4.3.1 投资者心态模型
投资者心态模型主要有BSV、DHS和HS模型，这些模型的目标是一致的，即建立一个合理的模型，对资产价格异常做出统一解释。BSV模型是基于代表性和保守性的心理认知偏差，运用实际收益随机游走的学习模型，解释了反应过度和反应不足。DHS建立在投资者过度自信和对投资结果有偏归因带来的自信心改变基础上，证明这些偏差导致了几种异常价格变动模式。而HS通过异类交易者的相互作用产生的外部性，解释了由动量交易者和信息观察者交互作用产生的反应不足和反应过度的情形。动量交易者倾向于使用包含在最近价格趋势中的信息，忽略基本信息；基本面交易者理性使用基本面信息，而忽略了价格。对于BSV和DHS模型，反应过度更可能发生在分析报道较少的股票上。BSV模型中，反应过度仅发生在出现一系列同方向的冲击时。HS允许对公开和私下冲击，做出不同冲动反应；价格对单一私人消息冲击的冲动反应涉及反应不足和反应过度。
1.BSV模型。
该模型假定存在一个折扣率为δ的风险中立的代表性投资者，其信念反映了多数人的信念；只有一种证券，全部盈利都用于分红，时间t时的证券收益为Nt，NtNt-1 yt，yt是时间t-1到t内盈利的变化，取值 y或-y。此时，就像代表性投资者所预测的，证券的均衡价格等于未来盈利的净现值。除了包含在盈利中的信息外，没有有关价格的其他信息。盈利服从随机游走，但投资者没有认识到这一点。
假定现实在甲、乙两种状态之间变动，在每种状态下决定盈利的模型不同。当现实处于状态甲时，投资者采用模型甲决定盈利；当现实处于状态乙时，投资者采用模型乙决定盈利。两个模型都不服从随机游走。在模型甲中，盈利是均值反转的（Mean-reverting）；在模型乙中，盈利是跟随趋势的（Trend）。投资者相信其中一个模型控制着现实。为简单起见，假定模型服从马尔科夫过程，即在每个模型中，时期t的盈利变化仅依赖于时期t-1的盈利变化。两个模型的唯一不同是转移概率不同。
这两个模型的转换矩阵为：
πL其中πL数值较小，πH数值较大。πL∈[0，0.5]，πH∈[0.5，1]。换句话说，在模型甲中，正向冲击可能反转；在模型乙中，正向冲击可能跟随着另一个正向冲击。利用模型甲预测盈利的投资者，显示出保守主义心理，对单个盈利公布反应不足；相信模型乙的投资者忍受着代表性直觉判断，把过去盈利增长作为未来的代表。在一系列正的或负的盈利变化后，使用模型乙的投资者预测未来盈利时，外推过去的业绩到未来。
投资者相信自己知道参数πL和πH，也相信存在一个潜在状态转换过程，来决定现实所处状态。肯定自己对模型甲到模型乙的转换的潜在过程的认识是正确的。这个过程也是马尔科夫过程，目前状态仅依赖于前期状态。转移矩阵是：
1-λ2时期t的状态为St。如果St=1，此时证券收益的变动处于甲状态，yt的变化服从模型甲。如果St=2，此时证券收益的变动处于状态乙，yt的变化服从模型乙。参数λ1、λ2决定了一个状态转换到其他状态的概率。如果λ1、λ2较小，则意味着从一个状态转换到另一个状态的可能性较小。即如果模型甲决定时期t的盈利变化，可能也决定时期t 1的盈利。对模型乙也是如此。虽然状态以某一小概率转换，另一模型开始产生盈利，但常常要求状态转换概率满足以下条件：投资者认为现实更经常处于模型甲的均值反转状态，而不是模型乙的跟随趋势状态。
投资者知道和模型甲、乙及状态转换过程相联系的概率，使用同样的状态转换模型，有相同状态和相同转换概率。为了评估证券，投资者需要利用观察到的盈利流，来确定何种状态产生盈利，并使用状态转换模型预测未来盈利。即使盈利模型不正确，他也以贝叶斯方式看待自己所处状态。例如，如果他观察连续两个同方向的盈利冲击，就更加相信自己处于模型乙的跟随趋势状态。如果两个时期的盈利冲击方向相反，他将更看重模型甲的均值反转状态。
