了克莱因的一个讨论班。他深为克莱因所器重，克莱因推荐希尔伯特前往法国巴黎。在巴黎，他了解到国际数学界的研究状况，大大地开阔了眼界。
后来回到优美宁静的哥尼斯堡，希尔伯特沉浸在关于不变量理论的果尔丹问题里。这一问题，数学家们已经花费了很大的力气。但只经过半年的艰苦攻关，果尔丹问题居然被希尔伯特解决了。
1895年，应克莱因之邀，他来到数学家高斯的故乡哥廷根。来到哥廷根不足一年，希尔伯特和闵可夫斯基合作，完成了一篇关于数论研究方面的综合论文，成为数论领域中的经典作品。不久，又发表了《相对阿贝尔域理论》的论文，建立了探讨“类域”论所必需的方法和概念。这是希尔伯特独创性的显露。1898年～1899年，希尔伯特编著了囊括整个几何学领域的重要著作《几何基础》，获得科学界的称赞。
偏偏就在人们的赞叹声中，希尔伯特瞄准了著名的“狄里克莱原理”。直到19世纪末，数学家仍把对这个原理的探索看做死胡同，然而希尔伯特却妙手回春，“复活”了狄里克莱原理，在国际数学界震动一时。
20世纪来到了，希尔伯特的数学兴趣更广泛了，他几乎涉足了数学的全部领域。在闵可夫斯基和赫维茨的协助下，1920年夏，在第二次国际数学代表大会上，他提出了著名的“希尔伯特问题”。随着狄里克莱原理的解决，他为数学分析的精确性和逻辑无矛盾性奠定了重要基础。
1912年，希尔伯特50岁，关于微积分方程的成果，使他走进数学与物理的边缘地区。这一年，他发表了一篇有关气体分子运动论方面的基础论文，宣告了希尔伯特的兴趣点已经转向物理学方面。
20世纪初期，以物理三大发现为序幕，在量子力学和相对论两个领域，现代物理学进行了一场深刻的革命，现代物理学硕果迭出，成为时代发展的热点。当时，由于新的物理学尚未迫使经典物理学退出历史舞台，物理学领域在外行人看来显得一片混乱。
