（2）如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么侧棱和高被这个截面分成成比例线段；截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比。
例图42中，底面ABCD是正方形，其中心为O，SO⊥平面ABCD，点E∈平面SBC。
（1）过A、D、E作截面（要写作法）；
（2）作出锥面在底面上的射影。
解（1）作法：在平面SBC内，过E点作FG∥BC交SB于F，交SC于G。
连结AF、DG，则梯形AFGD是所求截面。
（2）作法：在平面SOB内，过F点作FH⊥OB于H；在平面SOC内，过G点作GK⊥OC于K，连结AH、DK、KB，则梯形AHKD是截面AFGD在底面上的射影。
请读者自己完成证明。
说明：立体几何作图题和平面几何作图题的不同之处主要是三点：一是立体几何中只着重叙述作图方法步骤及理由，不可能和平面几何一样作出完全符合实际的图形，作出来的只是示意图；二是立体几何中作图工具也只有直尺、圆规，作平面、圆柱、球等并没有新工具，只要具备确定平面、圆柱、球等的条件，即认为该空间图形可作，以说明问题为主。三是立体几何作图中的关键是确定直线和平面的位置，而平面几何作图中的关键是确定点和直线的位置。
本题在作图过程中，要运用理论进行分析，才能确定过E点的直线FG的位置，以及AF在平面ABCD上射线的位置等，第（2）小题的出错率较高。
【正棱锥】
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥。正棱锥主要有下列性质：
（1）正棱锥各条侧棱相等；
（2）正棱锥的各个侧面是全等的等腰三角形；
（3）正棱锥的各个侧面等腰三角形底边上的高叫做正棱锥的斜高，正棱锥的各条斜高相等；
（4）正棱锥中存在四个重要的直角三角形，它们是由正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成的直角三角形；由正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成的直角三角形；由正棱锥的斜高、侧棱和底面边长之半组成的直角三角形；由正棱锥底面边长之半、边心距和顶心距组成的直角三角形等；
（5）正棱锥各侧面和底面所成的二面角都相等。
【棱锥的侧面积】
棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积，即S正棱锥侧=12ch’。
S侧=S棱cosθ。
注意：棱锥的全面积等于侧面积与底面积之和。
例棱锥的底面是等腰三角形，这个等腰三角形的底边长12cm，一腰长10cm，且棱锥的侧面与底面所成的二面角皆为45°，求这个棱锥的侧面积。
解法一是符合题设条件的棱锥V－ABC，则顶点V在底面ABC上的射影O是ABC的内心。
ABC的面积SABC=12·8·12=48，周长之半p=16，
且SABC=pr（其中r=OE是ABC内切圆半径）
OE=3，棱锥的斜高h’=VE=OEcos45°=32，
棱锥的侧面积S侧=h’p=482cm2。
解法二利用公式S侧=S棱cosθ得。
棱锥的侧面积S侧=SABCcos45°=482cm2。
【三棱锥的性质】
三棱锥即四面体，它的任何一个面都可以当做底面，和正方体一样，三棱锥是立体几何中的又一个百宝箱，通过三棱锥也可以编选出包括第一章立体几何理论的基础部分的全部内容的题目。
例（1）一个球的半径是R，放在墙角（直三面角）与其三个面都相切，求球心与墙角顶点的距离；
（2）一个球的半径是R，与直三面角的三条棱都相切，求球心与直三面角顶点的距离；
（3）正方体的棱长是a，AB是它的对角线，一个球与正方体相交于B点的三个面相切，且和过A点的三条棱相切，求这个球半径的长。
【棱柱的侧面积】
把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积。
定理1：如果直棱柱的底面周长是c，高是h，那么它的侧面积是S直棱柱侧＝ch。
定理2：斜棱柱的侧面积等于它的直截面（垂直于侧棱的截面）的周长与侧棱长的乘积。
【棱台】
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台。原棱锥的底面和截面叫做棱台的下底面和上底面，其他各面叫做棱台的侧面。相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，上、下底面之间的距离叫做棱台的高。