为了估价证券，投资者必须预测未来的收入流。那么此时投资者的唯一任务是确定当前产生盈利的是模型的哪种状态。投资者看到一系列正向的盈利冲击，将认为模型乙产生盈利的可能性更大。因为他相信转换状态是很少发生的，这意味着模型乙在下期也可能产生盈利，投资者预期下期的盈利冲击是正向的。但是盈利是随机游走的，下期的盈利上升和下降的可能性相同。如果上升，收益将不大，因为投资者准确地预料到了这种盈利上升；如果下降，收益是大的、负的，因为投资者对负的盈利公布感到意外。因此，在一系列正向冲击后平均已实现收益是负的，在一系列负向冲击后平均已实现收益是正的，两种情况下平均收益之间的差异是负的。这和反应过度一致。
如果投资者更看重模型甲，而不是模型乙，就会出现反应不足。考虑跟随一个正向盈利冲击的已实现收益，因为投资者一般相信模型甲，相信在下期，这个正向盈利冲击一定程度上将会反转。事实上，跟随正向冲击的正负冲击的概率相同。如果冲击是负向的，已实现收益不大，因为投资者预期到这种收益实现；如果冲击是正向的，已实现收益是大的、正的，因为冲击是未预期的。相似地，跟随一个负的盈利冲击的已实现收益是负的。因此平均已实现收益的差异是正的，这和盈利公布后股价变动及短期动量的证据一致。
2.DHS模型。
该模型是基于过度自信和自我归因两种心理偏差的基础上，将投资者分为知情投资者（Informed Investors）和不知情投资者（Uninformed Investors）两类。知情投资者是指收到信号的投资者，以I表示。如果投资者高估私人获得的信息而忽视大家都能获得的公共信息的准确性，他就是过度自信的。过度自信的投资者对于私人信息赋予了更多权重，从而导致股票价格反应过度。不知情投资者是指没有收到信号的投资者，以U表示。为了便于分析，假定I是风险中性的，而U是风险规避的，并先保持投资者的自信程度不变。
假定每个投资者都被赋予一篮子的财富，包括有风险证券和一个代表一单位终期财富的无风险记账单位。一共有4个时期。在第0期，个人根据自己已有确定信念和资产进行交易，主要目的是为了最佳转移风险。第1期，知情投资者收到了一个关于潜在证券价值的普通噪声私人信号，并同不知情投资者进行了交易。第2期，又出现了一个噪声公共信号，并进行了更多交易。第3期，确定性公共信息出现了，投资者得到所拥有证券的股利，进行消费。所有随机变量都服从独立正态分布。
风险证券会带来θ的终值，θ服从N（θ，σ2θ），在大多数情况下，假定θ=0.知情投资者第1期收到的私人信号为：
知情投资者低估了误差的方差，即σ2c＜σ2ε，而不知情投资者正确估计了它。对于随机方差的不同估计是市场上所有投资者的共有信息。同样地，在时期2时，公开信息为：
其中，η～N（0，σ2η），独立于θ和ε。每个投资者都能正确地估计到它的方差σ2η。
由于价格是由风险中立的知情投资者制定的，不知情投资者的作用极小。过度自信假设的基础是投资者依赖于他个人的信息。这意味着另外一些投资者收不到同样信号。而且，这个结论在两种投资者都是风险规避者时也是成立的。只要不知情投资者不是风险中性的价格制定者，过度自信的知情投资者就会使股票价格偏离完全理性条件下的股票价值。
由于知情交易者是风险中性的，每期价格满足下面公式：
下标c表示期望值是建立在知情交易者的信息基础上的。p3θ。根据正态分布变量的标准特征，模型定价数学结果是：
其中，D≡σ2θ（σ2c σ2η） σ2cσ2η。（4-10）
因此在确定性信号到达后，证券价格并没有直接产生相应的变化，成为θ，而在第1期和第2期产生了波动。
投资者对私人信号θ ε过度相信，就导致第1期的股价反应过度。在第2期，干扰性公共信息抵达后，价格的无效偏离被部分纠正。在随后公共信息抵达时，会发生类似情况。冲动性反应在达到高峰及未达到高峰以前的部分，被称为反应过度阶段；而以后的部分被称为纠正阶段。反应过度和纠正意味着第1期的价格变化和第2期的价格变化的协方差cov（p2-p1，p1-p0）《0.此外，对于私人信号的反应过度会被第2期的公共信号部分纠正，直到第3期完全纠正，因此cov（p3-p1，p1-p0）＜0.这个反向价格变化源自对第1期反应过度的持续纠正。最后，第2期开始到第3期结束的持续纠正，导致公共信号出现时价格变化及其后续价格变化正相关，即cov（p3-p2，p2-p1）》0.
因此，如果投资者是过度自信的，则：（1）由于私人信息而发生的价格变动，将会在长期发生部分回归；（2）由于公共信息而发生的价格变动和以后的价格变化正相关；（3）价格变化在短期和长期中都是无条件自相关的，从总体上看是负相关的。
因此，自信心保持不变的模型与长期逆转（负的长期自相关）是一致的，但是与短期趋势（正的短期自相关）不一致。如果在平滑的极值附近的价格变化的方差的绝对值很低，冲动型反应方程的极值足够平缓，短期自相关也可以是正的。
过度自信会在第1期导致价格偏离基本价值，产生价格对私人信号的过度波动var（p1-p0）加大。然而过度波动及对公共信号不够重视，会降低第2期的方差。同时，第1期较大的偏离也带来了在第2期和第3期对价格纠正行为更大的需求。因此过度自信既可以降低也可以提高价格由于公共信息的波动性var（p2-p1）。当投资者同等看待公共信号和私人信号时，会给p1-p0，p2-p1，p3-p2以相同权重，因此无条件的波动率就是var（p1-p0）、var（p2-p1）与var（p3-p2）、var（p1-p0）的代数平均值；额外波动率是过度自信条件下的波动率和干扰被正确观察到时的波动率之差。让下标R表示当所有个体都是理性条件时的波动率，定义t时刻的额外波动率为：
VEtvar（pt-pt-1）-varR（pt-pt-1）
varR（pt-pt-1）（4-11）
可以得到，因私人信号而发生的额外价格波动率，比因公共信号而发生的波动率要大。
上面描述的结论是在一个固定自信心水平条件下做出的。然而心理学研究表明，行动和后来的结构会影响自信心；肯定个人观点和行动事件会极大振奋一个人的自信心，起否定作用的事件却不会削弱自信心很多。考虑了这个心理影响模式后的结论与前面模型的相似，但是在考虑了心理影响模式后，股价在短期会有波动，而且非选择性事件也具有预测性。
假定有一个知情投资者起初并不过度自信，主要根据自己的私人信息购买或出售股票。如果公共信号和他的交易有相同符号，就会肯定他的交易（购买代表的是正的信号，出售则代表的是负的信号）。如果后来出现的公共信号肯定了他的交易，他就会变得更加自信，但是如果这个信号否定了他的交易，他的自信心会保持不变或只有些许动摇。这意味着公开信息会提高投资者的自信心，激发市场反应过度。最初，持续反应过度会导致正自相关。随着重复公共信息的出现，价格逐渐接近基本价值，最初的反应过度在长期会逐渐逆转。
上面的过程产生了有关私人信号的驼峰型冲动性反应函数。实线表示了这个函数（第0/1期的线与实线重叠的部分表示的是静态模型的冲动性反应），显示了第1期的两个可能的价格以及以第1期价格变动为条件而发生的预期价格的变动路径。可以看到，在依赖结果的自信心条件下，有平缓的反应过度和纠正阶段，这些阶段的收益正相关；跨骑在极值两边的收益则负相关。如果极值附近收益的负自相关足够小，包括了邻近价格变化的总体自相关是正的。然而相隔长时间的价格变化很可能跨骑在冲动性反应函数极值的两边，从而显示负自相关。因此，模型很自然就能得到短期内价格偏离和长期内逆转的模式。
将前面的基本模型做一些修改，就可得到结果依赖型自信的简单模型。仍假定投资者最初过度自信，因此σ2c≤σ2ε。为简单起见，公共信号现在是离散的，在第2期的值为S20或者S21.假定投资者在第2期对于早期私人信号评价的准确度依赖于公开信号的实现程度。如果投资者自信心增加，那么投资者对于误差方差的估计会缩小为σ2c-k，0＜k＜σ2c。如果自信心保持不变，那么误差方差仍为σ2c。
收到公共信号 1的概率为p。假定p是常数。给定所有随机变量的常态，第1期价格是：