棱台按底面的边数分为三棱台、四棱台、五棱台等。
【棱台的主要性质】
（1）棱台的两个底面是相似多边形；
（1）棱台的各个侧面都是梯形；
（3）棱台的各条侧棱延长后相交于一点；
（4）棱台的对角面（经过棱台的不相邻的两条侧棱的截面）都是梯形；且n棱台的对角面共有n（n—3）2个；
（5）棱台的中截面（经过棱台高的中点作平行底面的平面截棱台所得的截面）面积为S中，棱台上、下底面积的分别为S上、S下，那么S中=
12S上+S下。
例已知棱台上、下底面面积为S1，S2，平行于底面的截面分棱台高自上而下两部分之比为m∶n，求截面面积S。
解利用补形把台恢复成锥。
设小棱锥、中棱锥、大棱锥的高分别为x、x+my、x+（m+n）y，
则S1S。
=xs+my，S2S。
=x+（m+n）yx+my=m+n。
nS1+mS2S。
=nx+mx+m（m+n）yx+my=m+n。
S=1m+n（nS1+mS2）。
【正棱台】
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台。
【正棱台的主要性质】
（1）正棱台的侧棱相等；
（2）正棱台的各个侧面是全等的等腰梯形，各等腰梯形的高相等，它叫做正棱台的斜高；
（3）正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；
（4）正棱台两个底面中心的连线垂直于底面，上底面在下底面内的射影是下底面的位似形，位似中心是下底面的中心；
（5）正棱台中有三个直角梯形：正梭台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径组成一个直角梯形；两底面边长的一半、侧棱和斜高组成一个直角梯形。这三个直角梯形在解题中用处很大。
例正四棱台A1B1C1D1－ABCD的高O1O=63cm，斜高E1E=65cm，两底面边长的比为5∶3。求这两底面的边长a、b，侧棱长l，侧棱与底面所成的角θ，侧面与底面所成的角ω，以及对角线长m。
解设a=5xcm，b=3xcm，
则（5x2—3x2）2+632=652，x=16。
两底边长a=80cm，b=48cm。
侧棱长l=（12a—12b）2+EE21=4481cm。
侧棱与底面和夹角θ=arcsicOO1l=arcsin6344814481。
侧面与底面的夹角ω=arcsinOO1EE1=arcsin6365。
对角线长m=（2a+2b2）2+OO21=12161cm。
说明：本题主要考查三个直角梯形及对角面中的有关运算。
【棱台的侧面积】
棱台的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱台的侧面积。
棱台的全面积等于它的侧面积与上、下底面积的和。
定理1：如果正棱台的上、下底面的周长是c’，c，斜高是h’，
那么它的侧面积是S正棱柱侧=12（c+c’）h’。
定理2：一个棱台所有的侧面与底面所成的二面角都等于θ，上、
下底面积分别是S1、S2，那么S棱台侧=S2—S1cosθ。
【旋转体和旋转面】
在同一个平面内有一条已知直线和一条曲线（可以是折线或直线），当这个平面绕已知直线旋转一周时，这条曲线（可以是折线或直线）所成的面叫做旋转面。这条已知直线叫做旋转轴，这条曲线（可以是折线或直线）叫做母线。如果母线是一条和轴平行的直线，那么所形成的旋转面叫做圆柱面；如果母线是一条和轴相交的直线，那么所形成的旋转面叫做圆锥面，母线和轴的交点叫做圆锥面的顶点；如果母线是直径在轴上的一条半圆弧，那么形成的旋转面叫做球面。
由旋转面或旋转面和垂直于轴的平面所围成的封闭的几何体，叫做旋转体。立体几何课本里，主要研究圆柱、圆锥、圆台和球等特殊的旋转体。
【圆柱】
如果用垂直于轴的两个平面去截圆柱面，那么两个截面和圆柱面围成的封闭几何体叫做圆柱。圆柱也可以看作是由一个矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周所形成的几何体。
原来圆柱面的轴叫做圆柱的轴；原来圆柱面的母线夹在两个平行平面之间的部分叫做圆柱的母线；原来的圆柱面夹在两个截面之间的部分叫做圆柱的侧面；两个截面被圆柱面所截的部分叫做圆柱的底面；两个底面之间公垂线段的长度叫做圆柱的高。
【圆柱的主要性质】
（1）圆柱的两个底面是相等的圆，它们所在的平面互相平行；
（2）圆柱的轴经过两个底面的圆心并且垂直于两个底面，连接两个底面的圆心线段的长等于圆柱的高；