p1Ec[θθ ε]σ2θ
σ2θ σ2c（θ ε）（4-12）
第0期的价格p00.如果sign（θ ε）≠sign（S2），自信就是常数。由于公共信号实质上是没有影响的，第2期价格也不会变动。然而，如果sign（θ ε）sign（S2），新的价格就要用新的ε水平来计算，即：
p2cσ2θ
σ2θ σ2c-k（θ ε）（4-13）
可以证明cov（p2-p1，p1-p0）＞0.因此，这个模型表明，不仅纠正阶段，就连反应过度阶段都对短期动量起到积极影响。第1、2期的反应过度在长期会发生逆转：cov（p3-p2，p2-p1）＜0，cov（p3-p1，p1-p0）＜0.这表明如果投资者的自信因有偏的自我归因而强化，且过度反应或修正是充分缓慢的，则股价变化表现为无条件的短期滞后正自相关（惯性）和长期滞后负自相关（反转）。因此，过度自信理论对短期动量和长期逆转同时提供了解释。
投资者会对私人信息反应过度，而对公共信息反应不足。与一般将负的收益自相关和对新信息反应不足相对应不同，模型认为正的收益自相关也可以是持续反应过度的结果，随之而来的是长期纠正。因此，短期正的自相关与长期负的自相关是一致的。这个模型也为公共事件宣布日股票价格变化与事后长期异常收益有相同符号的现象提供了解释；还将长期逆转和短期动量结合起来，解释了以事件为基础的收益预测能力，提供了几种不同的实证预测。
3.HS模型。
该模型把研究重点放在不同市场参与者的交互作用机制上，而不是行为心理和认知偏差上。它将参与者分为信息观察者（News Watchers）和动量交易者（Momentum Traders）。最初，信息观察者在短期内对私人信息有反应不足倾向，使得动量交易者力图通过简单套利策略来利用这一点，这样推动价格在长期内走向反应过度。
假定：①两类交易者都是有限理性的，仅能处理所有公开信息中的一个子集。②信息观察者仅以私人信息做出预测，不能根据价格信息进行预测，并且信息在信息观察者中是逐步扩散的。③动量交易者仅仅根据以前价格的变化，通过简单套利策略进行交易。④假定所有信息观察者有同样风险规避参数的常绝对风险厌恶（CARA）效用函数，都能活到终期T（T为资产的还本付息期）；动量交易者也有CARA效用函数。与信息观察者不同，他们在有限时期存在。
（1）信息观察者的价格形成。
信息观察者被分成z个相同大小的群。在每个时期t，信息观察者拥有某种风险资产，知道在未来某一时期T，这种资产还本付息，最终实现收益为DTD0 Tj0εj，ε是独立分布、均值为零的正态随机变量，且假定T趋于无穷。在时期t，关于εt z-1的信息开始出现，并逐渐传播。这条信息被分成z个更小“信息包”，ε1t z-1……εzt z-1，总和为εt z-1.在下z期中的每一期，每群人观察到其中一个信息包。也就是说，εt z-1是在时期t前未得到的信息，并且从时期t到t z-1，随着观察到的人越来越多，信息逐渐扩散到所有投资者。在时期t，群体1知道每个信息包。在时期t 1，群体2知道每个信息包，直到时期t z-1，z群中的每个人都看到了构成εt z-1的所有信息。
假定资产供给固定在Q，其基本价值的条件方差对所有信息观察者相同，无风险利率标准化为零。在每期t，信息观察者将买入，并持有到T期还本付息，在这种静态优化的基础上阐明他们的资产需求。同时，信息观察者以上述信息集为条件，不是以当前或过去价格为条件。则在时期t的价格为PtDt {（z-1）εt 1 （z-2）εt 2 …… εt z-1}/z-θQ（4-14）
其中，θ是信息观察者风险规避和ε方差的函数，标准化风险规避是θ1.公式4-14表明在z期，新信息逐渐吸收到价格中。这说明在短期价格存在正序列相关，价格从来不会超过长期价值。也就是说，在任何时间范围都不存在负的收益序列相关。
如果信息观察者不以价格为条件，只要Q是非随机变化的，则存在一个充分暴露均衡。此时，价格为P*tDt z-1-Q（4-15）
（2）惯性交易者对价格形成的影响。
在理性预期背景下，仅有信息逐渐扩散不能解释价格的过度反应和逆转。加入动量交易者则可以进行合理的解释。假定在每一时期t，新一代动量交易者进入市场，每个交易者都买入，并持有j期，即直到时期t j。
在模型中，先假定j是外生的。动量交易者和信息观察者通过市场指令交易。在时期t，动量交易者根据过去价格变化，预测（Pt j-Pt），以决定指令大小。假定唯一的条件变量是过去k期累积价格变化。为简单起见，假定k1，时期t的预测变量为（Pt-1-Pt-2）ΔPt-1，第t代动量交易者的指令流为Ft：
FtA ΔPt-1（4-16）
其中γ是动量交易者忍受的总风险，EM和varM表示给定信息ΔPt-1下的条件均值和方差。方程（公式4-19）可重写为：
γcov（Pt j-Pt，ΔPt-1）/{var（ΔP）varM（Pt j-Pt）}（4-20）
均衡由公式4-18、公式4-20决定。这里仅研究协方差-稳态均衡。只要动量交易者的γ足够小，保证充分小，均衡就存在。在协方差-稳态均衡中，＞0，即理性动量交易者必定追逐趋势，采取行动。
（3）两者共同交易下的均衡价格。
假定在时期t，一单位积极变化εt z-1开始在信息观察者中扩散。信息观察者对DT总的估计，由t到t z-1上升，他们完全吸收信息冲击到预测之中。t到时期t z-1，没有动量交易者的指令流时，价格是合适的。但＞0，任何积极信息冲击必定对动量交易者指令流产生初始正向冲击，而且累积指令流至少增加到时期t j，因为冲击引发的动量交易，直到时期t j 1 才开始出货。这样，当累积价格冲动反应的顶部严格高于1时，总存在反应过度。如果j≥z-1，累积价格反应顶部在t j，接着开始下降，最终趋于1；如果j＜z-1，累积冲动反应顶部不早于时期t j，最终趋于1.
这说明在时期t向前价格路径是以时期t存在一个信息冲击为条件的。如果交易者以某种方式肯定时期t存在一个信息冲击，预期到正利润，将在该期买入并持有到时期t j。这种策略被称为“在动量循环中早买”策略。但在该模型中动量交易者不使用这种策略，因为他们不直接以ε为条件。对好消息反应，价格连续向上动量至少存在j期（如果j＜z-1）。
在γ趋于无穷时，方程（公式4-20）暗含均衡必定有cov（Pt j-P，ΔPt-1）0，进一步：
cov（ΔPt 1，ΔPt-1） cov（ΔPt 2，ΔPt-1） …… cov（ΔPt j，ΔPt-1）0（4-21）
由以上方程可知，在协方差-稳态均衡中，如果价格变化在短期内正相关，则对于风险中立的动量交易者，价格在不长于j 1的时期内负相关，即对于某一i≤j，必定有cov（Pt i，ΔPt-1）＜0.这是价格自协方差的无条件论述。价格变化在j 1期内或更早时期内开始反转。这来自零利润的必要条件，即如果时期t-1无条件的价格增加，引起时期t交易者买入，并持有到时期t j，则获取利润平均为零。因为动量交易者是风险中立的，能得到无条件策略，零利润必要条件必定成立。