（3）圆柱的母线垂直于底面，平行且相等，它们的长度等于圆柱的高。
例高是10cm的圆柱，用一个平行于轴且与轴相距2cm的平面去截它，如果截面在圆柱底面内截得的弧含120°。求截面面积。
解显然截面为矩形，且矩形的高等于圆柱的高10cm。
又矩形的长为底面中120°的弧所对的弦长。
弦心距d=2cm，弦所对的圆心角θ=120°。
弦长a=2dtg60°=43cm。
截面面积为403cm。
【圆锥】
如果用不经过圆锥面顶点并且垂直于圆锥面的轴的平面去截圆锥面，那么该截面和圆锥面所围成的封闭几何体叫做圆锥。圆锥也可以看做是一个直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周而形成的几何体。
原来圆锥面的顶点和轴分别叫做圆锥的顶点和轴；圆锥面的母线夹在顶点和截面之间的部分叫做圆锥的母线；圆锥面夹在顶点和截面之间的部分叫做圆锥的侧面；截面被夹在圆锥面之间的部分叫做圆锥的底面；顶点到底面的垂线段的长度叫做圆锥的高。
【圆锥的主要性质】
（1）圆锥的底面是一个圆，它所在的平面垂直于圆锥的轴；
（2）圆锥的轴经过顶点和底面圆的圆心，顶点和底面圆心的连线段的长等于圆锥的高；
（3）圆锥的母线都以顶点为公共端点且长度相等。各条母线和轴的夹角相等，和底面所成的角也相等；
（4）圆锥的高、母线、母线在底面的射影（即底面圆的半径）组成一个直角三角形。
【圆台】
用平行于底面的一个平面去截圆锥，截面与底面之间的圆锥的一部分叫做圆台，圆台也可以看作是由一个直角梯形绕着垂直于底边的腰所在的直线旋转一周所形成的几何体。
原来圆锥的轴叫做圆台的轴；圆锥的母线和侧面夹在截面和底面之间的部分分别叫做圆台的母线和侧面；截面和原来圆锥的底面叫做圆台的底面；两个底面之间公垂线段的长度叫做圆台的高。
【圆台的主要性质】
（1）圆台的两个底面是不等的两个圆，它们所在的平面平行；
（2）圆台的轴经过两个底面圆的圆心，并且和底面垂直；
（3）圆台的母线长都相等，并且各条母线的延长线交于一点；
（4）圆台两个底面圆心的连线段的长等于圆台的高；
（5）圆台上下底面圆心的连线段、一条母线和经过这条母线两个端点的上、下底面半径组成一个直角梯形。
说明：在圆柱、圆锥、圆台的问题，常常要注意利用轴截面（经过轴的平面截圆柱、圆锥、圆台所得的截面）。圆柱的轴截面是矩形，恒有关系式l=h；圆锥的轴截面是等腰三角形，恒有关系式l2=h2+R2；圆台的轴截面是等腰梯形，恒有关系式l2=h2+（R－r）2，其中l表示母线长，h表示高，R、r表示底面半径。圆柱、圆锥、圆台平行于底的截面是圆，要注意利用相似比。
【圆柱、圆锥、圆台的侧面积】
把圆柱、圆锥、圆台的侧面沿着它们的一条母线剪开后展在平面上，展开图的面积就是它们的侧面积。
圆柱、圆锥、圆台的全面积，分别等于它们的侧面积与底面积之和。
定理1：如果圆柱底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是S圆柱侧=cl=2πrl。
定理2：如果圆锥底面半径是r，周长是c，侧面母线长是l，那么它的侧面积是S圆柱侧=12cl=πrl。
定理3：如果圆台的上、下底面半径是r’、r，周长是c’、c，侧面母线长是非曲直，那么它的侧面积是S圆柱侧=12（c’+c）1=π（r’+r）。
说明：把圆台侧面展开图看成曲边梯形，利用梯形的面积公式，很容易记住圆台侧面积的公式。
例如果圆台的母线长等于轴截面梯形的中位线长，而上、下底面的半径分别是r、R，高是h，母线长是1，侧面积是S侧，求证h=2Rr，S侧=π12。
证明由已知得1=2R+2r2=R+r，且S侧=π（R+r）1。
又12=h2+（R—r）2，h=2Rr，S侧=π12。
【球】
半圆以它的直径所在的直线为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面。球面所围成的几何体叫做球体。简称球。半圆的圆心叫做球心。连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径。连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。
球面也可以看作与定点（球心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合（轨迹）。
同一个球的所有半径都相等，所有直径都相等，直径等于半径的两倍。
【球的切面和切线】