并非所有价格增加都是由信息造成的，跟随任何价格增加买入的无条件策略，和仅直接跟随观察到的好消息买入的条件策略同样不太有效。特别地，根据时期t观察到的价格增加而买入的交易者承担着风险。在动量循环中，这种时机买入也许迟了，因为最近几期都不存在好消息。比如说，最近消息在时期t-i抵达，在时期t价格增加是因为最近一轮动量买入。时期t-i 的新消息引起的较早动量买入者，很快（特别地，在时期t-i j 1）开始卖出，导致交易者在持有期结束之前经受损失。动量交易者在好消息抵达之后，很快买入，这对跟随他的人有负的外部性。下一代动量交易者把由前代动量交易引起的价格进一步增加，错误解释成出现了更多好消息，因而买入。当需求过度膨胀，价格会超过最初消息所能达到的水平。虽然假定动量交易者不直接以ε为条件，在交易链中都尽可能理性行动，但外部性在整体上引起了明显非理性结果。
该模型解释资产价格反应不足和过度反应的过程是，首先信息观察者根据私有利好消息买入证券，随后动量交易者根据价格的变化买入证券。动量交易者的加入引起了价格的进一步上涨，吸引了更多的动量交易者进入。信息观察者对好消息的反应是不足的，动量交易者的逐步进入导致了价格的正向冲击，从而引起价格的过度上涨，表现为对信息的反应过度。
4.3.2“羊群效应”模型
艾沃瑞和泽穆斯基（1998）假定所有的投资者都拥有私人信息和相同的公共信息，面对不确定的环境进行决策。投资者通过他人的行为推断其私人信息，投资者能够运用贝叶斯法则。
假定几个投资者依次决定是否投资于同一只股票。对于每一个投资者来说，V为对应于接下来最佳方案的投资结果，V=1或V=-1且概率相等。每个投资者观察到了一个关于投资结果的私有信号（好信号G，或者坏信号B）。设定prob（GV1）p，prob（BV1）1-p，0.5＜p＜1.同样，prob（BV-1）p。投资者的信号独立于真实值。除了私人信号外，每个投资者都可以观察到前面投资者的决策。
当投资者观察到一个G后，V=1的后验概率为：
prob（V1G）prob（GV1）·prob（V1）
prob（GV1）·prob（V1） prob（GV-1）·prob（V-1）
p×0.5
p×0.5 （1-p）×0.5p＞0.5（4-22）
也可以计算出，prob（V1B）1-p＜0.5
这样，第一个投资者甲将根据他的信号进行决策：如果观察到G就投资，观察到B则不投资。第二个投资者乙知道这个信息，并且能从甲的行动中推断出他的私人信号，如果他得到信号G，且观察到甲投资，则他会做出投资的决策；如果观察到甲不投资，则他可能投资或不投资。对于第三个投资者丙，如果观察到甲和乙都投资，那么不论自己得到什么样的信号，根据贝叶斯法则，他都应该投资。对于第四个投资者丁难以从丙的投资决策中对其信号进行有效的推断，因此，丁和丙处于同样的境地，他也将不顾自己的信号并进行投资，以此类推第五、六……一个羊群行为产生。
另一方面，如果甲和乙采取相反的行动，那么丙知道他们其中一个人看到了信号G，另一位看到了信号B，则他会根据自己的信号进行决策。
由上面的推理我们可以看出，羊群行为的发生一方面基于前面具有相同决策的投资者人数的多少；另一方面基于好坏信号到达的顺序，顺序的改变可能导致投资者行为的改变，后来的投资者根据前面投资者行为来判断其私人信号，则会出现错误。
若后面的投资者可以观察到前面投资者的私人信号，则其拥有完全信息，并将形成正确的决策。观测行动和观测信号的结果之所以对后来投资者的行动产生不同的影响，是因为：一旦形成决策“瀑布”，公共信息将停止积累，因为投资或不投资的“瀑布”将使所有的后续投资者忽视他们的私有信号。另外，决策或行为“瀑布”对微小的变化非常敏感，比如拥有更好信息的投资者的加入、新的公共信息的发布等，都可能改变后来投资者的决策方向。
4.3.3 套利不完美模型
该模型证明了非理性交易者不仅能够在与理性交易者的博弈中生存下来，而且，由于噪声交易者制造了更大的市场风险，他们还有可能获得比理性投资者更高的风险溢价。
模型假设：
（1）市场中只包括噪声交易者n和套利者a，套利者理性地估计了有风险资产的未来回报而噪声交易者错误地估计了风险资产未来回报的分布。在市场中套利者共有μ，噪声交易者有1-μ。投资者都是风险厌恶型（Risk Aversion）。
（2）两阶段模型，投资者只需要决定在第一阶段持有什么样的投资组合。投资者在年轻时决定其对s和u的持有，当年老时，他们将s转换为消费品，将u以价格Pt 1卖掉，然后消费掉其所有的财富。他们的目标是最大化效用函数的期望值。
（3）市场中只有两种资产，它们支付相同的红利。无风险资产s，固定红利支付为r期，它与消费品之间是完全替代，所以以消费品作为计价单位，s的价格总为1；有风险资产u，固定红利支付也为r期，但是它不是弹性供给的，它只有固定单位1，它在t期的价格为Pt。
（4）套利者只能承受有限的风险。即套利者的套利行为是有限的。
（5）套利者估计资产u未来的价格为Pt，噪声交易者对其的错误估价为Pt 1 ρt，ρt与Pt 1相互独立，且服从如下正态分布。
ρt～N（ρ*，σρ2）
其中错误认识偏离的均值ρ*是对噪声交易者乐观情绪的平均度量，而σρ2给出了噪声交易者对风险资产预期收益错误认识的方差。
（6）投资者的效用函数为：
U-e-（2γ）ω（4-23）
γ是绝对风险规避系数，而ω为投资者最后的财富总额。当风险资产收益为正态分布时，最大化预期效用：
E（U）w-γσ2w（4-24）
其中，w是预期最终财富；σ2w表示财富的方差。理性交易者选择数量λit的风险资产u，使E（Ui）最大化：
E（Ui）w-γσ2wC0 λtn[r tpt 1-pt（1 r）]-γ（λit）2（tσ2pt 1）（4-25）
其中，C0是时期1劳动收入的函数。tpt 1是时期t对t 1时风险资产u的理性预期价格，变量前面的下标表示预期形成的时间。tσ2t 1为pt 1的一期方差：
tσ2t 1Et{[pt 1-Et（pt 1）2]}（4-26）
噪声交易者最大化预期效用：
E（Un）w-γσ2wC0 λnt[r tpt 1-pt（1 r）]-γλnt（tσ2pt 1） λnt（ρt）（4-27）
对两式进行一阶求导，得出两类交易者持有风险资产数量分别为：
λit[r tpt 1-（1 r）pt]/2γ（tσ2pt 1）（4-28）
λnt[r tpt 1-（1 r）pt]/2γ（tσ2pt 1） ρt/2γ（tσ2pt 1）（4-29）
两式说明噪声交易者对有风险资产u的需求变动来源于其对资产回报分布的错误判断，因此噪声交易者对资产u的需求是不稳定的。相对而言，套利者的交易是市场的稳定因素。
考虑到资产u的数量始终是1，当均衡出现时Pt与Pt 1服从同一分布，所以可以导出价格函数为：
pt1 μ（ρt-ρ*）
1 r μρ*
r-2γ（tσ2pt 1）
r（4-30）
其中，时期t 1的价格方差是噪声交易者错误认知ρt的固定方差的函数，即
tσ2pt 1μ2σ2ρ/（1 r）2（4-31）
这样得到资产u的最终定价规则：
pt1 μ（ρt-ρ*）
1 r μρ*
r-2γμ2σ2ρ
r（1 r）2（4-32）
价格函数的最后三项显示了噪声交易者对市场价格的影响。如果这种影响不存在，资产u的价格自然是其基本价格1.
函数第二项表明即使资产没有任何的不确定性，其价格仍然会因为噪声交易者的错误考虑而发生波动。在这种情况下，如果大部分噪声交易者都看好资产u，他们就将抬高资产的价格，反之亦然。
函数的第三项表明由于噪声交易者的平均错误考虑不为零，所以Pt偏离其基本价值。
函数的最后一项是这个函数的核心，由于存在不确定性，无论是套利者还是噪声交易者都不敢持有太多资产u，因此，资产的价格由于这种不确定性而有所下跌。
这个模型充分说明在噪声交易者存在和套利有限的情况下，风险资产的价格并不就是其基本价值，而是与噪声交易者对资产回报的错误期望有关。
同时可以导出套利者和噪声交易者之间回报率差值的期望值为：
E（ΔRn-j）ρ*-（1 r）2（ρ*）2 （1 r）2σ2ρ
（2γ）μσ2ρ（4-33）
弗里德曼（Friedman，1953）和法玛（1965）认为市场中的噪声交易者由于回报率始终低于套利者，迟早会被淘汰出市场。而此模型说明在市场中，噪声交易者的回报率未必低于套利者。噪声交易者的错误看法增加了资产回报的风险，如果他们的资产组合集中于风险资产，他们可能获得高于平均水平的回报率。
4.3.4 行为资产定价模型（BAPM）和行为资产组合理论（BPT）
行为资产定价理论和行为资产组合理论是相对于传统资产定价模型和资产组合模型而言的，其主要特征是考虑了投资者认知偏差及价值函数特性，同时考虑了投资者的理性行为和风险感受特性。
行为资产定价理论的研究角度多种多样。一种代表性的角度是从消费资本资产定价模型（CCAPM）出发，逐步引入各种行为因素，比如财富偏好、习惯形成、追赶时髦、损失厌恶、嫉妒等。另一种研究方式是典型的行为金融学的理论的运用，它们直接从投资者行为的心理基础出发，研究投资者心理对资产价格的决定，进而影响金融市场的均衡。
BMPM将投资者分为信息交易者（Information Traders）和噪声交易者（Noise Traders）两种类型。信息交易者与传统CAPM下的投资者有着相同的假定，他们根据所获得的信息进行交易，不会发生认知偏差，而且不同个体之间表现出良好的统计均方差性。噪声交易者则时常犯认知偏差，并没有严格的对均值方差的偏好。信息交易者和噪声交易者相互影响，共同决定资产的价格。当信息交易者在市场上占主导地位时，市场是有效市场，当噪声交易者在市场起主导作用时，市场是无效的。
BAPM中证券的预期收益决定于其行为贝塔系数（Behavioral Betas），贝塔是“均值方差有效组合”的切线斜率。这里，均值方差有效组合并不等于CAPM中的市场组合，因为现在的证券价格受到噪声交易者的影响。行为贝塔系数的估计是一个难点，因为正切均方差有效资产组合随时都在变化，这个月还在起重要作用的行为因素下个月可能变得微乎其微，很难找到它的有效替代物。另外，BAPM还对在噪声交易者存在的条件下，市场组合回报的分布、风险溢价、期限结构、期权定价等问题进行了全面的研究。
另外，金融学家还通过引入财富偏好、习惯形成、追赶时髦、损失厌恶、嫉妒等行为因素来重新构造资本资产定价模型，形成了多种多样的行为资产定价模型。
现代资产组合理论认为，投资者应把注意力集中在整个资产组合而非单个资产的风险和预期收益的分析之上，最优的组合配置处在均值方差有效边界上，并且要考虑不同资产之间的相关性。舍夫林和斯坦特曼从投资人最优投资决策过程是基于心理账户出发，确立了以E（w）和prob（w＜s）≤b（E（w）为预期财富，b为某一预先确定的概率，s为可以维持目前效用的财富水平）来进行组合与投资选择方法的基础。BPT在预期财富和财富低于s值的概率坐标图上给出了行为组合理论的有效边界。
在E（w）与prob（w＜s）的二维坐标上，弧线表示按照预期财富和财富低于s的概率的投资组合边界。给定概率b，过b的直线与有效的投资边界相交于B、A，B、A之间的曲线即为有效的投资组合，B为最优投资点。
令vi为取得财富wi所付出的单位价格，pi为财富wi发生的概率。投资者的期初财富为w0.投资者的目的在于期终的期望财富最大化，即MaxE（w），约束条件是viwi≤w0（投资者为取得财富所付出的价格不能超过期初财富，即投资者不能借钱购买资产组合）。投资组合公式简化表示为：
目标：MaxE（w）piwi
条件：prob（w＜s）≤b
在投资组合理论中，投资人的风险态度用b来衡量，如果投资人厌恶风险则在“心理账户”上要求的b较低，反之则高。同时，s也体现了投资者的风险态度，若s较高，投资者显得较为厌恶风险；反之则愿意承受较大风险。投资者拥有多个“心理账户”，可以将投资组合分成不同的账户，并对账户之间的相关性不太关注。
